已知拋物線y＝ax2＋bx(a，b為常數(shù)，a≠0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)．
(Ⅰ)求拋物線的解析式；
(Ⅱ)點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點(diǎn)，求△PAC面積的最大值；
(Ⅲ)點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，連接QA，求QC＋eq \r(5)QA的最小值．
如圖所示，已知拋物線y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且滿足tan∠CABtan∠CBA＝1．
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)P是拋物線y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c上一點(diǎn)，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若M為線段AO上任意一點(diǎn)，求MC＋eq \f(\r(5),5)AM的最小值．
如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a(a＞0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P(x，y)在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)設(shè)F為線段BD上的一個動點(diǎn)(異于點(diǎn)B和D)，連接AF．是否存在點(diǎn)F，使得2AF＋DF的值最?。咳舸嬖?，分別求出2AF＋DF的最小值和點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸相交于點(diǎn)C(0，﹣2)，與x軸分別交于點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)A，且tan∠CAO＝1．
(1)求拋物線解析式．
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
(3)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在一個點(diǎn)P，使eq \f(\r(2),2)PC＋PD值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且B(﹣1，0)，C(0，3)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一點(diǎn)，BP與AC相交于點(diǎn)E，當(dāng)PE：BE＝1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿CD方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，且DD'＝2CD，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于D'左側(cè)的一點(diǎn)，MN∥y軸交直線OD'于點(diǎn)N，連結(jié)CN．當(dāng)eq \f(\r(5),5)D'N＋CN的值最小時(shí)，求MN的長．
拋物線y＝ax2＋eq \f(11,4)x﹣6與x軸交于A(t，0)，B(8，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；
(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ＋eq \f(1,2)PQ的最大值．
如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P，與直線BC相交于點(diǎn)M，連接AC，PB．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，在對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使以O(shè)、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(4)點(diǎn)E是y軸上的動點(diǎn)，連接ME，求ME＋eq \f(1,4)CE的最小值．
(1)已知二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)，請求該拋物線解析式；
(2)點(diǎn)M為拋物線上第二象限內(nèi)一動點(diǎn)，BM交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)BM將四邊形ABCM的面積分為1：2兩部分時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P為對稱軸上D點(diǎn)下方一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線y＝x第一象限上的動點(diǎn)，且DP＝eq \r(2)OQ，求BP＋eq \r(2)BQ的最小值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
已知拋物線y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))的圖象與x軸交于A(1，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))．與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
(Ⅰ)當(dāng)b＝2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(Ⅱ)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB＝PC，OP＝2時(shí)，求b的值；
(Ⅲ)若拋物線與x軸另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AB上一點(diǎn)，且AN＝2BN，連接NQ，求DQ＋eq \f(5,4)NQ的最小值．
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)、B(1，0)，交y軸于點(diǎn)N，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接AM，點(diǎn)E是線段AM上方拋物線上一動點(diǎn)，EF⊥AM于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，交AM于點(diǎn)D．點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)EF取最大值時(shí)：
