1．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG．下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，則BF的長是（ ）
A．1B．C．D．2
3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，則AF的長是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，設(shè)∠CBE＝α，則∠AFP為（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值為3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6．如圖，已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn)，AE與DF交于P．則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．BE＝AEB．PC＝PD
C．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC
7．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（ ）
A．1B．C．2D．2
8．如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則∠AMP的度數(shù)為（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
9．一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)條件便得到正方形：
a．兩組對(duì)邊分別相等
b．一組對(duì)邊平行且相等
c．一組鄰邊相等
d．一個(gè)角是直角
順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
則正確的是（ ）
A．僅①B．僅③C．①②D．②③
10．如圖，點(diǎn)E、F在矩形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上，BE＝DF，則四邊形AECF是（ ）
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形
二．填空題（共9小題，滿分36分）
11．如圖，BD是正方形ABCD的一條對(duì)角線，E是BD上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB延長線上一點(diǎn)，連接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，則∠BAF的度數(shù)為 ．
12．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝BF，連接CE、DF，相交于點(diǎn)G，連接AG，若正方形的邊長為2．則線段AG的最小值為 ．
13．如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接DE，AE，CE，過點(diǎn)D作DE的垂線交AE于點(diǎn)P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列結(jié)論：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③點(diǎn)C到直線DE的距離為；④S正方形ABCD＝5+2，其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
14．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足為G，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OG，則OG的長為 ．
15．在邊長為4的正方形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，點(diǎn)P是正方形邊上或?qū)蔷€上的一點(diǎn)，若PB＝3PC，則PC＝ ．
16．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF為定值；⑤S四邊形PEFG＝S△APG．以上結(jié)論正確的有 （填入正確的序號(hào)即可）．
17．如圖，正方形ABCD的邊長為4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長線上，且CE＝2，DF＝1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H，連接GH，則GH的長為 ．
18．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D．若△ABC的一條邊長為6，則點(diǎn)D到直線AB的距離為 ．
19．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使矩形ABCD是正方形．
三．解答題（共6小題，滿分44分）
20．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，過點(diǎn)F做FG⊥BC于點(diǎn)G，連接AC．易證：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中點(diǎn)M，連接EM）
（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖2；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，如圖3．請(qǐng)直接寫出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2進(jìn)行證明；
（2）已知正方形ABCD的面積是27，連接AF，當(dāng)△ABE中有一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí)，則AF的長為 ．
21．已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊DA的延長線上，連接CE交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BM⊥CE，垂足為點(diǎn)M，BM的延長線交AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)H．
（1）如圖1，求證：CE＝BH；
（2）如圖2，若AE＝AB，連接CF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEG除外），使寫出的每個(gè)三角形都與△AEG全等．
22．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A′，AA′的延長線交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大?。?br>（3）求證：A′C＝2A′B．
23．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．
（1）證明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四邊形BEDF的周長．
24．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)H．
（1）求證：AD⊥EF；
