湖南省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若，則z=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.
【詳解】根據(jù)題意，，
則.
故選：A
2. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解對(duì)數(shù)不等式，得到，根據(jù)交集概念求出答案.
【詳解】，
故，
故.
故選：C
3. 已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 5D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件可求得，再根據(jù)向量平行的條件，即可求得的值.
【詳解】由已知可得：，
因?yàn)?，所以有，解之得?
故選：C.
4 已知，直線(xiàn)，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線(xiàn)垂直列式求解.
【詳解】由直線(xiàn)與垂直，
得，即，解得，
而，所以.
故選：B
5. 設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）
A. 10B. 15C. 21D. 38
【答案】D
【解析】
【分析】先由題中條件，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)之和的性質(zhì)求出,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，即，所以，則,
因此.
故選：D
6. 已知圓與，動(dòng)圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由條件可得，結(jié)合橢圓的定義判斷點(diǎn)的軌跡形狀及位置，利用待定系數(shù)法求其方程.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，
由動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，得，
則，因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
而焦距，即，則短半軸長(zhǎng)，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
故選：B.
7. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為棱的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列式子的值為定值的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先計(jì)算的長(zhǎng)度，得到，接著利用向量數(shù)量積的幾何意義：等于在上的投影向量與的數(shù)量積，逐一分析選項(xiàng)ABCD即可得解.
【詳解】由題意得，，
∴，
∴.
A.如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

對(duì)于A，由向量數(shù)量積的幾何意義得，
由于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，所以不是定值，所以不是定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
由于點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，所以不是定值，所以不是定值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，由于不是定值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于向量在向量上的投影向量為，所以為定值.
故選：D.
8. 已知過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程，得到，根據(jù)切線(xiàn)有兩條，得到方程有兩根，結(jié)合判別式即可求出結(jié)果.
【詳解】由得，
設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，
則切線(xiàn)斜率為，
所以切線(xiàn)方程為
因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，整理得，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條，
所以方程有兩不同實(shí)根，
因此，解得或，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 某快遞公司2020—2024年的快遞業(yè)務(wù)量及其增長(zhǎng)率如圖所示，則（）
A. 該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量逐年上升
B. 該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的極差為68.5億件
C. 該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的增長(zhǎng)率的中位數(shù)為29.9%
D. 該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的增長(zhǎng)率的平均數(shù)為21.58%
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)圖像和極差，中位數(shù)，平均數(shù)的計(jì)算公式依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)A：由圖可知：2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量逐年上升，故A正確；
對(duì)B：2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的極差為：（億件），故B正確；
對(duì)C：因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率從小到大排序，即
則中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由，故D正確.
故選：ABD
10. 記等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，已知，，，則（）
A. B.
C. 的最大值為D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先用反證法證明可判斷A，判斷數(shù)列是正項(xiàng)遞減數(shù)列，可得，從而可判斷BC；結(jié)合基本不等式可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，
因?yàn)?，若公比，則都大于等于1，矛盾，所以，A不正確；
因?yàn)?，所以，即?br>所以數(shù)列是正項(xiàng)遞減數(shù)列，可得，所以的最大值為，C不正確；
，B正確；
因?yàn)?，所以，D正確.
故選：BD.
11. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均是，是的唯一零點(diǎn)，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，即可比較A正確，C錯(cuò)誤，又是的唯一零點(diǎn)，所以，借助單調(diào)性可得，，即得B正確，D錯(cuò)誤.
【詳解】令，則，由題意知，
所以，即在上單調(diào)遞減，所以，，故A正確，C錯(cuò)誤.
又是的唯一零點(diǎn)，所以，又在上單調(diào)遞減，
所以，，即，，故B正確，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，則________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算得解.
【詳解】由，得，則，
所以.
故答案為：2
13. 記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題中遞推公式，得到，與原式作差整理，得到數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，兩式作差得?br>即，則，
又，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列
因此
故答案為：
14. 已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心且與C的漸近線(xiàn)相切的圓與C在第一象限交于點(diǎn)A，B為的中點(diǎn)，若，則C的漸近線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求得圓的半徑為，利用雙曲線(xiàn)的定義及中位線(xiàn)的性質(zhì)得，由余弦定理建立方程求得，從而得到漸近線(xiàn)斜率.
【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)為，則點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，即圓的半徑為，連接，則，
由雙曲線(xiàn)的定義知，所以，
在中，為的中點(diǎn)，B為的中點(diǎn)，所以，
，則為.
在中，，
在中，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以漸近線(xiàn)斜率.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
（1）求的解析式；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)周期求得；利用對(duì)稱(chēng)中心求得，得到結(jié)果；
（2）由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角余弦公式求，再由平方關(guān)系求，根據(jù)兩角差余弦公式求結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以?br>因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，
所以，，又，所以，
故.
【小問(wèn)2詳解】
，
所以，
又，所以，從而，
所以.
16. 記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若，證明：.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的關(guān)系消去，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷；
（2）利用裂項(xiàng)相消求和即可求出不等式左邊，從而判斷其范圍.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
又，
兩式相減可得，
∴，
∴，
∴是以為公差的等差數(shù)列.
【小問(wèn)2詳解】
由已知得.
∴，
∴.
∴

