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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc161755230"
\l "_Tc161755231" 題型一 垂線段最短問題
\l "_Tc161755232" 題型二 將軍飲馬問題
\l "_Tc161755233" 題型三 旋轉(zhuǎn)最值問題
題型一 垂線段最短問題
【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（ ）
A．B．C．3D．4
【分析】由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再證明四邊形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四邊形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，
此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝，
∴MN的最小值為；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．若CD＝5，則DE的最小值等于（ ）
A．2.5B．4C．5D．10
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到即可，
【解答】解：當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE的值最小，
∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，CD＝5，
∴DE的最小值＝CD＝5，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線性質(zhì)，關(guān)鍵是知道垂線段最短，本題比較典型，難度適中．
【變式1-2】如圖,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是( ）
A. 32 B.1 C. 2 D.32
如圖，CD的上方,作等邊ACDM,連接PM,過點(diǎn)M作MHLCB于H.
∵△DPQ, △DCM都是等邊三角形
∴∠CDM=∠PDQ=60°
∴DP=DQ, DM=DC,
∴△DPM≌△DQC(SAS),
∴PM=CQ.
∴PM的值最小時(shí)，CQ的值最小，
當(dāng)PM⊥MH時(shí)，PM的最小值=CH=12CD=1
∴CQ的最小值為1故選:B.
題型二 將軍飲馬問題
【例2】（德州中考）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．
【解答】解：如圖，連接AE交BD于M點(diǎn)，
∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是軸對(duì)稱﹣﹣路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)點(diǎn)A、M、E在一條直線上時(shí)，ME+MA有最小值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（菏澤中考）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時(shí)，A、M、F三點(diǎn)共線，即求AF的長(zhǎng)度，根據(jù)題意判斷△ABC為等邊三角形，且F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)M點(diǎn)位于M′時(shí)，MA+MF的值最小，
由菱形的性質(zhì)可知，
AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB＝2，
∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，
∴在Rt△ABF中，AF＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短路線問題、等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，確定MA+MF的最小值為AF的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．
【變式2-2】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若△CDM的周長(zhǎng)的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（ ）
A．78B．39C．42D．30
【答案】D
【詳解】如圖，連接AD，交EF于點(diǎn)M．
∵△ABC是等腰三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，CD=BC=3．∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A，AM=CM，∴此時(shí)△CDM的周長(zhǎng)最小，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S△ABC=BC·AD=×6×10=30．
【變式2-3】已知點(diǎn)P在內(nèi)．

(1)如圖①，點(diǎn)P關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H，連接．
①若，則是什么特殊三角形？為什么？
②若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖②，若， A、B分別是射線上的點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，在上有一動(dòng)點(diǎn)E，試求的最小值．
【答案】(1)①是等邊三角形，理由見解析；②，理由見解析
(2)的最小值為5．
【分析】（1）①由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，．根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得出是等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，，G、O、H在同一直線上，由此可得與的數(shù)量關(guān)系；
（2）過Q作的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，連接，則的最小值為，由已知條件可得，易得，，由此可得是等邊三角形，即可得的長(zhǎng)，即的最小值．
【詳解】（1）解：①是等邊三角形，
∵點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為G，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形．
②，
當(dāng)時(shí)，，
∴G、O、H在同一直線上，．
∵，
∴；
（2）解：過Q作的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，連接，

∴ 最小值為．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵點(diǎn)Q與關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
即的最小值為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱--最短路線問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

【答案】②③④
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④．
【詳解】解：∵，，
∴，
在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，不一定，
相矛盾，
故①不正確；

延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,
則為矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正確，
，
即當(dāng)?shù)淖钚≈?，作B、D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),
把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,
這時(shí)，
即的最小值是20，
故④正確；
故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型三 旋轉(zhuǎn)最值問題
【例3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．
【詳解】解：∵為高上的動(dòng)點(diǎn)．
∴
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
∴
∴
∴，
∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，
如圖所示，

