一、選擇題
1．已知空間向量,,滿足,,,,則與的夾角為( )
A.B.C.D.
2．若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.B.C.或D.3r或r
3．已知圓，點(diǎn)，，在圓M上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
4．已知兩圓和相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
5．已知圓，圓，則圓，的位置關(guān)系為( )
A.內(nèi)含B.外切C.相交D.外離
6．已知P是圓上一點(diǎn)，Q是圓上一點(diǎn)，則的最小值為( )
A.1B.C.2D.
7．以點(diǎn)為圓心，且與圓相外切的圓的方程為( )
A.B.
C.D.
8．如圖是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知平面上—點(diǎn),若直線上存在點(diǎn)P使,則稱該直線為“切割型直線”,下列直線中是“切割型直線”的是( )
A. B.C.D.
10．已知圓：,圓：交于不同的,兩點(diǎn),下列結(jié)論正確的有( )
A. B.
C.D.
11．直線與圓的大致圖像可能正確的是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．在平面直角坐標(biāo)系中，,是直線l上不同的兩點(diǎn)，直線l上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量.已知直線l的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，則直線l的傾斜角為______.
13．已知是方程組的解，
則方程組的解是______．
14．平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為，，，，，光線從邊上一點(diǎn)沿與x軸成角的方向發(fā)射到邊上的點(diǎn)，被反射到上的點(diǎn)，再被反射到上的點(diǎn)，最后被反射到x軸上的點(diǎn)，若，則的取值范圍是________.
四、解答題
15．已知圓.
(1)若直線l過定點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程;
(2)若直線與圓C交于A,B兩點(diǎn),求的最小值.
16．如圖，在四棱柱中，二面角，均為直二面角.
（1）求證：平面；
（2）若，，二面角的正弦值為，求的值.
17．如圖,長方體中,點(diǎn)E,F分別在,上,且,.
（1）求證:平面AEF;
（2）當(dāng),時(shí),求平面AEF與平面的夾角的余弦值.
18．如圖,在四棱錐中,底面為矩形,M在棱上且,,,平面,在棱上存在一點(diǎn)Q滿足平面.
(1)證明：平面平面;
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
19．如圖,已知AB是圓柱下底面圓的直徑,點(diǎn)C是下底面圓周上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),CD,BE是圓柱的兩條母線.
（1）求證:平面BCDE;
（2）若,,圓柱的母線長為,求平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
參考答案
1．答案：D
解析：設(shè)與的夾角為,由,得,兩邊同時(shí)平方得,所以1,解得,又,所以.
2．答案：C
解析：圓的圓心為，半徑為r，圓的圓心為，半徑為2r.
①當(dāng)兩圓外切時(shí)，有，此時(shí).
②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有，此時(shí).
綜上，當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切.故選C.
3．答案：C
解析：如圖，構(gòu)造圓，當(dāng)圓O與圓M有公共點(diǎn)P時(shí)，，即圓O與圓M的關(guān)系可以為相切或相交，所以解得.故選C.
4．答案：C
解析：由圓，知圓心為，半徑，由圓，知圓心為，半徑，
所以根據(jù)兩圓相交得，，則.故選C.
5．答案：C
解析：圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為.兩圓心距離為，因?yàn)?，所以圓與圓相交.故選C.
6．答案：B
解析：因?yàn)?，，所以，且兩圓的半徑分別為，，，即兩圓外離，所以的最小值為.故選B.
7．答案：B
解析：由題意可知，兩圓的圓心距為，設(shè)圓C的半徑為r，因?yàn)閮蓤A相外切，所以，得，所以圓C的方程為.故選B.
8．答案：C
解析：由題意得該幾何體有6個(gè)面是邊長為的正方形，8個(gè)面是邊長為的等邊三角形.
在原正方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知原正方體的棱長為2，則，，，設(shè)，，，.設(shè)直線DE與直線AF所成的角為，則直線DE與直線AF所成角的余弦值，而，故，則.故選C.
9．答案：BC
解析：所給直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)M距離能否取4,可通過求各直線上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最小距離,即點(diǎn)M到直線的距離來分析.
A.因?yàn)?故直線上不存在點(diǎn)到M距離等于4,不是“切割型直線”;
B.因?yàn)?所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn),使之到點(diǎn)M距離等于4,是“切割型直線”;
C.因?yàn)?直線上存在一點(diǎn),使之到點(diǎn)M距離等于4,是“切割型直線”;
D.因?yàn)?故直線上不存在點(diǎn)到M距離等于4,不是“切割型直線”.
