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\l "_Tc161755284" 題型一 垂線段最短問題
\l "_Tc161755285" 題型二 將軍飲馬問題
\l "_Tc161755286" 題型三 旋轉(zhuǎn)最值問題
題型一 垂線段最短問題
【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（ ）
A．B．C．3D．4
【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點E是AB上任意一點．若CD＝5，則DE的最小值等于（ ）
A．2.5B．4C．5D．10
【變式1-2】如圖,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點D是BC邊的中點,點P是AC邊上一個動點,連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是( ）
A. 32 B.1 C. 2 D.32
題型二 將軍飲馬問題
【例2】（德州中考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1】（菏澤中考）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對角線BD上的一個動點，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【變式2-2】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F(xiàn)，D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，若△CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（ ）
A．78B．39C．42D．30
【變式2-3】已知點P在內(nèi)．

(1)如圖①，點P關于射線的對稱點分別是G、H，連接．
①若，則是什么特殊三角形？為什么？
②若，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；
(2)如圖②，若， A、B分別是射線上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值．
【變式2-4】（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結論：①；②四邊形的面積不變；③當時，；④的最小值是20．其中所有正確結論的序號是 ．

題型三 旋轉(zhuǎn)最值問題
【例3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

【變式3-1】如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為 ．
【變式3-2】如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
【變式3-3】如圖，正方形的邊長為4，點是正方形內(nèi)部一點，求的最小值．
一、單選題
1．如圖，的面積為12，，與交于點O．分別過點C，D作，的平行線相交于點F，點G是的中點，點P是四邊形邊上的動點，則的最小值是（ ）

A．1B．C．D．3
2．已知在中，，．點為邊上的動點，點為邊上的動點，則線段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
3．如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PE⊥AB于點E，PE＝4cm，
則點P到BC的距離是 cm．
4．如圖，在中，．P為邊上一動點，作于點D，于點E，則的最小值為 ．

5．如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是 ．
6．菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為 ．
7．如圖，在中，，，點在直線上，，點為上一動點，連接，．
（Ⅰ）使取最小值的動點的位置在點的 側.（填“左”或“右”）．
（Ⅱ）當?shù)闹底钚r，請直接寫出的度數(shù). ．
三、解答題
8．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1，點A的坐標為．點B的坐標為，點C的坐標為．

(1)作出關于y軸對稱的，其中，，分別是A，B，C的對應點；
(2)寫出的坐標；
(3)在x軸上找一點P，使得的值最小．（保留作圖痕跡）
9．如圖1：正方形的邊長為3，E是直線上一動點，連接，在的右側以C為直角頂點作等腰直角三角形，連接，．
(1)當點E在線段上運動時，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．
(2)當時，求的長．
(3)如圖2，連接BF，則的最小值為______．
10．
中，．
(1)如圖1，若，平分交于點，且．證明：；
(2)如圖2，若，取中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接并延長至，使，猜想線段、、之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
(3)如圖3，若，為平面內(nèi)一點，將沿直線翻折至，當取得最小值時，直接寫出的值．
11．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值
12．在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；
（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；
①把圖形補充完整（無需寫畫法）； ②求的取值范圍；
(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．

題型解讀：
線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉(zhuǎn)最值問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關知識，以及數(shù)形結合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想. 此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問題；②尺規(guī)作圖問題；③旋轉(zhuǎn)“費馬點”問題；④點到直線的距離最值問題等.
下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.
解題模板：
技巧精講：垂線段最短模型
解題模板：
技巧精講：
1、“將軍飲馬”模型
2、線段差最大值問題模型：
解題模板：
技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型

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