①求PD＋PC的最小值；
②如圖2，Q點(diǎn)為y軸上一動點(diǎn)，請直接寫出DQ＋eq \f(1,4)OQ的最小值．
\s 0 答案
解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋4x，
(2)過P作PQ交AC于Q，如答圖1：
∵拋物線的解析式為y＝﹣x2＋4x，
∴令y＝0得x1＝0，x2＝4，
∴A(4，0)，
設(shè)直線AC解析式為y＝kx＋b，將A(4，0)、C(2，4)代入得：
，解得，
∴直線AC解析式為y＝﹣2x＋8，
設(shè)P(m，﹣m2＋4m)，則Q(m，﹣2m＋8)，
∴PQ＝(﹣m2＋4m)﹣(﹣2m＋8)＝﹣m2＋6m﹣8，
∴S△PAC＝S△PAQ＋S△PCQ＝eq \f(1,2)PQ(xA﹣xC)＝eq \f(1,2)(﹣m2＋6m﹣8)×(4﹣2)＝﹣m2＋6m﹣8，
當(dāng)m＝3時(shí)，S△PAC最大為1，∴△PAC面積的最大值是1；
(3)∵QC＋eq \r(5)QA＝eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)QC＋QA)，∴要使QC＋eq \r(5)QA最小，即是eq \f(\r(5),5)QC＋QA最小，
設(shè)拋物線對稱軸交x軸于D，以C為頂點(diǎn)，CD為一邊，在對稱軸左側(cè)作∠ECD，使sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，過A作AB⊥CB于B，交CD于Q′，過Q作QF⊥CE于F，如答圖2：
∵sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，QF⊥CE，∴QF＝eq \f(\r(5),5)QC，∴eq \f(\r(5),5)QC＋QA最小即是QF＋QA最小，
此時(shí)F與B重合，Q與Q′重合，eq \f(\r(5),5)QC＋QA的最小值即是AB的長度，
∵∠BQ′C＝∠AQ′D，∠Q/BC＝∠Q′DA＝90°，∴∠ECD＝∠Q′AD，
∵sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，∴sin∠Q′AD＝eq \f(\r(5),5)，
可得tan∠Q′AD＝eq \f(1,2)，cs∠Q′AD＝eq \f(2\r(5),5)，
而A(4，0)、C(2，4)知DA＝2，
∴Q′A＝eq \r(5)，Q′D＝1，∴Q′C＝3，
∵sin∠ECD＝eq \f(\r(5),5)，∴Q′B＝eq \f(3\r(5),5)，∴AB＝Q′A＋Q′B＝eq \f(8\r(5),5)，
∴eq \f(\r(5),5)QC＋QA最小為eq \f(8\r(5),5)，
∴QC＋eq \r(5)QA最小為eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)QC＋QA)＝8．
解：(1)設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
令y＝0可得﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c＝0，
∴x1x2＝﹣2c，
∵tan∠CABtan∠CBA＝1，
∴OC2＝OAOB＝(﹣x1)x2＝2C，
即c2＝2c，解得c1＝0(舍去)，c2＝2，
∴拋物線y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故點(diǎn)A(﹣4，0)，點(diǎn)B(1，0)；
(2)△PAC的內(nèi)切圓圓心正好落在x軸上，則x軸為∠CAP的角平分線，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C'(0，﹣2)，
設(shè)直線AC'的解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)A(﹣4，0)，C'(0，﹣2)代入，
得，解得，
∴直線AC'的解析式為y＝x﹣2，聯(lián)立拋物線與直線得
，解得，，
故點(diǎn)P坐標(biāo)(2，﹣3)；
(3)過點(diǎn)A作直線AD，使sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，過點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，如圖，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，∴ME＝eq \f(\r(5),5)AM，
∴MC＋eq \f(\r(5),5)AM＝MC＋ME，當(dāng)點(diǎn)M、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，MC＋ME最小為CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，OC＝2，
∴tan∠OCM＝eq \f(1,2)，cs∠OAD＝eq \f(2\r(5),5)，
∴OM＝1，CM＝eq \r(5)，∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，AM＝3，
∴EM＝3sin∠OAD＝eq \f(3\r(5),5)，∴MC＋ME＝eq \f(3\r(5),5)＋eq \r(5)＝eq \f(8\r(5),5)．
故MC＋eq \f(\r(5),5)AM的最小值eq \f(8\r(5),5)．
解：把x＝﹣5代入y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)，解得y＝3eq \r(3)，
∴D(﹣5，3eq \r(3))，
把D(﹣5，3eq \r(3))代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，
∴拋物線的解析式為；
(2)設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)E，∴E(0，eq \f(4\r(3),3))，
由可得A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，)，
由S△BCD＝S△ABP，
∴eq \f(1,2)CE|xB﹣xD|＝eq \f(1,2)AB|yP|，
∴(﹣)×(4＋5)＝(4＋2)×|yP|，
∴|yP|＝eq \f(10,3)eq \r(3)，∴yP＝±eq \f(10,3)eq \r(3)，
∵拋物線的頂點(diǎn)為(1，﹣eq \r(3))，∴yP＝eq \f(10,3)eq \r(3)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為或；