（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？說明理由．
25．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA＝EB＝FC＝GD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O．
（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個(gè)四邊形按圖3的方式拼接成一個(gè)四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，則圖3中陰影部分的面積為 cm2．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分40分）
1．解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE與△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正確；
∴∠EGD＝90°，
延長CE交DA的延長線于H，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜邊的中線，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；
故選：D．
2．解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，
Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE，
設(shè)CE＝x，則DE＝2x，
根據(jù)勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，
即32+x2＝（2x）2，
解得：x＝±（負(fù)值舍去），
∴CE＝，
∵DE⊥CF，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴BF＝CE＝．
故選：C．
3．解：過F作AB的垂線交AB于N，交CD于M，如圖，
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∴四邊形CMNB為矩形，
∴MN＝BC＝4，CM＝BN，
∵BF⊥EF，
∴∠EFB＝∠FNB＝90°，
∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM，
∴∠FBN＝∠EFM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝NB，
在△MEF與△NFB中，
，
∴△MFE≌△NBF（ASA），
∴ME＝FN，
設(shè)ME＝FN＝x，則MC＝MF＝BN＝1+x，
∵M(jìn)N＝MF+FN＝4，
∴1+x+x＝4，
∴x＝，
∴FN＝，
∵四邊形ABCD為正方形，MN⊥AB，
∴∠NAF＝∠NFA＝45°，
∴FN＝AN，
∴AF＝＝FN＝，
故選：B．
4．解：∵四邊形PBEF為正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四邊形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故選：B．
5．解：①連接BE，交FG于點(diǎn)O，如圖，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形EFBG為矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正確；
②延長DE，交FG于M，交FB于點(diǎn)H，∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正確；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正確；
④∵點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，
∴根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最?。?br>∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值為2，
∴④錯(cuò)誤．
綜上，正確的結(jié)論為：①②③．
故選：C．
6．解：∵F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn)，
∴AF＝BE，
在△AFD和△BEA中，
，
∴△AFD≌△BEA（SAS），
∴∠FDA＝∠EAB，
又∵∠FDA+∠AFD＝90°，
∴∠EAB+∠AFD＝90°，
即∠EAF+∠AFD＝90°，
故C正確，A、B、D無法證明其成立，
故選：C．
7．解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四邊形MOND的面積是1，四邊形MOND的面積＝△DOM的面積+△DON的面積，
∴四邊形MOND的面積＝△CON的面積+△DON的面積＝△DOC的面積，
∴△DOC的面積是1，
∴正方形ABCD的面積是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故選：C．
8．解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O為MN的中點(diǎn)，
∴OP＝，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP
＝30°+45°
＝75°，
故選：C．
9．解：①由a得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加d即一個(gè)角是直角的菱形是正方形，故①正確；
②由b得到一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加d即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，再添加c即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；
③由a得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加b得到一組對(duì)邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；
故選：C．
10．解：A．∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
故本選項(xiàng)符合題意；
B．∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四邊形AECF不是矩形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵四邊形ABCD是矩形，
∴不能證明AC⊥BD，
∴不能證明AC⊥EF，
故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四邊形AECF不是正方形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
二．填空題（共9小題，滿分36分）
11．解：如右圖，連接AE，
∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF為等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案為：22.5°．
12．解：如圖1，取CD的中點(diǎn)H，連接GH，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴點(diǎn)G在以DC為直徑的圓上，
