2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.
【詳解】，
所以.
故選：B.
2. 若，則的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質即可直接求解.
【詳解】由題知，和草圖如下，
則若，則.
故選：A
3. 函數(shù)的圖象在圖中的序號依次為（ ）
A. ①②③④B. ②①③④C. ①②④③D. ②①④③
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象即可得解.
【詳解】，兩函數(shù)的定義域為，
因為，所以①為，②為，
兩函數(shù)的定義域為，
因為，所以③為，④為.
故選：D.
4. 若冪函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有三個交點，則a的值為（ ）
A. 0B. 或3C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義解得或，代入結合函數(shù)圖象檢驗即可.
【詳解】因為為冪函數(shù)，則，解得或，
若，則的圖象與一次函數(shù)的圖象有三個交點，符合題意；
若，則的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個交點，不符合題意；
綜上所述：.
故選：D.
5 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調性，結合中間值0，2分析判斷即可.
【詳解】因為，即；
且，，
所以.
故選：C.
6. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，再結合特殊值的函數(shù)數(shù)值的符號，利用排除法求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
因為，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，故判斷BD；
當時，，故排除C.
故選：A.
7. 設且，若函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意確定函數(shù)在每一段上單調遞減需要滿足的條件，以及函數(shù)在處函數(shù)值的關系，得到關于的不等式組，求解可得的取值范圍.
【詳解】因函數(shù)在上單調遞減，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)a，b，總有，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調性和奇偶性可得，利用乘“1”法結合基本不等式運算求解.
【詳解】由題意可知：函數(shù)為定義域在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，
因為，則，
可得，即，且，
則
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若且，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質即可判斷AD；舉出反例即可判斷BC.
【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A正確；
對于B，當時，，故B錯誤；
對于C，當時，，故C錯誤；
對于D，因為，所以，
又因為，所以，所以，故D正確.
故選：AD
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 若且，則
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調遞增
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性的定義即可判斷A；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質結合對數(shù)的運算性質即可判斷BD；根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調性即可判斷C.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，
因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；
對于B，因為且，
所以，所以，
即，所以，故B正確；
對于C，令，則，
所以函數(shù)的定義域為，
令，在單調遞增，在上單調遞減，
又是增函數(shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，故C錯誤；
對于D，當時，，
則，
所以，故D正確.
故選：ABD.
11. 對于任意實數(shù)a，b，定義運算“?”：設函數(shù)，且關于x的方程恰有三個實數(shù)根，則（ ）
A. 實數(shù)t可能的取值為B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意求函數(shù)的解析式，進而作出圖象，結合圖象判斷ABC；對于D：根據(jù)，代入整理即可判斷.
【詳解】當，即時，則；
當，即時，則；
綜上所述：，
作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
若關于x的方程恰有三個實數(shù)根，
可知，且，
即實數(shù)t的值不可能為，故A錯誤，B正確；
又因為，故C正確；
由題意可知：，即，
可得，故D正確；
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出，進而可得出答案.
【詳解】由題意，，
所以.
故答案為：.
13. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，解之即可.
【詳解】由題意可得，解得，
所以函數(shù)的定義域是.
故答案為：.
14. 已知集合，若存在M的子集A，使得對任意，都有，則集合A中最多有_______個元素．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得或，考慮到的等價性，我們只需要求出時集合A中元素最多的個數(shù)即可，再根據(jù)的變化情況即可得解.
【詳解】由，得或，且取值為正整數(shù)，
所以或，所以或，
根據(jù)集合中元素的無序性，我們只需考慮即可，
當時，則集合中的元素必須呈指數(shù)增長，
由于是的子集，且中最大的元素為，
A中元素最多時，考慮的增長，當時，，不超過，
當時，，超過了，
所以集合中最多只能包含個元素，即，才能滿足條件.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：由題意得出或，進而可得集合中的元素必須呈指數(shù)增長，是解決本題的關鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運算分析求解即可；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質分析求解即可.
【小問1詳解】
原式.
【小問2詳解】
原式
.
16. 2024年10月30日，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．已知在不考慮空氣阻力的條件下，某火箭的最大速度v（單位：）與燃料質量M（單位：t）、火箭自身質量m（指除燃料以外的質量，單位：t）的函數(shù)關系是．
（1）若該火箭包含燃料的總質量為500t，最大速度為，求該火箭中燃料的質量．
（2）物體在無動力的狀態(tài)下脫離地球引力束縛所需的最小速度，被稱為“第二宇宙速度”，其大小為11.2km/s．若該火箭的最大速度為第二宇宙速度，則燃料質量與火箭自身質量的比值約為多少？
附：結果四舍五入精確到整數(shù)，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入計算即可；
（2）將代入計算即可.
【小問1詳解】
由題意可得，
則，所以，所以，
所以該火箭中燃料的質量；
【小問2詳解】
由題意，
則，所以，
所以燃料質量與火箭自身質量的比值約為多少.
17. 已知函數(shù)．
（1）求的定義域；
（2）證明：在內(nèi)有且僅有一個零點．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零及f恩木不等于零求解即可；
（2）先判斷函數(shù)在上的單調性，再根據(jù)零點的存在性定理即可得證.
【小問1詳解】
由，
得，解得或且，
所以的定義域；
【小問2詳解】
令，其在上是增函數(shù)，
又函數(shù)是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
因為在上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
又，
所以函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點.
18. 已知是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)；
（2）若，求x的取值范圍；
（3）若當時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，由此即可得解；
（2）先判斷出函數(shù)的單調性，再由，，結合函數(shù)的單調性即可得解；
（3）分離分離參數(shù)可得，令，則再分離常數(shù)即可得解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
因為是奇函數(shù)，
所以，即，解得，
經(jīng)檢驗符合題意，所以；
【小問2詳解】
由（1）得，
因為函數(shù)是減函數(shù)，是減函數(shù)，
所以函數(shù)是減函數(shù)，
由，，
得，即為，
所以；
小問3詳解】
，即，
即，對任意的恒成立，
分離參數(shù)可得，
令，則，
則，
因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，所以，
所以，
所以實數(shù)m的取值范圍為．
【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19. 已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對任意的，都有，則稱具有性質．
（1）若具有性質，求的值；
（2）證明：存在常數(shù)，使得函數(shù)具有性質；
（3）若具有性質，且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，證明：對任意實數(shù)m，關于x的方程都有解．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義得，即可求解；
（2）設，利用零點存在性定理即可證明；
（3）設，可知具有性質，分，和三種情況，結合零點存在性定理得出在上存在零點，即可證明．
【小問1詳解】
因為具有性質，
所以，
所以；
【小問2詳解】
設，則，
令，即，
設，
因為，
所以在區(qū)間上函數(shù)存在零點，
當時，則，此時函數(shù)具有性質，
所以存在常數(shù)，使得函數(shù)具有性質；
【小問3詳解】
設，因為，所以，
設，
因為，
所以具有性質，，
令得，，
①若，則函數(shù)在存在零點；
②若，即時，
當時，，
即，
所以在區(qū)間存在零點；
③若，即，
因為，
所以，所以，
當時，，
即，
所以在區(qū)間存在零點；
綜上所述，，都存在零點，
即對任意實數(shù)m，關于x的方程都有解．
【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解．對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求，但是透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶．

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