本試卷共 4 頁，19 個小題.滿分 150 分.考試時間 120 分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名，班級，考號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條
形碼粘貼區(qū)”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；
如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應
位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以
上要求作答無效.
4.保持答題卡的整潔.考試結束后，只交答題卡，試題卷自行保存.
一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式得出集合 B，再應用交集的定義計算即可.
【詳解】因為集合 ，集合 ，
則 .
故選：B.
2. 已知向量 ， ， 與 的夾角為 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第 1頁/共 20頁
【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積公式求出 ，再利用三角函數(shù)誘導公式求出結果.
【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積公式 .
先求 ， .
再求 . .
所以 .
根據(jù)三角函數(shù)誘導公式 ，所以 .
故選：C.
3. 已知復數(shù) 滿足： （ ，i 為虛數(shù)單位），則 （ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡 ，再利用復數(shù)的除法求得復數(shù) ，從而求出其模長.
【詳解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
故選：C.
4. 已知 ，則“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分必要條件結合函數(shù)的不等式求解即可.
【詳解】繪制出 的圖像，
第 2頁/共 20頁
當 時， ，當 時， .
故“ ”是“ ”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 為了推廣一種新產(chǎn)品，某公司開展了有獎促銷活動：將 6 件這種產(chǎn)品裝一箱，每箱中都放置 2 件能夠中
獎的產(chǎn)品.若從一箱中隨機抽出 2 件，能中獎的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用組合數(shù)求出基本事件數(shù)和符合條件的事件數(shù)，再結合古典概型公式求解即可.
【詳解】基本事件共有 件，符合條件的有 件，
且設中獎為事件 ，即 ，故 B 正確.
故選：B
6. 經(jīng)過橢圓 的右焦點 作傾斜角為 的直線 ，直線 與橢圓相交于 ， 兩點，則
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由橢圓方程求得焦點坐標，從而寫出直線方程，聯(lián)立方程組得一元二次方程，由韋達定理得到兩
個的和與差，利用交點弦長公式即可求得結果.
【詳解】 ， ，∴ ，即 ，
，∴ ，
第 3頁/共 20頁
聯(lián)立方程組得 ，整理得 ，
設 ， ，∴ ， ，
.
故選：A.
7. 定義在 上的偶函數(shù) ，其導函數(shù)為 .若 ，
恒成立，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構造函數(shù) ，根據(jù)函數(shù) 的奇偶性求得 的奇偶性，再根據(jù)函數(shù) 的導
數(shù)確定單調(diào)性，由此比較 三個數(shù)的大小.
【詳解】若 ， ， ， ，
構造函數(shù) ，由于 是偶函數(shù)，故 是奇函數(shù).
由于 ，故函數(shù) 在 上遞增.
由于 ，故當 時， ，當 時， .
第 4頁/共 20頁
所以 ， ，
， ，
根據(jù) 單調(diào)性有 ，所以 ，
故選：B.
8. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上有且僅有 4 個零點，則 的取值范
圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將 看成一個整體，找出其范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)列出不等式求解.
【詳解】 ，
令 ，得
， .
令 ，由 的圖象得：
，化簡得 .
故選：D.
第 5頁/共 20頁
二、選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分）
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 決定系數(shù) 越小，模型的擬合效果越好
B. 若隨機變量 服從兩點分布， ，則
C. 若隨機變量 服從正態(tài)分布 ， ，則
D. 一組數(shù) （ ）的平均數(shù)為 ，若再插入一個數(shù) ，則這 個數(shù)的方差變大
【答案】BC
【解析】
【分析】利用決定系數(shù)的性質(zhì)判斷 A，利用兩點分布的方差公式判斷 B，利用正態(tài)分布的對稱性判斷 C，舉
反例判斷 D 即可.
