數(shù)學(xué)
（考試范圍：集合與邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、向量與復(fù)數(shù)、數(shù)列與立體幾何）
考生注意：
1.本試卷共150分，考試時間120分鐘.
2.請將答案填在答題卡上.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)除法、模的求法化簡求復(fù)數(shù)，進(jìn)而判斷對應(yīng)點(diǎn)所在象限.
【詳解】由，對應(yīng)點(diǎn)為在第一象限.
故選：A
2. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】計(jì)算出集合、后，結(jié)合集合的運(yùn)算即可得.
【詳解】，即，則，解得，
所以，，
所以，從而.
故選：D.
3. 已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量、向量數(shù)量積等知識求得正確答案.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
在上的投影向量為
所以，
所以，
所以鈍角，且.
故選：A
4. 最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)梯形中位線定理，結(jié)合圓臺體積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，
所以平地降雪厚度的近似值為.
故選：C
5. 定義：滿足 為常數(shù)，）的數(shù)列 稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得 成立的最小正整數(shù)為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，利用累乘法求得的表達(dá)式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，
故，
將以上各式累乘得：，
故，令，由于，
故，即，
又的值隨n的增大而增大，且，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故n的最小值為8，
故選：B
6. 已知函數(shù)，若滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由奇偶性的定義可得是定義在上的偶函數(shù)，然后求導(dǎo)得，即可判斷在上的單調(diào)性，再將不等式化簡求解，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，
所以是定義在上的偶函數(shù)，
又，
當(dāng)時，，則，所以在單調(diào)遞增，
又，則，
且，則不等式可化為
，即，
且是定義在上的偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，
則，即，即，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
7. 在中，角所對的邊分別為，，若表示的面積，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件利用正弦定理得的關(guān)系，由余弦定理可得，結(jié)合三角形面積公式求得的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值，進(jìn)而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的知識并不算困難，但計(jì)算量較大，解決的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)學(xué)的計(jì)算，做到不出錯即可得解.
8. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區(qū)間（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進(jìn)行分類討論即可.
【詳解】當(dāng)時，因?yàn)榇藭r的最小值為，
所以，即.
若，此時能取到最小值，即，
代入可得，滿足要求；
若取不到最小值，則需滿足，即，
在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；
所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區(qū)間，
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最小值為2
C. 若，則的最大值為2
D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法比較大小判斷A，利用基本（均值）不等式判斷BCD，要注意“一正二定三相等”.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，所以，故A正確；
因?yàn)榈牡忍柍闪l件不成立，所以B錯誤；
因?yàn)?，所以，故C錯誤；
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以D正確.
故選：AD
10. 已知定義域在R上的函數(shù)滿足：是奇函數(shù)，且，當(dāng)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的周期B.
C. 在上單調(diào)遞增D. 是偶函數(shù)
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期性的定義即可求解A，利用性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，即可結(jié)合圖象逐一求解.
【詳解】由于是奇函數(shù)，所以，則
又，則，所以，所以的周期為8，A錯誤，，
，故B正確，
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合，，作出函數(shù)圖象為：
由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C正確，
由于的圖象不關(guān)于對稱，所以不是偶函數(shù)，D錯誤
故選：BC
11. 在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PC上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），則（ ）
A. 存在點(diǎn)M使得
B. 四棱錐外接球的表面積為
C. 直線PC與直線AD所成角為
D. 當(dāng)動點(diǎn)M到直線BD的距離最小時，過點(diǎn)A，D，M作截面交PB于點(diǎn)N，則四棱錐的體積是
【答案】BCD
【解析】
【分析】取AD的中點(diǎn)G，證明平面PGC，然后由線面垂直的性質(zhì)定理判斷A，把四棱錐補(bǔ)形成一個如圖2的正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷BC，由平面PGC，當(dāng)動點(diǎn)M到直線BD的距離最小時，從而得為PC的中點(diǎn)，N為QA的中點(diǎn)，再由體積公式計(jì)算后判斷D．
【詳解】如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接GC，PG，BD，,則，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，平面，則．
又因?yàn)椋裕?br>又，平面，所以平面PGC．
因?yàn)槠矫鍼GC，平面PGC，所以不成立，A錯誤．
因?yàn)椤鰽PD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補(bǔ)成棱長為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．
如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．
如圖1，因?yàn)槠矫鍼GC，當(dāng)動點(diǎn)M到直線BD距離最小時，
由上推導(dǎo)知，，，
，，，，
因此M為PC的中點(diǎn)．如圖3，由M為PC的中點(diǎn)，即為中點(diǎn),平面即平面與的交點(diǎn)也即為與的交點(diǎn),可知N為QA的中點(diǎn)，故，D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體的外接球問題，（1）直接尋找球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上，（2）對特殊的幾何體，常常通過補(bǔ)形（例如把棱錐）補(bǔ)成一個長方體或正方體，它們的外接球相同，而長方體（或正方體）的對角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.