(3)存在點(diǎn)F，使得2AF＋DF的值最小，理由如下：
過點(diǎn)D作DM平行于x軸，故∠BDM＝30°，過F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝eq \f(1,2)，∴HF＝eq \f(1,2)DF，
∴2AF＋DF＝2(AF＋eq \f(1,2)DF)＝2(AF＋HF)＝2AH，
當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，即AH⊥DM時(shí)，2AF＋DF取最小值，
∵A(﹣2，0)，
∴F(﹣2，2eq \r(3))，
∵D(﹣5，3eq \r(3))，
∴AH＝3eq \r(3)，
∴2AF＋DF的最小值為6eq \r(3)．
解：(1)∵C(0，﹣2)，
∴OC＝2，
∵tan∠CAO＝1，
∴＝1，
∴OA＝2，A(﹣2，0)，
將A(﹣2，0)，B(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝ax2＋bx＋c得：
，解得，
∴拋物線解析式為y＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(1,3)x﹣2；
(2)存在一點(diǎn)Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
過A作AM∥BC交y軸于M，交拋物線于Q，作M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M'，作直線AM'交拋物線于Q'，如圖：
∵AM∥BC，
∴∠QAB＝∠ABC，即Q是滿足題意的點(diǎn)，
∵B(3，0)，C(0，﹣2)，
∴直線BC解析式是y＝eq \f(2,3)x﹣2，
設(shè)直線AM解析式為y＝eq \f(2,3)x＋m，將A(﹣2，0)代入得﹣eq \f(4,3)＋m＝0，
∴m＝eq \f(4,3)，∴直線AM解析式為y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(4,3)，M(0，eq \f(4,3))，
解得 (與A重合，舍去)或，
∴Q(5，eq \f(14,3))，
∵M(jìn)、M'關(guān)于x軸對稱，
∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'(0，﹣eq \f(4,3))，
∴Q'是滿足題意的點(diǎn)，
設(shè)直線AQ'為y＝kx﹣eq \f(4,3)，將A(﹣2，0)代入得﹣2k﹣eq \f(4,3)＝0，∴k＝﹣eq \f(2,3)，
∴直線AQ'為y＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,3)，
解得 (舍去)或，
∴Q(1，﹣2)；
綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)是(5，eq \f(14,3))或(1，﹣2)；
(3)在y軸上存在一個點(diǎn)P，使eq \f(\r(2),2)PC＋PD值最小，理由如下：
過P作PH⊥AC于H，過D作DH'⊥AC于H'，交y軸于P'，如圖：
∵y＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(1,3)x﹣2＝eq \f(1,3)(x﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(25,12)，
∴拋物線對稱軸是直線x＝eq \f(1,2)，
∴D(eq \f(1,2)，0)，
∵OA＝OC＝2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA＝45°＝∠OAC，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝eq \f(\r(2),2)PC，
∴eq \f(\r(2),2)PC＋PD最小即是PH＋PD最小，
∴當(dāng)P運(yùn)動到P'，H和H'重合時(shí)，eq \f(\r(2),2)PC＋PD的最小，最小值是DH'，
∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，∴△ADH'是等腰直角三角形，
∴DH'＝eq \f(\r(2),2)AD，
∵A(﹣2，0)，D(eq \f(1,2)，0)，
∴AD＝eq \f(5,2)，
∴DH'＝eq \f(5,4)eq \r(2)，即eq \f(\r(2),2)PC＋PD的最小值是eq \f(5,4)eq \r(2)．
解：(1)∵y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過B(﹣1，0)，C(0，3)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3．
(2)如圖1中，過點(diǎn)B作BT∥y軸交AC于T，過點(diǎn)P作PQ∥OC交AC于Q．
設(shè)P(m，﹣m2＋2m＋3)，
對于拋物線y＝﹣x2＋2x＋3，令y＝0，可得x＝3或﹣1，
∴A(3，0)，
∵C(0，3)，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x＋3，
∵B(﹣1，0)，
∴T(﹣1，4)，
∴BT＝4，
∵PQ∥OC，
∴Q(m，﹣m＋3)，
∴PQ＝﹣m2＋2m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m，
∵PQ∥BT，
∴＝＝，
∴﹣m2＋3m＝2，解得m＝1或2，
∴P(1，4)或(2，3)．
(3)如圖2中，連接AD′，過點(diǎn)N作NJ⊥AD′于J，過點(diǎn)C作CT⊥AD′于T．
∵拋物線y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴頂點(diǎn)D(1，4)，
∵C(0，3)，
∴直線CD的解析式為y＝x＋3，CD＝eq \r(2)，
∵DD′＝2CD，
∵DD′＝2eq \r(2)，CD′＝3eq \r(2)，
∴D′(3，6)，
∵A(3，0)，
∴AD′⊥x軸，
∴OD′＝3eq \r(5)，
∴sin∠OD′A＝eq \f(\r(5),5)，
∵CT⊥AD′，
∴CT＝3，
∵NJ⊥AD′，
∴NJ＝ND′sin∠OD′A＝eq \f(\r(5),5)D′N，
∴eq \f(\r(5),5)D'N＋CN＝CN＋NJ，
∵CN＋NJ≥CT，
∴eq \f(\r(5),5)D'N＋CN≥3，
∴eq \f(\r(5),5)D'N＋CN的最小值為3，
此時(shí)N為OD'與CT的交點(diǎn)，∴N(1.5，3)，
∵平移后拋物線的解析式為y＝﹣(x﹣3)2＋6，MN平行y軸，將x＝1.5代入拋物線解析式，
∴M(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))，
∴MN＝eq \f(3,4).