【詳解】由決定系數(shù)性質(zhì)得，決定系數(shù) 越大，模型的擬合效果越好，故 A 錯誤，
若隨機變量 服從兩點分布， ，
則 ，故 B 正確，
若隨機變量 服從正態(tài)分布 ， ，
由正態(tài)分布性質(zhì)得 ，故 C 正確，
我們令 ， ，此時平均數(shù) ，
方差為 ，插入一個數(shù) ，
此時平均數(shù)為 ，方差為 ，
方差顯然變小了，即再插入一個數(shù) ，則這 個數(shù)的方差不可能變大，故 D 錯誤.
故選：BC
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10. 已知拋物線 的焦點為 ，準線過點 ， 是拋物線上的動點，則（ ）
A.
B. 當 時， 的最小值為
C. 點 到直線 的距離的最小值為 2
D. 當 時，直線 ON 的斜率的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對選項 A，可根據(jù)拋物線的定義計算出 的值判斷其正確，對 BCD 選項，可根據(jù)拋物線的方程設
拋物線上任意一點 的坐標為 ，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行計算求解.
【詳解】根據(jù)拋物線的定義， 的準線為 ，
由題意準線過 ，可求出 ，拋物線的方程為 ，選項 A 正確；
對于選項 B，C，D，可設拋物線上的點的動點為 ，
對于 B 選項，當 時， ；
當 時，
當且僅當 時，等號成立.選項 B 正確；
對于 C 選項，直線與拋物線的位置關系如下圖所示：
第 7頁/共 20頁
到直線 的距離 ，
當 時， .選項 C 錯誤；
對于 D 選項，可根據(jù)向量共線作出示意圖：
根據(jù)定義求出拋物線的焦點 ，由 得 ，
當 時， ；
當 時， ，
當且僅當 時，等號成立.選項 D 正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù) ， ，則下列結論正確的是（ ）
A. 當 時， 為奇函數(shù)
B. 的圖象關于直線 對稱
C. 當 時， ，
D. 若 ， ，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)、軸對稱的定義判斷 AB；取值計算判斷 C；分離參數(shù)構造函數(shù)，結合不等式性質(zhì)判斷
D.
第 8頁/共 20頁
【詳解】對于 A，當 時， ，
，函數(shù) 是奇函數(shù)，A 正確；
對于 B， ，B 錯誤；
對于 C，當 時， ， ，C 正確；
對于 D，由 ，得 ，
令 ， ，
而 ， ，且均在 時取等號，則 ， ，
因此 ，D 正確.
故選：ACD
【點睛】結論點睛：函數(shù) 的定義域為 D， ，
①存在常數(shù) a，b 使得 ，則函數(shù) 圖象關于點
對稱.
②存在常數(shù) a 使得 ，則函數(shù) 圖象關于直線 對稱.
三、填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12. 若等比數(shù)列 滿足： ， ，則數(shù)列 的公比 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由 結合已知條件可求得 的值.
【詳解】因為等比數(shù)列 滿足： ， ，
則 ，解得 .
故答案為： .
13. 某校高三（5）班班主任準備從 2 名男生和 4 名女生中選取 3 人擔任數(shù)學、物理、化學學科課代表，每
學科安排 1 人，且至少有 1 名男生，則不同的選取方法有______（請用數(shù)字作答）
第 9頁/共 20頁
【答案】96
【解析】
【分析】可采用間接法或直接法來求解不同的選取方法數(shù).
【詳解】方法一：間接法
先求出從 名男生和 名女生共 人中選 人擔任學科代表的所有情況，再減去所選 人都是女生的情況，
即可得到至少有 名男生的情況.
從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù)記為 ，其計算公式為 .
從 人中選 人進行全排列，安排到數(shù)學、物理、化學三個學科，
方法數(shù)為 種.
從 名女生中選 人進行全排列，安排到三個學科，
方法數(shù)為 種.
用總的選法數(shù)減去 人都是女生的選法數(shù)，可得至少有 名男生的選法有 種.
方法二：直接法
分兩種情況討論：選 名男生 名女生和選 名男生 名女生，然后分別計算這兩種情況的選法數(shù)，最后將
它們相加.
情況一：選 名男生 名女生
從 名男生中選 名男生的選法有 種，從 名女生中選 名女生的選法有 種，
然后將這 人進行全排列安排到三個學科，方法數(shù)為 種.