10．答案：ABC
解析：由題意,由圓的方程可化為
兩圓的方程相減可得直線AB的方程為：,即,
分別把,兩點(diǎn)代入可得：,
兩式相減可得,即,所以選項(xiàng)A、B正確;
由圓的性質(zhì)可得,線段AB與線段互相平分,所以,.
所以選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D不正確.
11．答案：AC
解析：A：直線不經(jīng)過第四象限，所以，，所以圓的圓心在第一象限，因此本選項(xiàng)可能正確；
B：直線不經(jīng)過第一象限，所以，，所以圓的圓心在第三象限，因此本選項(xiàng)不可能正確；
C：直線不經(jīng)過第一象限，所以，，所以圓的圓心在第三象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，
得或，因?yàn)椋?br>所以，因此本選項(xiàng)可能正確；
D：直線不經(jīng)過第二象限，所以，，所以圓的圓心在第四象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，
得或，因?yàn)椋?br>所以，因此本選項(xiàng)不可能正確，
故選：AC.
12．答案：
解析：直線l的一個(gè)方向向量為
,
,
直線l傾斜角為.
13．答案：
解析：由題意，代入方程組可得，
所以當(dāng)時(shí)，代入方程組，
可得，成立，
所以方程組的解是，
故答案為：
14．答案：
解析：點(diǎn)沿與x軸成角的方向發(fā)射到邊上的點(diǎn)，
則，
有，則，，
，，
，，
即，
，解得.
故答案為：
15．答案：(1)直線l的方程為和.
(2)
解析：(1)已知圓心,半徑,
當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直,即,
圓心到直線l的距離為,解方程可得,
此時(shí)直線方程為,整理得.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線l的方程為,滿足題意.
所以直線l的方程為和.
(2)直線l的方程可化為點(diǎn)斜式,所以l過定點(diǎn).
又點(diǎn)在圓C內(nèi),當(dāng)直線l與直線垂直時(shí),直線l被圓截得的弦最小.
因?yàn)?所以l的斜率,
所以l的方程為,即,
因?yàn)?,
此時(shí)
所以當(dāng)時(shí),的最小值為.
16．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：在平面內(nèi)取點(diǎn)E，過E作直線，由于二面角為直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
同理過E作直線，由于二面角為直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
由于，不平行，故a，b不重合，，平面，
故平面；
（2）由題意可得，可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，，，，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，則，
二面角的正弦值為，故其余弦值的絕對(duì)值為，
即，即，解得，
故.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因?yàn)槠矫?平面,所以,
又且,,平面,所以平面,
且平面,故,同理,,
AE,平面AEF,,
所以平面AEF.
（2）以A為原點(diǎn),AB,AD,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:
則,,,,
在平面中,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,可取
由（1）知,平面AEF的一個(gè)法向量為
設(shè)平面AEF與平面的夾角為,
則
故所求的夾角的余弦值為.
18．答案：(1)證明見解析;
(2).
解析：(1)在四棱錐中,底面為矩形,則,
由平面,平面,得,
而,,平面,則平面,又平面,
所以平面平面.
(2)依題意,直線,,兩兩垂直,
以點(diǎn)D為原點(diǎn),直線,,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,由,得,令,,
則有,即,,
,,由平面,得存在實(shí)數(shù)p,q使,
即,解得,,
,,,
設(shè)平面的法向量,則,令,,
設(shè)平面的法向量,則,令,,
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19．答案：（1）證明見解析;
（2）
解析：（1）因?yàn)锳B是底面的一條直徑,C是下底面圓周上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),
所以,
又因?yàn)镃D是圓柱的一條母線,所以底面ACB,
而底面ACB,所以,
因?yàn)槠矫鍮CDE,平面BCDE,且,
所以平面BCDE,
又因?yàn)?所以平面平面BCDE;
（2）如圖所示,
過作圓柱的母線AM,連接DM,EM
因?yàn)榈酌?/上底面DME,所以即求平面ADE與平面DME所成銳二面角的大小,
因?yàn)镸,E在底面的射影為A,B,且AB為下底面的直徑,所以EM為上底面的直徑,
因?yàn)锳M是圓柱的母線,所以平面DME,
又因?yàn)镋M為上底面的直徑,所以,而平面,
所以為平面ADE與平面DME所成的二面角的平面角,
又因?yàn)镈在底面射影為C,所以,,
所以,又因?yàn)槟妇€長為,所以,
又因?yàn)槠矫鍰ME,平面DME,所以,
所以,
所以,
即平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.

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