如圖2，連接AC，BD交于點(diǎn)O，取DC的中點(diǎn)H，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)G在以H為圓心，CH為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與O重合時(shí)，AG最小，
此時(shí)AG＝AO＝AC＝，
即AG的最小值＝．
故答案為：；
13．解：①∵DP⊥DE，
∴∠PDE＝90°．
∴∠PDC+∠CDE＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴∠CDE＝∠ADP．
在△APD和△CED中，
，
∴△APD≌△CED（SAS），
故①正確；
②∵△APD≌△CED，
∴∠APD＝∠CED，
又∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP，
∴∠PDE＝∠CEA＝90°．
即AE⊥CE，故②正確；
③過點(diǎn)C作CF⊥DE的延長線于點(diǎn)F，如圖，
∵DE＝DP，∠PDE＝90°，
∴∠DPE＝∠DEP＝45°．
又∵∠CEA＝90°，
∴∠CEF＝∠FCE＝45°．
∵DP＝DE＝1，
∴PE＝＝．
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝EF＝＝，
即點(diǎn)C到直線DE的距離為，故③錯(cuò)誤；
④∵CF＝EF＝，DE＝1，
在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝＝2+3+＝，
∴S正方形ABCD＝，
故④正確．
綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)為①②④，
故答案為：①②④．
14．解：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，邊長為6，
∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵BC＝3BE，BE＝CF，
∴BE＝CF＝2，
∴E（2，0），F(xiàn)（6，2），A（0，6），D（6，6），
設(shè)直線AE解析式為y＝ax+b，則，
解得，
∴直線AE解析式為y＝﹣3x+6，
設(shè)直線BF解析式為y＝cx，則2＝6c，
解得c＝，
∴直線BF解析式為y＝x，
由得，
∴G（，），
∵O為BD中點(diǎn)，
∴O（3，3），
∴OG＝＝，
故答案為：．
補(bǔ)充方法一：
過B作BH⊥OG于G，連接OA，如圖：
∵邊長為6的正方形ABCD，BC＝3BE，
∴BE＝2，AE＝＝2，
由面積法可得BG＝＝，
由O是正方形對(duì)角線BD中點(diǎn)知：∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，
而∠AGB＝90°，
∴A、B、G、O四點(diǎn)共圓，
∴∠ABO＝∠AGO＝45°，
∴∠BGH＝45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴BH＝GH＝＝，
在Rt△BOH中，OH＝＝，
∴OG＝OH﹣GH＝＝．
補(bǔ)充方法二：
連接AC，如圖：
由O是正方形對(duì)角線BD中點(diǎn)知：∠AOB＝90°，
而∠AGB＝90°，
∴A、B、G、O四點(diǎn)共圓，
∴∠ABO＝∠AGO＝45°＝∠ACE，
又∠GAO＝∠CAE，
在Rt△ABE中，AE＝＝2，
而CE＝BC＝4，OA＝＝3，
∴＝，
∴OG＝．
15．解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∴OB＝2，
∵PB＝3PC，
∴設(shè)PC＝x，則PB＝3x，
有三種情況：
①點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖2，
∵AD＝4，PB＝3PC，
∴PC＝1；
②點(diǎn)P在AC上時(shí)，如圖3，
在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
（3x）2＝（2）2+（2﹣x）2，
解得：x＝（負(fù)數(shù)舍去），
即PC＝；
③點(diǎn)P在CD上時(shí)，如圖4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，
42+x2＝（3x）2，
解得：x＝（負(fù)數(shù)舍去），
即PC＝；
綜上，PC的長是1或或．
故答案為：1或或．
16．解：取AF的中點(diǎn)T，連接PT，BT．
∵AP⊥PF，四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AT＝TF，
∴BT＝AT＝TF＝PT，
∴A，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故①正確，
將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，
∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C，B，M共線，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴△FAM≌△FAE（SAS），
∴FM＝EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正確，
連接PC，過點(diǎn)P作PQ⊥CF于Q，過點(diǎn)P作PW⊥CD于W，則四邊形PQCW是矩形，
在△PBA和PCB中，
，
∴△PBA≌△PBC（SAS），
∴PA＝PC，
∵PF＝PA，
∴PF＝PC，
∵PQ⊥CF，
∴FQ＝QC，
∵PB＝BQ，PD＝PW＝CQ＝FQ，
∴PB﹣PD＝（BQ﹣FQ）＝BF，故③正確，
∵△AEF≌△AMF，
∴S△AEF＝S△AMF＝FM?AB，
∵FM的長度是變化的，
∴△AEF的面積不是定值，故④錯(cuò)誤，
∵A，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，
∴∠APG＝∠AFB，
∵△AFE≌△AFM，
∴∠AFE＝∠AFB，
∴∠APG＝∠AFE，
∵∠PAG＝∠EAF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S四邊形PEFG＝S△APG，故⑤正確，
故答案為：①②③⑤．
17．解：以O(shè)為原點(diǎn)，垂直AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：
∵正方形ABCD的邊長為4，CE＝2，DF＝1，
∴E（4，﹣2），F(xiàn)（2，3），
∵G為EF的中點(diǎn)，
∴G（3，），
設(shè)直線OE解析式為y＝kx，將E（4，﹣2）代入得：
﹣2＝4k，解得k＝﹣，
∴直線OE解析式為y＝﹣x，
令x＝2得y＝﹣1，
∴H（2，﹣1），
∴GH＝＝，
方法二：如下圖，連接OF，過點(diǎn)O作OM⊥CD交CD于M，
∵O為正方形對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易證△OHM≌△EHC，
∴點(diǎn)H、點(diǎn)G分別為OE、FE的中點(diǎn)，
∴GH為△OEF的中位線，
∴GH＝OF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，
∴GH＝OF＝，
故答案為：．
18．解：①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過D作DH⊥AB于H，如圖：