根據(jù)組合數(shù)公式 ，可得 ， .
則這種情況下的選法有 種.
情況二：選 名男生 名女生
從 名男生中選 名男生的選法有 種，從 名女生中選 名女生的選法有 種，
然后將這 人進行全排列安排到三個學科，方法數(shù)為 種.
第 10頁/共 20頁
， .
則這種情況下的選法有 種.
將兩種情況的選法數(shù)相加，可得至少有 名男生的選法有 種.
故答案為：
14. 已知在棱長為 3 的正方體 中，點 是底面 ABCD 內(nèi)的動點，點 為棱 BC 上的動
點，且 ，則 的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】由正切函數(shù)定義結合幾何位置關系，得到 ，結合解析幾何中的圓的知識，得到
三點共線時， 取得最小值，得到結果.
【詳解】如圖（一）， ， .
又 ， .
如圖（二），建立平面直角坐標系，則 ， ， ，設點 .
，化簡得： （ ， ）
則圓心為 ， ，點 關于 BC 的對稱點 .
故答案為： .
四、解答題（本大題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
第 11頁/共 20頁
15. 已知在 中，三個角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
.
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，點 D 在邊 BC 上，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求 ；
（2）根據(jù)角的關系可得 ，求出后者后可得比值.
【小問 1 詳解】
，
.
即 .
由正弦定理得： ，
，
， .
【小問 2 詳解】
易知 ，
， ， ，
， ， .
.
的值為 .
第 12頁/共 20頁
16. 已知函數(shù) .
（1）求曲線 在點 處的切線方程；
（2）若函數(shù) 有 2 個零點，求實數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，得到切線方程即可；
（2）利用給定條件求出 ，再轉(zhuǎn)化為交點問題求解即可.
【小問 1 詳解】
由題意知， ，
令 ，則 ， .
故 ， ，即切點為 ，
所求切線方程為 ，即 .
【小問 2 詳解】
由題意得 ，
當 時， ，故函數(shù) 沒有零點；
當 時，令 ，得 .
令 ，則 ， ，
因為 有 2 個零點，所以 和 有 2 個交點，
令 ， .
令 ，得 .
當 時， ， 單調(diào)遞增；
第 13頁/共 20頁
當 時， ， 單調(diào)遞減.
，當 時， ；當 時， ；
當 時， ；當 時， 且 .
實數(shù) 的取值范圍為 .
17. 如圖，在直四棱柱 中， ， ， ，
，E，F(xiàn) 分別為 AD，AB 的中點.
（1）求證： ；
（2）求證：平面 平面 ；
（3）若 ，P 是線段 上的動點，求直線 與平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3） .
【解析】
【分析】（1）求出 ，即可得到 ，結合 ，即可得到 ，從而得證；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面 、平面 的法向量，即可證明；
（3）設 ，即可表示出 的坐標，設直線 與平面 所成角為 ，利用向量法
求出 ，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 的最大值.
【小問 1 詳解】
， ，所以
又 ， ，
第 14頁/共 20頁
又 ， ， ， .
【小問 2 詳解】
在直四棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 ，
，
， ， 兩兩垂直，以 為原點， ， ， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸，建立
如圖所示的空間直角坐標系，
設 ，則 ， ， ， ， ， .
， ， ，
設 為平面 的一個法向量，
令 ，得 ， .
設平面 的一個法向量 ，則 ，取 .
，又平面 與平面 不重合，
平面 平面 .
【小問 3 詳解】
當 時， 為平面 的一個法向量， ，
則 ，
設 ，
第 15頁/共 20頁
， ，
設直線 與平面 所成角為 ，
，
當且僅當 時，等號成立，
所以直線 與平面 所成角的正弦值的最大值為 .
18. 已知雙曲線 的漸近線方程為 ，右頂點為 ，點 在 上.
（1）求 的方程；
（2）過點 直線 與 C 相交于 F，G 兩點，點 E 與點 F 關于 軸對稱，問直線 EG 是否過定點？若
過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；
（3）將圓心在 軸上，且與 C 的兩支各恰有一個公共點的圓稱為“子圓”，若兩個“子圓”外切于點 ，圓心
距為 ，求 .