解：(1)將B(8，0)代入y＝ax2＋eq \f(11,4)x﹣6，
∴64a＋22﹣6＝0，
∴a＝﹣eq \f(1,4)，
∴y＝﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(11,4)x﹣6，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣eq \f(1,4)t2＋eq \f(11,4)t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8(舍)，
∴t＝3，
∵B(8，0)在直線y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，解得k＝eq \f(3,4)，
∴y＝eq \f(3,4)x﹣6；
(2)作PM⊥x軸交于M，∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，∴P(m，﹣eq \f(1,4)m2＋eq \f(11,4)m﹣6)，
∴PM＝eq \f(1,4)m2﹣eq \f(11,4)m＋6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC＋∠PAM＝90°，∠APM＋∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OAMA＝COPM，
3(m﹣3)＝6(eq \f(1,4)m2﹣eq \f(11,4)m＋6)，解得m＝3(舍)或m＝10，
∴P(10，﹣3.5)；
(3)作PN⊥x軸交于BC于N，過點(diǎn)N作NE⊥y軸交于E，
∴PN＝﹣eq \f(1,4)m2＋eq \f(11,4)m﹣6﹣(eq \f(3,4)m﹣6)＝﹣eq \f(1,4)m2＋2m，
由△PQN∽△BOC，
∴＝＝，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QN＝eq \f(3,5)PN，PQ＝eq \f(4,5)PN，
由△CNE∽△CBO，∴CN＝eq \f(5,4)EN＝eq \f(5,4)m，
∴CQ＋eq \f(1,2)PQ＝CN＋NQ＋eq \f(1,2)PQ＝CN＋PN，
∴CQ＋eq \f(1,2)PQ＝eq \f(5,4)m﹣eq \f(1,4)m2＋2m＝﹣eq \f(1,4)m2＋eq \f(13,4)m＝﹣eq \f(1,4)(x﹣eq \f(13,2))2＋，
當(dāng)m＝eq \f(13,2)時(shí)，CQ＋eq \f(1,2)PQ的最大值是．
解：(1)將點(diǎn)A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c中，
得到，解得，
∴y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)函數(shù)對稱軸為直線x＝1，
設(shè)G(1，m)，
由已知可得OA＝1，OC＝3，
∵NG⊥x軸，CO⊥x軸，
∴NG∥OC，
∵N(1，0)，
∴ON＝1，
當(dāng)以O(shè)、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí)，
①△AOC∽△ONG時(shí)，
NG＝OC＝3，
∴G(1，3)或G(1，﹣3)；
②當(dāng)△AOC∽△GNO時(shí)，
，即GN＝eq \f(1,3)，
∴G(1，eq \f(1,3))或G(1，﹣eq \f(1,3))；
綜上所述：以O(shè)、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí)，滿足條件的G點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)或(1，﹣3)或(1，eq \f(1,3))或(1，﹣eq \f(1,3))；
(3)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，∴P(1，4)，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋m，將點(diǎn)B(3，0)、C(0，3)代入，可得
，解得，
∴y＝﹣x＋3，
過P點(diǎn)作PH∥BC交y軸于點(diǎn)H，∴直線PH的解析式為y＝﹣x＋5，
聯(lián)立，解得x＝1或x＝2，
∴Q(2，3)或Q(1，4)(舍)；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，∴H(0，5)，
∵H點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對稱的點(diǎn)為(0，1)，
∴過點(diǎn)(0，1)與直線BC平行的直線解析式為y＝﹣x＋1，
聯(lián)立，解得x＝或x＝，
∴Q(，)或Q(，)；
綜上所述：△QMB與△PMB的面積相等時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)或(，)或(，)；
(4)連接CF，在OA上截取OF使得OF＝eq \f(1,4)CF，過點(diǎn)M作MT⊥CF交CF于點(diǎn)T，過點(diǎn)M作MK⊥y軸交CF于點(diǎn)K，在Rt△CTE中，ET＝eq \f(1,4)CE，