【詳解】數(shù)列中，，，顯然，
則有，即，而，
因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：
13. 已知函數(shù)，若的最小值為，則________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意得或，結(jié)合題意可得，然后代入求值即可.
【詳解】，，
所以，或，
，
所以．
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點(diǎn)，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出，利用弦長公式得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在0,+∞上的值域，即可為所求.
【詳解】當(dāng)時，，，則，
當(dāng)時，，，則，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線相互平行，
則，即，則，
，，
所以，，
令，其中，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以，，因此，的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用切線斜率相等得出、所滿足的關(guān)系式，然后將轉(zhuǎn)化為含的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．
（1）若，，求的面積；
（2）求的最小值，并求出此時的大?。?br>【答案】（1）
（2）的最小值是5，此時
【解析】
【分析】（1）結(jié)合余弦定理與面積公式即可得；
（2）結(jié)合三角恒等變換與三角形內(nèi)角和，將原式中多變量換成單變量，再結(jié)合基本不等式即可得.
【小問1詳解】
由題意得，
因?yàn)椋?br>所以，故，
又，所以．
因?yàn)?、是的?nèi)角，所以為鈍角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，則，
所以．
【小問2詳解】
由（1）可知，中，，
即為鈍角，則，
因?yàn)?，?br>所以，
設(shè)，
則
，
由，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
結(jié)合鈍角，即當(dāng)時等號成立，
所以的最小值是5，此時．
16. 如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個側(cè)面都和半球相切．設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．
（1）用分別表示線段BC和PD長度；
（2）當(dāng)時，求三棱錐的側(cè)面積S的最小值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）連接OP，由題意O為的中心，則可得為直角三角形，設(shè)半球與面PBC的切點(diǎn)為E，然后分別在和中求解即可，
（2）由已知條件可得，，令，則上述函數(shù)變形為，，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果
【小問1詳解】
連接OP，由題意O為的中心，
且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．
設(shè)半球與面PBC的切點(diǎn)為E，則且．
在中，，所以．
在中，．
【小問2詳解】
由題知，，
化簡得，，
令，則上述函數(shù)變形為，，
所以，令，得．當(dāng)時，
，單調(diào)遞減，當(dāng)時，
，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，
三棱錐的側(cè)面積S的最小值為．
17. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值.
（2）若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值范圍；
（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個零點(diǎn)，設(shè)，則，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1），
，
則，解得.
（2），
由題設(shè)可知有兩個不同的零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的附近的符號發(fā)生變化.
令，則，
若，則，則為0,+∞上為增函數(shù)，
在0,+∞上至多有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，若，則，故在上為增函數(shù)，
若，則，故在上為減函數(shù)，
故，故.
又且，故在上存在一個零點(diǎn)；
下證當(dāng)時，總有.
令，則，
當(dāng)時，，故為上的減函數(shù)，
故，故成立.
令，則，
故當(dāng)時，有，
取，則當(dāng)時，
有，
故，故在上，存在實(shí)數(shù)，使得，
由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性可知可得在上存在一個零點(diǎn).
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查邏輯推理能力，分類討論的思想，函數(shù)與方程思想，屬于中檔題型.
18. 已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求；
（2）已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求使得成立的的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由遞推關(guān)系首先得結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解.
（2）由題意首項(xiàng)得，進(jìn)一步有通過等比數(shù)列求和將原問題轉(zhuǎn)換為求不等式的正整數(shù)解集.
【小問1詳解】
①
②
②-①得，，得．
當(dāng)時，①式為，得，也滿足上式．
，數(shù)列an是等差數(shù)列，所以．
【小問2詳解】
，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
當(dāng)時，經(jīng)驗(yàn)證，（*）式滿足要求．
令，則
，
所以當(dāng)時，，
即當(dāng)時，式不成立．
使得成立的的取值范圍是．
19. 牛頓法( Newtn's methd)是牛頓在17世紀(jì)提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設(shè)r是的根，選取x．作為r的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線L，L的方程為.如果，則 L與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，稱為r 的一階近似值．再過點(diǎn)作曲線的切線，并求出切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為，稱為r的二階近似值．重復(fù)以上過程，得r的近似值序列：，根據(jù)已有精確度，當(dāng)時，給出近似解．對于函數(shù)，已知.
（1）若給定，求r的二階近似值；
（2）設(shè)
①試探求函數(shù)h(x)的最小值 m 與r 的關(guān)系；
②證明：.
【答案】（1）；
（2）①；②證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定方法，求出的導(dǎo)數(shù)，依次求出即可.
（2）①求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最小值，結(jié)合求出m 與r 的關(guān)系；②由①的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可推理得證.
【小問1詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，，當(dāng)時，，
同理，而，所以.
【小問2詳解】
①由（1）知，，則，
，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
由，得，且，則，
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在處取得最小值.
②由①知，，令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，
則當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
而，因此，所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

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