.
17. 如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，.
（1）求證：平面；
（2）若，且，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由題中條件，求出，根據(jù)勾股定理證明，再由，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；
（2）取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，結(jié)合（1）中結(jié)論，證明平面平面，得到，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，根據(jù)平面夾角公式的向量表示，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，且，，
所以，.
又，所以.
此時(shí)，所以.
又，，平面，平面，
所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，則，
又，，平面，平面，
所以平面，平面，所以，
再由（1）可知平面，平面，故，
又平面，
所以平面，可得，，兩兩互相垂直，
故以為原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
因?yàn)?，所以?
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，可得；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，可得.
因?yàn)椋?br>所以平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與重合，點(diǎn)G是C與E在第一象限的交點(diǎn)，且.
（1）求E的方程.
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與E交于點(diǎn)M，N，交C于點(diǎn)A，B，且A，B，M，N互不重合.
（?。┤鬺的傾斜角為45°，求的值；
（ⅱ）若P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)PA，PB，PF2的斜率分別為，證明：為和的等差中項(xiàng).
【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩個(gè)方程來(lái)確定橢圓方程.
（2）（i）根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角得到直線(xiàn)方程，然后分別代入橢圓和拋物線(xiàn)方程，利用弦長(zhǎng)公式求出和的值，進(jìn)而求出它們的比值.
（ii）設(shè)出直線(xiàn)方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式計(jì)算出，然后證明.
【小問(wèn)1詳解】
由已知得C的焦點(diǎn)為，即，所以.①
因?yàn)?，由拋物線(xiàn)的定義可得，所以.
代入E的方程可得.②
由①②解得，，所以E的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，，.
（?。┮?yàn)橹本€(xiàn)l的傾斜角為45°，所以，直線(xiàn)l的方程為.
聯(lián)立整理得，則，
所以.
聯(lián)立整理得，
則，，
所以.
所以.
（ⅱ）由題意知，，
設(shè)，且直線(xiàn)AB的方程為.
聯(lián)立整理得，顯然，
則，，
所以，，，
，
又，即，
所以為和的等差中項(xiàng).
【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,解答此類(lèi)題目確定橢圓（圓錐曲線(xiàn)）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓（圓錐曲線(xiàn)）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等．
19. 已知函數(shù)，.
（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求a的值；
（3）若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足，證明：.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得到，結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線(xiàn)方程；
（2）求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，進(jìn)而得到所以，設(shè)，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，若滿(mǎn)足，必有，求出；
（3）變形后得到，換元后化為，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，從而成立，同理，要證明，即證明，即，令，，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，所以，即，整理得，從而成立.
【小問(wèn)1詳解】
若，則，定義域?yàn)椋?br>，
則，又，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
要使恒成立，需滿(mǎn)足.
設(shè)，
則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
若滿(mǎn)足，必有，
故
【小問(wèn)3詳解】
要證明，
即證明，
令，由，得，不等式化為.
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，整理得，從而成立；
同理，要證明，即證明，
即.
令，因?yàn)?，所以?br>所以在上單調(diào)遞減，所以，
即，整理得，從而成立.
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，對(duì)所證不等式進(jìn)行變形，先證不等式左邊，只需證明，令，不等式化為，，二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題，同理再變形不等式右邊，證明出結(jié)論

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