作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則
在中，，則，
則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴周長(zhǎng)的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為 ．
【答案】
【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等邊三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上．
【變式3-2】如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
【答案】
【分析】將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，則MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共線時(shí)最短；由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)D′E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D′E＝DG＋GE的值；
【詳解】解：將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，
由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共線時(shí)最短，
由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)D′E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D′E＝D′G＋GE＝
∴MA＋MD＋ME的最小值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造等邊三角形解決問題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
【變式3-3】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．
【答案】
【分析】延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．先證明，可得，再證明，可得：，從而得到，計(jì)算出的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的值最小，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題，利用相似構(gòu)造與，根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．如圖，的面積為12，，與交于點(diǎn)O．分別過點(diǎn)C，D作，的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】先證明，四邊形是菱形，如圖，連接，，而點(diǎn)G是的中點(diǎn)，可得為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，最小，再利用等面積法求解最小值即可．
【詳解】解：∵，，
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴四邊形是菱形，
如圖，連接，，而點(diǎn)G是的中點(diǎn)，

∴為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，
∴當(dāng)時(shí)，最小，
∵即矩形的面積為12，，
∴，，
∴，
∴，
由菱形的性質(zhì)可得：，
∴，
∴，即的最小值為1．
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的含義，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
2．已知在中，，．點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F’，如下圖所示，此時(shí)EF+EB= EF’+EB，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段長(zhǎng)度最短求解即可．
【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F’，連接AF’，如下圖所示：
由對(duì)稱性可知，EF=EF’，
此時(shí)EF+EB= EF’+EB，
由“點(diǎn)到直線的距離垂線段長(zhǎng)度最小”可知，
當(dāng)BF’⊥AF’時(shí)，EF+EB有最小值BF0，此時(shí)E位于上圖中的E0位置，
由對(duì)稱性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可知，
BF0=AB=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，垂線段最短求線段最值等，本題的核心思路是作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，將EF線段轉(zhuǎn)移，再由點(diǎn)到直線的距離最短求解．
二、填空題
3．如圖，P是菱形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PE＝4cm，
則點(diǎn)P到BC的距離是 cm．
【答案】4
【分析】利用菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角，得到BD平分∠ABC，再利用角平分線的性質(zhì)可得P到BC的距離為4cm.
【詳解】根據(jù)菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角，
∴BD平分∠ABC，
∴ P到BC的距離=P到AB的距離，
∵P到AB的距離為PE的長(zhǎng)，即為4cm，
∴P到BC的距離為4cm，
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4．如圖，在中，．P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，再根據(jù)垂線段最短可得時(shí)，線段的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，

∵，
∴，
∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，
∴四邊形是矩形，
∴，
由垂線段最短可得時(shí)，線段的值最小，此時(shí)線段的值最小，
此時(shí)，，
代入數(shù)據(jù)：，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出時(shí)，線段的值最小是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，
由題意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．
6．菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，
菱形的邊長(zhǎng)為2，，
中，
PQ+QC的最小值為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．
（Ⅰ）使取最小值的動(dòng)點(diǎn)的位置在點(diǎn)的 側(cè).（填“左”或“右”）．
（Ⅱ）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù). ．
【答案】 左 /15度
【分析】本題考查了求將軍飲馬問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．
（Ⅰ）作點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)D，連接，交直線于點(diǎn)，此時(shí)有最小值，即可得到點(diǎn)的位置在點(diǎn)的左側(cè)；
（Ⅱ）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再證明，得到，即可得到．
【詳解】解：（Ⅰ）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)D，連接，交直線于點(diǎn)，此時(shí)有最小值，此時(shí)點(diǎn)的位置在點(diǎn)的左側(cè)；
（Ⅱ）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：左，．
三、解答題
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

(1)作出關(guān)于y軸對(duì)稱的，其中，，分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
(2)寫出的坐標(biāo)；
(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使得的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）
【答案】(1)見詳解
(2)
(3)見詳解
【分析】（1）先做出A，B，C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，再順次連接，，即可；
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）做B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與x軸的交點(diǎn)即為所求作的P點(diǎn)．
此題考查關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及將軍飲馬的作圖問題．其關(guān)鍵是要理解會(huì)運(yùn)用：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【詳解】（1）如圖即為所求；