∵△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝AC，
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH，
∴DH＝BC，
若AC＝6，則BC＝3，此時(shí)DH＝，即點(diǎn)D到直線AB的距離為；
若AB＝BC＝6，則DH＝BC＝3，即點(diǎn)D到直線AB的距離為3；
②當(dāng)B不是直角頂點(diǎn)時(shí)，過D作DH⊥BC于H，如圖：
∵△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，
∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴AB＝BH，
若AB＝AC＝6時(shí)，BH＝6，BC＝＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣6，
∴AD＝6﹣6，即此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離為6﹣6；
若BC＝6，則AB＝3，
∴BH＝3，
∴CH＝6﹣3，
∴AD＝6﹣3，即此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離為6﹣3；
綜上所述，點(diǎn)D到直線AB的距離為或3或6﹣6或6﹣3．
故答案為：或3或6﹣6或6﹣3．
19．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形．
或∵四邊形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是正方形，
故答案為：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
三．解答題（共6小題，滿分44分）
20．解：（1）如圖2中，結(jié)論：AC＝（FG+EC）．
理由：在AB上截取BM＝BE，連接EM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，
∴AM＝EC，∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠EAM＝∠FEC，
∴在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴EM＝CF，
∵EM＝BE，CF＝FG，
∴BE＝FG，
∵AC＝BC＝（BE+EC），
∴AC＝（FG+EC）．
如圖3中，結(jié)論：AC＝（FG﹣EC）．
（2）如圖1中，當(dāng)∠BAE＝30°時(shí)，
∵正方形的面積為27，
∴AB＝3，∠B＝90°，
∴BE＝3×＝3，
∴AE＝2BE＝6，
∵△AEM≌△EFC
∴AE＝EF＝6，
∴AF＝6，
如圖3中，當(dāng)∠AEB＝30°時(shí)，同法可得AE＝EF＝2AB＝6，
∴AF＝AE＝6，
綜上所述，AF的長為6或6．
21．證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°，
∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，
∴∠H＝∠E，
在△EDC和△HCB中，
，
∴△EDC≌△HCB（AAS），
∴CE＝BH；
（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，
理由如下：∵AE＝AB，
∴AE＝BC＝AD＝CD，
∵△EDC≌△HCB，
∴ED＝HC，
∵AD＝CD，
∴AE＝HD＝BC＝AB，
在△AEG和△BCG中，
，
∴△AEG≌△BCG（AAS），
∴AG＝BG＝AB，
同理可證△AFB≌△DFH，
∴AF＝DF＝AD，
∴AG＝AF＝DF，
在△AEG和△ABF中，
，
∴△AEG≌△ABF（SAS），
同理可證△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
22．證明：（1）如圖，設(shè)AG與DE的交點(diǎn)為O，連接GF，
∵點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A′，
∴AO＝A'O，AA'⊥DE，
∵E，F(xiàn)為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴AE＝EF＝BF，
∴OE是△AA'F的中位線，
∴DE∥A'F；
（2）∵AA'⊥DE，
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，
∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，
，
∴△ADE≌△BAG（ASA），
∴AE＝BG，
∴BF＝BG，
∴∠GFB＝∠FGB＝45°，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴點(diǎn)F，點(diǎn)B，點(diǎn)G，點(diǎn)A'四點(diǎn)共圓，
∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；
（3）設(shè)AE＝EF＝BF＝BG＝a，
∴AD＝BC＝3a，F(xiàn)G＝a，
∴CG＝2a，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝a＝AG，
∴OE＝a，
∴AO＝＝＝a＝A'O，
∴A'G＝a，
∵AO＝A'O，AE＝EF，
∴A'F＝a＝a，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴∠A'FB+∠A'GB＝180°，
∵∠A'GC+∠A'GB＝180°，
∴∠A'FB＝∠A'GC，
∴，
∴A′C＝2A′B．
23．（1）證明：由正方形對(duì)角線平分每一組對(duì)角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形對(duì)角線相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四邊形BEDF為菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝，
故四邊形BEDF的周長為8．
24．（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED與△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∴AD⊥EF；
（2）解：△ABC滿足∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵EF⊥AD，
∴矩形AEDF是正方形．
25．解：（1）四邊形EFGH是正方形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵HA＝EB＝FC＝GD，
∴AE＝BF＝CG＝DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG＝∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴四邊形EFGH是正方形．
（2）∵HA＝EB＝FC＝GD＝1，AB＝BC＝CD＝AD＝3，
∴GF＝EF＝EH＝GH＝（cm），
∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形，
∴GO＝OF，∠GOF＝90°，
由勾股定理得：GO＝OF＝（cm），
∵S四邊形FCGO＝×1×2+××＝（cm2，
∴S陰影＝﹣S四邊形FCGO×4＝10﹣9＝1（cm2）．

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