一、選擇題
1. 已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，然后兩邊平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量的夾角.
【詳解】設(shè)與的夾角為，由，得，
兩邊同時(shí)平方得，
所以1，解得，
又，所以.
故選：D
2. 若圓與圓相切，則的值為（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分類討論: 當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于半徑之差，即可求解.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.
①當(dāng)兩圓外切時(shí)，有，此時(shí).
②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有，此時(shí).
綜上，當(dāng)時(shí)兩圓外切；當(dāng)時(shí)兩圓內(nèi)切.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時(shí)易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時(shí)注意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知圓：，點(diǎn)，，在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造圓：，由條件可得圓與圓相切或相交，列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】
如圖，構(gòu)造圓：，當(dāng)圓與圓有且僅有一個公共點(diǎn)時(shí)，，
即圓與圓的關(guān)系可以為相切或相交，所以，解得.
故選：C
4. 已知兩圓和相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍.
【詳解】由圓，設(shè)圓心且半徑，
由圓，設(shè)圓心且半徑，由，
所以時(shí)，兩圓相交，則，
故選：C.
5. 已知圓，圓，則圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 內(nèi)含B. 外切C. 相交D. 外離
【答案】C
【解析】
【分析】將兩個圓化為圓的一般方程，得其圓心與半徑，再根據(jù)圓心距與半徑和差的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系即可.
【詳解】圓，化為，圓心為，半徑為；
圓，化為，圓心為，半徑為．
則兩圓心距離為，
因?yàn)?，所以圓與圓相交．
故選：C．
6. 已知是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩圓的圓心距及圓的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，且兩圓的半徑分別為，即兩圓外離，
所以的最小值為.
故選：B
7. 以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程為（ ）
A. B.
C. =16D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓外切求圓的半徑，即可求解.
【詳解】由題意可知，兩圓的圓心距為5，設(shè)圓的半徑為，
因?yàn)閮蓤A相外切，則，得，
所以圓方程為.
故選：B
8. 如圖是一個棱數(shù)為，棱長為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在原正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解
【詳解】由題意得該幾何體有6個面為邊長為的正方形，8個面為邊長為的等邊三角形，
在原正方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，原正方體邊長為2，
則，，，設(shè)，
，，
則直線DE與直線AF所成角的余弦值，
而，故，，

故選： C.
二、多項(xiàng)選擇題
9. 已知平面上一點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)P使，則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”，下列直線中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分別計(jì)算點(diǎn)M到四條直線的距離,結(jié)合點(diǎn)M相關(guān)直線的定義，即可得到答案.
【詳解】對于A，,直線為,所以點(diǎn)到直線的距離為:,
即點(diǎn)到直線的最小值距離大于4,所以直線上不存在點(diǎn)使成立.故A錯誤，
對于B，,直線為,所以點(diǎn)到直線的距離為,
所以點(diǎn)到直線的最小值距離小于4,
所以直線上存在點(diǎn)使成立.故B正確，
對于C，,直線為,所以點(diǎn)到直線的距離為:,
所以點(diǎn)到直線的最小值距離等于4,
所以直線上存在點(diǎn)使成立，故C正確，
對于D，,直線為,所以點(diǎn)到直線的距離為:,
即點(diǎn)到直線的最小值距離大于4,
所以直線上不存在點(diǎn)使成立.故D錯誤，
故選：BC.
10. 已知圓，圓，，且，不同時(shí)為交于不同的兩點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用圓的公共弦方程可判定A，B，利用圓半徑相同，再根據(jù)圓的性質(zhì)判定圓心連線與公共弦垂直且平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判定C，D.
【詳解】根據(jù)題意：圓和圓
交于不同的兩點(diǎn)A，，
兩圓方程相減可得直線的方程為：，
即，
分別把點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，，
上面兩式相減得：，即，所以選項(xiàng)正確；
由上得：，所以選項(xiàng)B正確；
兩圓的半徑相等，
由圓的性質(zhì)可知，線段與線段互相平分，
則有，
變形可得，，故C正確，D錯誤.
故選：ABC.
11. 直線 與圓 的大致圖像可能正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)每個選項(xiàng)的直線的斜截式方程可以判斷出的正負(fù)性，再判斷圓心的位置即可.
【詳解】A：直線不經(jīng)過第四象限，所以，所以圓的圓心在第一象限，因此本選項(xiàng)可能正確；
B：直線不經(jīng)過第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，因此本選項(xiàng)不可能正確；
C：直線不經(jīng)過第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，
得或，因?yàn)椋?br>所以，因此本選項(xiàng)可能正確；
D：直線不經(jīng)過第二象限，所以，所以圓的圓心在第四象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，
得或，因?yàn)椋?br>所以，因此本選項(xiàng)不可能正確，
故選：AC
三、填空題
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上不同的兩點(diǎn)，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角.
【詳解】因?yàn)橹本€的一個方向向量為，
所以直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所以?br>即直線的傾斜角為.
故答案為：
13. 已知是方程組的解，則方程組的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩個方程組之間的關(guān)系，觀察可得出方程組的解.
【詳解】由題意，代入方程組可得，
所以當(dāng)時(shí)，代入方程組，
可得，成立，
所以方程組解是，
故答案為：
14. 平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點(diǎn)為，，，，，光線從OA邊上一點(diǎn)沿與x軸成角的方向發(fā)射到AB邊上的點(diǎn)，被AB反射到BC上的點(diǎn)，再被BC反射到OC上的點(diǎn)，最后被OC反射到x軸上的點(diǎn)，若，則的取值范圍是______.