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）如圖，點(diǎn)P即為所求作．
9．如圖1：正方形的邊長(zhǎng)為3，E是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在的右側(cè)以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，連接，．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
(3)如圖2，連接BF，則的最小值為______．
【答案】(1)，理由見解析
(2)或
(3)
【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證明,即可得到；
（2）分當(dāng)點(diǎn)E在線段上和點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上兩種情況分類討論，根據(jù)勾股定理即可求解；
（3）作于H，先證明得到，再在延長(zhǎng)線上截取，連接，證明，從而得到，即可得到當(dāng)點(diǎn)B、F、M在同一直線上時(shí)，，此時(shí)值最小，根據(jù)勾股定理求出，問題得解．
【詳解】（1）解：．
證明：∵四邊形為正方形，
∴，
∵三角形為以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴,
∴；
（2）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
綜上所述，或；
（3）解：如圖5，作于H，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴
∵,
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴,
∴，
在延長(zhǎng)線上截取，連接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)B、F、M在同一直線上時(shí)，，此時(shí)的值最小，
在中，．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，將軍飲馬問題，根據(jù)已知條件證明或構(gòu)造三角形全等進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移與代換是解題關(guān)鍵，第（3）步解題時(shí)要借助將軍飲馬模型轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，從而解決問題．
10．
中，．
(1)如圖1，若，平分交于點(diǎn)，且．證明：；
(2)如圖2，若，取中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接并延長(zhǎng)至，使，猜想線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
(3)如圖3，若，為平面內(nèi)一點(diǎn)，將沿直線翻折至，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出的值．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足為，，易得，由，可得，由，求得，可證得；
（2）延長(zhǎng)，使得，連接，，易證為等邊三角形，進(jìn)而可證，可得，，可知，易證得，可得，由可得結(jié)論；
（3）由題意可知是等邊三角形，如圖，作，且，作，且，可得，，可知，可得，由可知點(diǎn)，都在線段上時(shí)，有最小值，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，可得，，可證，得，設(shè)由等邊三角形的性質(zhì)，可得，進(jìn)而可得，，結(jié)合可得：，可得，由翻折可知，，可求得的值．
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足為，，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，則，
又∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
延長(zhǎng)，使得，連接，，
∵，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，則，
∴，
∴，
∴，，則，
∵，
∴，
又∵為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴是等邊三角形，
如圖，作，且，作，且，
則，，
∴，，
則，
∴，則
∴，
∴，即：，
∴
即：點(diǎn)，都在線段上時(shí)，有最小值，如下圖，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，
則，
，，
又∵，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，設(shè)
∴，，則，
∵，
∴，則，，
則由可得：，
整理得：，得，
由翻折可知，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查了解直角三角形，等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及費(fèi)馬點(diǎn)問題，掌握費(fèi)馬點(diǎn)問題的解決方法，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．
11．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值
【答案】
【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，
過點(diǎn)P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=
【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．
12．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；
（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；
①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）； ②求的取值范圍；
(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．

【答案】（1）①補(bǔ)圖見解析；②；（2）
【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；
②首先證明∠ECF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問題；
（2）如圖2中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)；
【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；

②∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，
∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x?2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2時(shí)，y有最小值，最小值為8，
當(dāng)x＝4時(shí)，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如圖中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△AEG是等邊三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．
題型解讀：
線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉(zhuǎn)最值問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想. 此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問題；②尺規(guī)作圖問題；③旋轉(zhuǎn)“費(fèi)馬點(diǎn)”問題；④點(diǎn)到直線的距離最值問題等.
下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.
解題模板：
技巧精講：垂線段最短模型
解題模板：
技巧精講：
1、“將軍飲馬”模型
2、線段差最大值問題模型：
解題模板：
技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型

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