∴eq \f(1,4)CE＋ME＝TE＋ME＝TM，此時(shí)eq \f(1,4)CE＋ME的值最?。?br>∵OF＝eq \f(1,4)CF，CO＝3，
∴OF＝eq \f(\r(15),5)，CF＝eq \f(4,5)eq \r(15)，
∴F(﹣eq \f(\r(15),5)，0)，
設(shè)直線CF的解析式為y＝t'x＋n，
將點(diǎn)C(0，3)，F(xiàn)(﹣eq \f(\r(15),5)，0)代入，可得，
，解得，
∴y＝eq \r(15)x＋3，
∵M(jìn)(1，2)，
∴K(﹣，2)，∴MK＝1＋，
∵M(jìn)T⊥CF，
∴∠FCO＋∠CKM＝∠CKM＋∠TMK＝90°，
∴∠TMK＝∠FCO，
在Rt△TKM中，MT＝KMcs∠FCO，
∴MT＝(1＋)＝，
∴eq \f(1,4)CE＋ME的最小值為eq \f(\r(15),4)＋eq \f(1,4)．
解：(1)∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)、B(1，0)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x﹣1)，
∵點(diǎn)C(0，3)在拋物線上，
∴﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣(x＋3)(x﹣1)＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥x軸交BM的延長線于G，
由(1)知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x＋3，
設(shè)點(diǎn)M(m，﹣m2﹣2m＋3)(﹣3＜m＜0)，
∴S△BCM＝eq \f(1,2)CN(1﹣m)，S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝eq \f(1,2)AG[(1＋3)﹣(m＋3)]＝eq \f(1,2)AG(1﹣m)，
∴＝＝，
∵ON∥AG，
∴＝，
設(shè)ON＝t，則AG＝4t，CN＝3﹣t，
∵BM將四邊形ABCM的面積分為1：2兩部分時(shí)，
∴＝或2，∴，∴，
∴t＝1或t=eq \f(1,3)，∴N(0，1)或N(0，eq \f(1,3))，
當(dāng)N(0，1)時(shí)，∵B(1，0)，∴直線BM的解析式為y＝﹣x＋1①，
由(1)知，拋物線的解析式為y＝﹣(x＋3)(x﹣1)②，
聯(lián)立①②解得，或，
∴M(﹣2，3)；
當(dāng)N(0，eq \f(1,3))時(shí)，∵B(1，0)，∴直線BM的解析式為y＝﹣eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)③，
聯(lián)立②③解得，或，
∴M(﹣，)；即M(﹣2，3)或()；
(3)如圖2，
連接PC，CD，過點(diǎn)C作CH⊥DP于H，
由(1)知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2m＋3＝﹣(m﹣1)2＋4，
∴D(﹣1，4)，
∵C(0，3)，
∴CD＝eq \r(2)，DH＝1，CH＝1，
∴DH＝CH，
∴∠CDP＝45°，
∵點(diǎn)Q為直線y＝x第一象限上的動點(diǎn)，
∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，
∵DP＝eq \r(2)OQ，
∴＝eq \r(2)，∵＝eq \r(2)，∴＝＝eq \r(2)，
∴△PCD∽△OBQ，
∴，
∴PC＝eq \r(2)OQ，
∴BP＋eq \r(2)OQ＝BP＋PC，
連接AP，∵點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上的點(diǎn)，
∴PC＝PA，
∴BP＋eq \r(2)OQ＝BP＋PC＝BP＋PA，
∴當(dāng)點(diǎn)A，P，C在同一條直線上時(shí)，BP＋eq \r(2)OQ最小，最小值為AC＝3eq \r(2)，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴直線AC的解析式為y＝x＋3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2，
∴點(diǎn)P(﹣1，2)．
解：(Ⅰ)當(dāng)b＝2時(shí)，y＝﹣eq \f(1,2)x2＋2x＋c，
將點(diǎn)A(1，0)代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋2x＋c，
∴c＝﹣eq \f(3,2)，
∴y＝﹣eq \f(1,2)x2＋2x﹣eq \f(3,2)＝﹣eq \f(1,2)(x﹣2)2＋eq \f(1,2)，
∴拋物線的頂點(diǎn)為(2，eq \f(1,2))；
(Ⅱ)∵點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，OP＝2，
∴P(0，2)或(0，﹣2)，
將A代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c，
∴﹣eq \f(1,2)＋b＋c＝0，
∴c＝eq \f(1,2)﹣b，
