課程標(biāo)準(zhǔn)　掌握正弦定理、余弦定理，并能運用正弦定理、余弦定理等知識方法解決一些簡單的三角形度量問題．
1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則
b2＋c2－2bc cs A
c2＋a2－2ca cs B
a2＋b2－2ab cs C
sin A∶sin B∶sin C
1．判斷下列結(jié)論是否正確(正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”).(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，則A>B.(　　)(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．(　　)(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a20時，△ABC不一定為銳角三角形．
利用正弦、余弦定理解三角形
(3)(2024·廣東廣州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2cs B cs C·(tan B＋tan C)＝cs B tan B＋cs C tan C，則cs A的最小值是________．
1.利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷).2．利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．
1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝80，b＝100，A＝45°，則符合條件的三角形有(　　)A．一個 B．兩個C．一個或兩個 D．0個
例2　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c－a cs B＝(2a－b)cs A，則△ABC的形狀為(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
[解析]　(1)因為c－a csB＝(2a－b)cs A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cs B＝2sin A cs A－sin B cs A，所以sin A cs B＋cs A sin B－sin A cs B＝2sin A cs A－sin B cs A，所以cs A(sin B－sin A)＝0，所以cs A＝0或sin B＝sin A，
判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．
對于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等邊三角形，故D錯誤．
正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用
在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．
(3)如圖所示，當(dāng)sin A＋sin C取得最大值時，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點D(D與B在AC兩側(cè))，使得線段DC＝2，DA＝1，求△BCD面積的最大值．

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