注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. “為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命題；命題，則（ ）
A. p和q都是真命題B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題D. 和都是真命題
4. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
5. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
6. 如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 正確表示圖中陰影部分的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若，則的最小值為（ ）．
A. 2B. C. 4D. 6
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9. 若關于的一元二次不等式的解集為，則（ ）
A. B.
C D.
10 若非空集合滿足：，則（ ）
B.
C. D.
11. 長方體的長、寬、高分別為．長方體的表面積為16．則（ ）
A. B. C. D.
三、填空題；本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12. “，”的否定是_______．
13. 某校學生積極參加社團活動，高一年級共有名學生，其中參加合唱社團的學生有名，參加科技社團的學生有名（并非每個學生必須參加某個社團）.在高一年級的學生中，同時參加合唱社團和科技社團的最多有_______名學生，最少有__________名學生.
14. 已知，則的最小值為_______．
四、解答題；本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 設集合，.
（1）若且，求取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
16. 如圖所示，某學校要在長為8，寬為6的一塊矩形地面上進行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為x，中間植草坪.
（1）若中間草坪面積為矩形土地面積一半，則花卉帶的寬度x是多少？
（2）為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則花卉帶的寬度x的取值范圍是多少？
17. 已知函數(shù)．
（1）若對任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若對任意滿足的x，都有，求實數(shù)a的取值范圍．
18. （1）設，證明：的充要條件為．
（2）設，求證：至少有一個為負數(shù)．
19. （1）設，求證：，
（2）設，求證：，
2024-2025學年山東省新泰市高一上學期10月聯(lián)考數(shù)學檢測試題
本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. “為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義判定即可.
【詳解】由為自然數(shù)能推出為自然數(shù)，故“為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的充分條件，
當時，為自然數(shù)，不能推出為自然數(shù)，
故“為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的不必要條件，
綜上所述，“為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由集合的交集運算即可求解.
【詳解】因為，所以．
故選:C．
3. 已知命題；命題，則（ ）
A. p和q都是真命題B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題D. 和都是真命題
【正確答案】B
【分析】分別判斷命題與命題的真假，利用命題和命題的否定真假相反即可判斷、的真假，即可得結論.
【詳解】解析：對于p而言，取，則有，故p是假命題，是真命題，
對于q而言，取，則有，故q是真命題，是假命題，
綜上，和q都是真命題.
故選：B.
4. 下列不等式中成立是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】B
【分析】取特殊值，可知A錯誤；利用作差法即可判斷比較出選項BCD的大小，得出結論.
【詳解】對于A，若，則錯誤，如時，，所以A錯誤；
對于B，若，則，所以B正確；
對于C，若，則，所以C錯誤；
對于D，若，則，所以D錯誤.
故選：B
5. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)平方根的運算，可得集合的元素，結合交集與補集，可得答案.
【詳解】因為，所以，
則，
故選：D．
6. 如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出，再結合可得出結果.
【詳解】由已知，利用基本不等式得出，
因為，則，，
所以，，
∴.
故選：B
7. 正確表示圖中陰影部分的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】通過并集，交集和補集的概念計算，對四個選項一一判斷，得到答案.
【詳解】A選項，如圖1，表達的部分為①②③的并集，不滿足要求，A錯誤；
BD選項，如圖2，和表達的部分均為②③④部分的并集，不滿足要求，BD錯誤；
C選項，根據(jù)計算，滿足題意，C正確；
故選：C
8. 若，則的最小值為（ ）．
A. 2B. C. 4D. 6
【正確答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式，分兩步進行化簡，可得答案.
【詳解】，
當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為4，
故選：C．
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9. 若關于的一元二次不等式的解集為，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函數(shù)“三個二次”的關系分析，結合圖象即可一一判斷.
【詳解】對于A，由題意，結合二次函數(shù)的圖象知，拋物線開口應向下，則，故A錯誤；
對于B，依題意，，且一元二次方程的兩根為和3，
由韋達定理，，故，，即，故B正確；
對于C，由上分析可得，故C正確；
對于D，由上分析可得，故D正確.
故選：BCD.
10. 若非空集合滿足：，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABD
【分析】運用集合與集合之間的關系，結合交并運算逐個判斷即可.
【詳解】由得，由得，所以
，B正確；
，A正確；
，C錯誤；
，D正確．
故選:ABD．
11. 長方體的長、寬、高分別為．長方體的表面積為16．則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】BC
【分析】由題可得，后由基本不等式可判斷選項正誤.
【詳解】由題長方體的表面積為，則.
因為，得，當且僅當時取等號，
即，所以，得到，所以，故A錯誤，B正確；
又由，得到，當且僅當時取等號，即，
整理得到，解得，所以C正確，D錯誤.
故選:BC．
三、填空題；本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12. “，”的否定是_______．
【正確答案】，
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定方法對命題否定即可.
【詳解】由命題否定的定義可知，命題“，”的否定是“，”．
故
13. 某校學生積極參加社團活動，高一年級共有名學生，其中參加合唱社團的學生有名，參加科技社團的學生有名（并非每個學生必須參加某個社團）.在高一年級的學生中，同時參加合唱社團和科技社團的最多有_______名學生，最少有__________名學生.