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用入射光線與反射光線的關(guān)系，用表示t的值，由此可得關(guān)于的不等式，解可得答案．
【詳解】點(diǎn)沿與x軸成角的方向發(fā)射到AB邊上的點(diǎn)，
則，
有，則，，
，，
，，
即，
，解得.
故答案為：
四、解答題
15. 已知圓：.
（1）若直線過定點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程；
（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求的最小值.
【答案】（1）直線的方程為和.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，分切線的斜率存在與不存在討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，由條件可得當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，直線l被圓截得的弦最小，再由弦長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
已知圓心，半徑，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直，即，
圓心到直線的距離為，解方程可得，
此時(shí)直線方程為，整理得.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足題意.
所以直線的方程為和.
【小問2詳解】
直線的方程可化為點(diǎn)斜式，所以l過定點(diǎn).
又點(diǎn)在圓C內(nèi)，當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，直線l被圓截得的弦最小.
因?yàn)?，所以l的斜率，
所以l的方程為，即，
因?yàn)椋?br>此時(shí)
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
16. 如圖，在四棱柱中，二面角均為直二面角.

（1）求證：平面；
（2）若，二面角的正弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在平面內(nèi)取點(diǎn)E，過E作直線，，根據(jù)面垂直的性質(zhì)可證明，，再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
證明：在平面內(nèi)取點(diǎn)E，過E作直線，由于二面角為直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
同理過E作直線，由于二面角為直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
由于不平行，故不重合，平面，
故平面；
【小問2詳解】
由題意可得，可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，則，
即，令，則，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，則，
即，令，則，
二面角的正弦值為，故其余弦值的絕對值為，
即，即，解得，
故.
17. 如圖，長方體中，點(diǎn)分別在上，且，.
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證，，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>又且，平面，所以平面，
且平面，故，同理，，
平面，
所以平面.
【小問2詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，
在平面中，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，可取
由（1）知，平面的一個法向量為
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
故所求的夾角的余弦值為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點(diǎn)滿足平面．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)及面面垂直的判定推理即得.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
【小問1詳解】
在四棱錐中，底面為矩形，則，
由平面，平面，得，
而平面，則平面，又平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
依題意，直線兩兩垂直，
以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，由，得，令，
則有，即，，
，由平面，得存在實(shí)數(shù)使，
即，解得，，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，，
設(shè)平面的法向量，則，令，，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19. 如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)是下底面圓周上異于的動點(diǎn)，，是圓柱的兩條母線．
（1）求證：平面；
（2）若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明線面垂直，通過線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面垂直即可；
（2）先作出底面的垂線，再由垂足作兩個面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構(gòu)成二面角的平面角求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槭堑酌娴囊粭l直徑，是下底面圓周上異于的動點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槭菆A柱的一條母線，所以底面，
而底面，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，且?br>所以平面，
又因?yàn)椋云矫嫫矫妫?br>【小問2詳解】
如圖所示，
過作圓柱的母線，連接，
因?yàn)榈酌?/上底面，所以即求平面與平面所成銳二面角的大小，
因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀椋覟橄碌酌娴闹睆剑詾樯系酌娴闹睆剑?br>因?yàn)槭菆A柱的母線，所以平面，
又因?yàn)闉樯系酌娴闹睆?，所以，而平面?br>所以為平面與平面所成的二面角的平面角，
又因?yàn)樵诘酌嫔溆盀?，所以，?br>所以，又因?yàn)槟妇€長為，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>所以,
所以，
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

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