第七章　§7.7　向量法求空間角-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.能用向量法解決異面直線的夾角、直線與平面的夾角、二面角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.2.弄清折疊問(wèn)題中的變量與不變量，掌握折疊問(wèn)題中線面位置關(guān)系的判斷和空間角的計(jì)算問(wèn)題.
第一部分落實(shí)主干知識(shí)
第二部分探究核心題型
1.兩條直線的夾角若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b的夾角θ∈ ，且θ與兩個(gè)方向向量的夾角〈a，b〉相等或互補(bǔ)，則cs θ＝|cs〈a，b〉|.2.直線與平面的夾角設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量，則直線l與平面α的夾角θ∈ ，且θ＝－〈l，n〉或θ＝〈l，n〉－，故sin θ＝____________.
3.二面角一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α－l－β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉或 .
2.若平面α與平面β的夾角為θ1，平面α內(nèi)的直線l與平面β的夾角為θ2，則θ1≥θ2，當(dāng)l與α和β的交線垂直時(shí)，取等號(hào).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(　　)(2)直線的方向向量和平面的法向量的夾角就是直線與平面所成的角.(　　)(3)二面角的平面角為θ，則兩個(gè)平面的法向量的夾角也是θ.(　　)(4)二面角α－l－β的平面角與平面α，β的夾角相等.(　　)
2.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cs〈m，n〉＝，則直線l與平面α的夾角為A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
設(shè)直線l與平面α的夾角為θ，
所以直線l與平面α的夾角為30°.
3.已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2夾角的余弦值為
設(shè)直線l1與l2的夾角為θ，因?yàn)閟1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
4.已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為
∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，
若兩平面所成的二面角為θ，
例1　(1)(2023·武漢模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝BC，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，則異面直線BF與PE夾角的余弦值為
題型一　異面直線的夾角
如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，異面直線BF與PE的夾角為θ，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，則E(1,2,0)，F(xiàn)(1,1,1)，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為y軸，過(guò)點(diǎn)O作x軸⊥OB，圓臺(tái)的軸為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)P(2cs θ，2sin θ，0)，0≤θ0)，則A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，
解得a＝1，所以棱AB的長(zhǎng)度是1.
11.(2023·洛陽(yáng)模擬)二面角α－l－β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝，則平面α與平面β的夾角為_(kāi)_____.
設(shè)二面角α－l－β的大小為θ，
所以θ＝60°，則平面α與平面β的夾角為60°.
12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中點(diǎn)，則直線A1C與平面EFGHKL夾角的大小為_(kāi)_______；若P，Q是六邊形EFGHKL邊上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線D1B與直線PQ最小的夾角為θ，則sin θ的值為_(kāi)____.
則A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(2,2,1)，G(1,2,2)，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF?平面EFGHKL，∴A1C⊥平面EFGHKL，∴直線A1C與平面EFGHKL夾角的大小為90°.
設(shè)直線D1B與平面EFGHKL的夾角為α，
∵直線PQ?平面EFGHKL，
∴直線D1B與直線PQ的夾角最小時(shí)即為直線D1B與平面EFGHKL的夾角，∴sin θ＝ .
四、解答題13.如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.(1)求證：BF∥平面ADE；
由CF∥AE，CF?平面ADE，AE?平面ADE，得CF∥平面ADE，由AD∥BC，BC?平面ADE，AD?平面ADE，得BC∥平面ADE，又CF∩BC＝C，CF，BC?平面BCF，所以平面BCF∥平面ADE，又BF?平面BCF，所以BF∥平面ADE.
(2)求直線CE與平面BDE夾角的正弦值.
因?yàn)锳E⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)锳B＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2，所以B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，
設(shè)平面BDE的法向量為m＝(x，y，z)，
令z＝1，則x＝2，y＝2，即m＝(2,2,1)，
14.(2024·南昌模擬)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝，現(xiàn)將△ADC沿AC翻至△APC，使二面角P－AC－B為直二面角.
(1)證明：CB⊥PA；
取AB的中點(diǎn)E，連接CE(圖略)，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，CE＝AD，CE＝AE＝EB，∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA，∵二面角P－AC－B為直二面角，∴平面PAC⊥平面ACB，
又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB?平面ABC，∴CB⊥平面PAC，又PA?平面PAC，∴CB⊥PA.
由AB＝4知PA＝PC＝2，取AC的中點(diǎn)O，則OE∥CB.∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP兩兩互相垂直.
易得平面PAC的一個(gè)法向量為n1＝(0,1,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n2＝(x，y，z)，

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