【正確答案】 ①. ②.
【分析】設同時參加合唱社團和科技社團的學生人數(shù)為根據(jù)題中可得出關于的不等式，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】設同時參加合唱社團和科技社團的學生人數(shù)為，則，
由題意可得，解得，故，
故同時參加合唱社團和科技社團的最多有個學生，最少有個學生，
故；.
14. 已知，則的最小值為_______．
【正確答案】
【分析】“”的妙用，利用，再結合基本不等式即可求解.
【詳解】．
當且僅當，即時取等號，
的最小值為，
故答案為.
四、解答題；本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 設集合，.
（1）若且，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)且，列不等式組求的取值范圍；
（2）分和兩種情形進行討論，根據(jù)，列不等式組求的取值范圍.
【小問1詳解】
因為，且，所以，解得，，
綜上所述，的取值范圍為.
【小問2詳解】
由題意，需分為和兩種情形進行討論：
當時，，解得，，滿足題意；
當時，因為，所以，解得，或無解；
綜上所述，取值范圍為.
16. 如圖所示，某學校要在長為8，寬為6的一塊矩形地面上進行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為x，中間植草坪.
（1）若中間草坪面積為矩形土地面積的一半，則花卉帶的寬度x是多少？
（2）為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則花卉帶的寬度x的取值范圍是多少？
【正確答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先用表示出中間草坪的長，寬，中間草坪的面積，矩形土地的面積，再由題意建立限制條件求解出花卉帶的寬度x即可；
（2）先用表示出中間草坪的長，寬，中間草坪的面積，矩形土地的面積，再由題意建立不等式組求解出花卉帶的寬度x的取值范圍即可.
【詳解】解：由題意：中間草坪長為，寬為，且
中間草坪的面積為，矩形土地的面積，
（1）因為中間草坪面積為矩形土地面積的一半，所以解得：，
所以若中間草坪面積為矩形土地面積的一半，則花卉帶的寬度x是1
（2）因為草坪的面積大于矩形土地面積的一半，所以，解得：
所以草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則花卉帶的寬度x的取值范圍是.
本題考查一元二次不等式的實際應用、求解一元二次不等式，是基礎題.
17. 已知函數(shù)．
（1）若對任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若對任意滿足的x，都有，求實數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集的性質進行求解即可；
（2）對不等式進行參變量分離，結合基本不等式進行求解即可.
【小問1詳解】
依題意可得：，
解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為．
【小問2詳解】
對任意滿足的x，都有，
即，
又．所以對恒成立，
由于，當且僅當時取等號，即當時等號成立．
所以，
即實數(shù)a的取值范圍為．
18. （1）設，證明：的充要條件為．
（2）設，求證：至少有一個為負數(shù)．
【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【分析】（1）分別證明充分性和必要性即可.
（2）方法一：采用反證法，先假設，對兩邊平方并整理，根據(jù)假設的的范圍分析得到與題干矛盾的結論，從而假設錯誤，結論得證.
方法二：采用反證法，先假設，根據(jù)可得，從而得到，相加得到，與題干條件矛盾，從而假設錯誤，結論得證.
【詳解】（1）充分性：若，則，
，
，，
．
必要性：若，
則，，
，
．
（2）方法一：假設，
，
，
，
，
，
，與矛盾，
至少有一個為負數(shù)．
方法二：假設，
，
，
，
，
與矛盾，
至少有一個為負數(shù)．
19. （1）設，求證：，
（2）設，求證：，
【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【分析】（1）方法一：由，利用，
對進行放縮，即可證明；
方法二：由，利用，
對進行放縮，即可證明；
方法三：由，利用，即可證明；方法四：幾何法，構造符合題意幾何圖形；
方法五：構造一次函數(shù)，
證明對于，都有即可；
（2）方法一：由，利用，即可證明；
方法二：由，利用，即可證明；
方法三：幾何法，構造符合題意的幾何圖形；
方法四：構造一次函數(shù)，，證明對，都有即可.
【詳解】（1）方法一：，，
，
．
方法二：，

．
方法三：
，
，
，
即．
方法四：幾何法
如圖，做邊長為的正方形，分別在邊上分別取點，
使得，
過做交于，交于，
過做交于，交于，
直線與交于點，
則長方形面積，
長方形的面積，
正方形的面積，
由圖可知，
所以．
方法五：設．
將看做0,1內的常數(shù)，則函數(shù)為一次函數(shù)，
又，
．
對于，都有，
即．
．
（2）方法一：，
，
，
．
，
.
方法二：，
，
，
，
．
，
．
方法三：幾何法
做邊長為的正方體．分別在棱上取點，使得，
過做平面，過做平面，過做平面，交點見圖．
長方體的體積，
長方體的體積．
長方體的體積．
正方體的體積．
．
方法四：設．
將看做0,1內的常數(shù)，對于一次函數(shù)，
有，
．
∴對于，都有，
即．
．

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