【答案】（1）
（2）直線 EG 過定點 .
（3） .
【解析】
【分析】（1）設出方程帶入點，得到方程.
（2）當直線 DG 的斜率不為零時，設直線 DG 的方程再進行聯(lián)立，再易知，直線 EG 的斜率存在，設直線
EG 的方程為 ，最后得到過定點.
（3）考慮子圓，兩圓的圓心之間的距離，最后得到答案.
【小問 1 詳解】
第 16頁/共 20頁
設雙曲線的方程為 ，
將點 代入得 ，即 ， 雙曲線 的方程為
【小問 2 詳解】
當直線 DG 的斜率不為零時，設直線 DG 的方程為 ， ， ， .
由 消去 整理得 ，
依題意得： ，且 ，即 且 ，
， .
易知，直線 EG 的斜率存在，設直線 EG 的方程為 .
令 ，得
.
直線 EG 過定點 .
當直線 DG 的斜率為 0 時，直線 EG 的方程為 ，過點 ，
綜上，直線 EG 過定點 .
【小問 3 詳解】
考慮以 為圓心的“子圓” ，
由 的方程與 的方程消去 ，得關于 的二次方程 .
第 17頁/共 20頁
依題意，該方程的判別式 ， .
對于外切于點 的兩個“子圓” ， ，顯然點 在 軸上，
設 ， ， 的半徑分別為 ， ，
不妨設 ， 的圓心分別為 ， .
則 ， .
兩式相減得： ，而 ， .
，整理得： .
，點
.
，故 .
19. 已知正項數(shù)列 （ ）的前 項和為 ，且 .當 時，將 進行重
新排列，構成新數(shù)列 ，使其滿足： 或 （其中 ， ）.
（1）當 時，寫出所有滿足 的數(shù)列 ；
（2）試判斷數(shù)列 是否為等差數(shù)列，并加以證明；
（3）當 時，數(shù)列 滿足： 是公差為 且（ 且 ）
的等差數(shù)列，求公差 .
【答案】（1）2，4，1，3，5 和 2，5，3，1，4.
第 18頁/共 20頁
（2） 不可能是等差數(shù)列，證明見解析
（3） .
【解析】
【分析】（1）需要根據(jù)已知條件求出 的表達式，再根據(jù) 以及 和 或
的條件來確定數(shù)列 .
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列 是否為等差數(shù)列.
（3）利用已知條件對 分類討論，設 ，求出 范
圍，再根據(jù) 是公差為 的等差數(shù)列，求出 ，得到滿足題意的 .
【小問 1 詳解】
，①
當 時， ，即 ， .
當 時， ，②
由①－②得： ，即 .
， ， ，即 .
數(shù)列 是以 1 為首項，1 為公差的等差數(shù)列.
.
由題意可得當 且 的數(shù)列 為：2，4，1，3，5 和 2，5，3，1，4.
【小問 2 詳解】
數(shù)列 不可能為等差數(shù)列，證明如下：
假設 是等差數(shù)列，公差為 ，
當 時，由題意知， 或 3，此時，
不是等差數(shù)列 中的項，與題意不符.
不可能是等差數(shù)列；
第 19頁/共 20頁
當 時，由題意， 或 .
此時， .
不是等差數(shù)列 項，與題意不符.
不可能是等差數(shù)列.
綜上所述， 不可能是等差數(shù)列.
【小問 3 詳解】
由題意， ，
當 時， ， ，與題意不符；
當 時，記 ，
當 時， ，
，
記 表示集合 中元素的最小值，則 .
，與題意不符；
當 時，取 此時數(shù)列 滿足題意.
綜上所述， .
【點睛】知識點點睛：本題考查了由 與 的關系式求 ，考查了等差數(shù)列的證明方法和基本量的計算，
考查了分析問題，邏輯推理，分類討論方法，屬于較難題.
第 20頁/共 20頁

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