∵﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(1,2)﹣b＝0，
∴1＋x1＝2b，
∴x1＝2b﹣1，
∴B(2b﹣1，0)，
令x＝0，則y＝2b﹣1，
∴C(0，eq \f(1,2)﹣b)，
∵PB＝PC，
∴(2b﹣1)2＋4＝|eq \f(1,2)﹣b﹣2|2或(2b﹣1)2＋4＝|eq \f(1,2)﹣b＋2|2，
解得b＝eq \f(1,2)或b＝eq \f(11,6)或b＝﹣eq \f(1,2)或b＝eq \f(1,6)，
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴2b﹣1＞1，
∴b＞1，
∴b＝eq \f(11,6)；
(Ⅲ)將點(diǎn)A、B代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c，
∴，，
∴y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x﹣2，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝eq \f(5,2)，
∴E(eq \f(5,2)，0)，
∵y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x﹣2＝﹣eq \f(1,2)(x﹣eq \f(5,2))2＋eq \f(9,8)，
∴頂點(diǎn)D(eq \f(5,2)，eq \f(9,8))，
∵A(1，0)，B(4，0)，
∴AB＝3，
∵AN＝2BN，
∴AN＝2，BN＝1，
∴N(3，0)，
設(shè)Q(eq \f(5,2)，t)，
過點(diǎn)N作AD的垂線交于點(diǎn)M，交對稱軸于點(diǎn)Q，
∵AE＝eq \f(3,2)，DE＝eq \f(9,8)，
∴tan∠DAE＝eq \f(3,4)，
∴∠EQN＝∠DAE，
∴∠DAN＝∠MQD，
∴tan∠MQD＝eq \f(3,4)，
∴sin∠MQD＝eq \f(4,5)，
∴MQ＝eq \f(4,5)DQ，
∵DQ＋eq \f(5,4)NQ＝eq \f(5,4)(eq \f(4,5)DQ＋NQ)＝eq \f(5,4)(MQ＋NQ)，
∴當(dāng)M、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，DQ＋eq \f(5,4)NQ有最小值eq \f(5,4)MN，
在Rt△AMN中，AN＝2，
∴sin∠MAN＝eq \f(3,5)，∴MN＝eq \f(3,5)×2＝eq \f(6,5)，
∴DQ＋eq \f(5,4)NQ＝eq \f(5,4)×MN＝eq \f(3,2)，∴DQ＋eq \f(5,4)NQ的最小值為eq \f(3,2)．
解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)由拋物線的表達(dá)式得，點(diǎn)M(﹣1，4)，點(diǎn)N(0，3)，
則tan∠MAC＝2，
則設(shè)直線AM的表達(dá)式為：y＝2x＋b，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝6，
故直線AM的表達(dá)式為：y＝2x＋6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，則tan∠DEF＝2，則cs∠DEF＝eq \f(\r(5),5)，
設(shè)點(diǎn)E(x，﹣x2﹣2x＋3)，則點(diǎn)D(x，2x＋6)，
則FE＝EDcs∠DEF＝(﹣x2﹣2x＋3﹣2x﹣6)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(5),5)(﹣x2﹣4x﹣3)，
∵﹣eq \f(\r(5),5)＜0，故EF有最大值，此時(shí)x＝﹣2，故點(diǎn)D(﹣2，2)；
①點(diǎn)C(﹣1，0)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B(1，0)，連接BD交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，
PD＋PC＝PD＋PB＝DB為最小，則BD＝eq \r(13)；
②過點(diǎn)O作直線OK，使sin∠NOK＝eq \f(1,4)，過點(diǎn)D作DK⊥OK于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求點(diǎn)，
DQ＋eq \f(1,4)OQ＝DQ＋QK＝DK為最小值，
則直線OK的表達(dá)式為：y＝eq \r(15)x，
∵DK⊥OK，故設(shè)直線DK的表達(dá)式為：y＝﹣x＋b，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝2﹣，
而直線DK的表達(dá)式為：y＝﹣x＋2﹣，
故點(diǎn)Q(0，2﹣)，
由直線KD的表達(dá)式知，QD與x軸負(fù)半軸的夾角(設(shè)為α)的正切值為，
則csα＝，則DQ＝＝＝，而eq \f(1,4)OQ＝eq \f(1,4)(2﹣)，
則DQ＋eq \f(1,4)OQ為最小值＝＋eq \f(1,4)(2﹣)＝．

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