已知拋物線y＝x2﹣2mx＋2m＋1．
(1)寫出拋物線y＝x2﹣2mx＋2m＋1的頂點坐標(用含m的式子表示)．
(2)當x≥1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ．
(3)當﹣1≤x≤2時，函數y＝x2﹣2mx＋2m＋1的圖象記為G，設圖象G的最低點的縱坐標為y0．當y0＝﹣1時，求m的值．
(4)當m＞0時，分別過點A(2，1)、B(2，4)作y軸垂線，垂足分別為點D、點C，拋物線在矩形ABCD內部的圖象(包括邊界)的最低點到直線y＝﹣2的距離等于最高點到x軸的距離，直接寫出m的值．
如圖；已知拋物線y＝ax2＋3x＋c與直線y＝x＋1交于兩點A，B(3，n)，且點A在x軸上．
(1)求a，c，n的值；
(2)設點P在拋物線上，其橫坐標為m．直線l：x＝m＋5與直線AB交于點C，過點P作PD⊥l于點D，以PD，CD為邊作矩形PDCE，使得拋物線的頂點在矩形PDCE內部．
①直接寫出：m的取值范圍是 ；
②求PD＋CD的最小值．
已知二次函數y＝﹣eq \f(1,2)x2＋nx﹣eq \f(1,2)n2＋2n﹣3，點A、點B均在此二次函數的圖象上，點A的橫坐標為n﹣1，點B的橫坐標為2n﹣2，在點A和點B之間的圖象為G．
(1)當n＝2時，
①求二次函數圖象的頂點坐標；
②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍．
(2)AB所在的直線交y軸于點C，過點A作AD⊥y軸于點D，以AD、CD為鄰邊構造矩形ADCE，直接寫出當拋物線的頂點落在矩形ADCE的邊上時n的值．
(3)當圖象G上存在兩個點到直線y＝3n﹣4的距離為3，直接寫出滿足條件的n的取值范圍．
如圖，已知拋物線C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2(|a1|＝|a2|)都經過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果四邊形ANBM是平行四邊形，則稱拋物線C1和C2為對稱拋物線．
(1)觀察圖象，寫出對稱拋物線兩條特征；(如：拋物線開口大小相同)
(2)若拋物線C1的解析式為y＝﹣x2＋2x，確定對稱拋物線C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四邊形ANBM是矩形時，確定對稱拋物線C1和C2的解析式．
在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2＋bx＋c(b、c是常數)經過點(0，﹣1)和(2，7)，點A在這個拋物線上，設點A的橫坐標為m．
(1)求此拋物線對應的函數表達式并寫出頂點C的坐標．
(2)點B在這個拋物線上(點B在點A的左側)，點B的橫坐標為﹣1﹣2m．
①當△ABC是以AB為底的等腰三角形時，求OABC的面積．
②將此拋物線A、B兩點之間的部分(包括A、B兩點)記為圖象G，當頂點C在圖象G上，記圖象G最高點的縱坐標與最低點的縱坐標的差為h，求h與m之間的函數關系式．
(3)設點D的坐標為(m，2﹣m)，點E的坐標為(1﹣m，2﹣m)，點F在坐標平面內，以A、D、E、F為頂點構造矩形，當此拋物線與矩形有3個交點時，直接寫出m的取值范圍．
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)與x軸正半軸交于點A，且點A的坐標為(3，0)，過點A作垂直于x軸的直線l，P是該拋物線上一動點，其橫坐標為m，過點P作PQ⊥l于點Q，M是直線l上的一點，其縱坐標為﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當點Q與點M重合時，求m的值；
(3)當矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內部時，求m的值；
(4)當拋物線在矩形PQMN內的部分所對應的函數值y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍．
已知二次函數y＝x2﹣2mx﹣m與y軸交于點M，直線y＝m＋5與y軸交于點A，與直線x＝4交于點B，直線y＝﹣2m與y軸交于點D(A與D不重合)，與直線x＝4交于點C，構建矩形ABCD．
(1)當點M在線段AD上時，求m的取值范圍．
(2)求證：拋物線y＝x2﹣2mx﹣m與直線y＝m＋5恒有兩個交點．
(3)當拋物線在矩形內部的函數值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍．
(4)當拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的橫坐標等于點B到x軸距離的eq \f(1,2)時，直接寫出m的取值范圍．
如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c(c≠0)與x軸交于點A(﹣1，0)，B(點A在點B左側)，與y軸交于點C，連接BC．
(1)點C的縱坐標為 (用含b的式子表示)，∠OBC＝ 度；
(2)當b＝1時，若點P為第一象限內拋物線上一動點，連接BP，CP，求△BCP面積的最大值，并求出此時點P的坐標；
(3)已知矩形ODEF的頂點D，F(xiàn)分別在x軸、y軸上，點E的坐標為(3，2)．
①拋物線的頂點為Q，當AQ的中點落在直線EF上時，求點Q的坐標；
②當拋物線在矩形內部的部分對應的函數值y隨x的增大而減小時，請直接寫出b的取值范圍．
在平面直角坐標系中，已知拋物線L1：y＝﹣x2＋bx＋c(b、c為常數)與x軸交于A(﹣6，0)、B(2，0)兩點．
(1)求拋物線L1的函數表達式；
(2)將該拋物線L1向右平移4個單位長度得到新的拋物線L2，與原拋物線L1交于點C，點D是點C關于x軸的對稱點，點N在平面直角坐標系中，請問在拋物線L2上是否存在點M，使得以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的矩形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B(3，0)，與y軸交于點C，連接AC．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵y＝x2﹣2mx＋2m＋1＝(x﹣m)2﹣m2＋2m＋1，
∴頂點坐標為(m，﹣m2＋2m＋1)；
(2)∵拋物線開口向上，
∴m≤1時，y隨x的增大而增大，
故答案為：m≤1；
(3)當m＜﹣1時，x＝﹣1，函數有最小值，
∴y0＝2＋4m，
∵y0＝﹣1，
∴2＋4m＝﹣1，解得m＝﹣eq \f(3,4) (舍)；
當m＞2時，x＝2，函數有最小值，
∴y0＝5﹣2m，
∵y0＝﹣1，
∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；
當﹣1≤m≤2時，x＝m，函數有最小值，
∴y0＝﹣m2＋2m＋1，
∵y0＝﹣1，
∴﹣m2＋2m＋1＝﹣1，解得m＝eq \r(3)＋1(舍)或m＝﹣eq \r(3)＋1；
綜上所述：m的值為3或﹣eq \r(3)＋1；
(4)當0＜m≤eq \f(1,2)時，﹣m2＋2m＋1＋2＝4，解得m＝1(舍)；
當eq \f(1,2)＜m≤1時，﹣m2＋2m＋1＋2＝4﹣2m＋1，
解得m＝eq \r(2)＋2(舍)或m＝﹣eq \r(2)＋2；
當1＜m≤eq \f(3,2)時，﹣m2＋2m＋1＋2＝2m＋1，解得m＝eq \r(2)或m＝﹣eq \r(2)(舍)；
當eq \f(3,2)＜m≤2時，﹣m2＋2m＋1＋2＝4，解得m＝1(舍)；
當m＞2時，最高點縱坐標是4，最低點縱坐標是1，
∴3≠4，∴此時不符合題意；
綜上所述：m的值為eq \r(2)或2﹣eq \r(2)．
解：(1)對直線y＝x＋1，當x＝3時，n＝4，當y＝0時，x＝﹣1，
∴點A(﹣1，0)，B(3，4)，
將點A和點B的坐標代入拋物線y＝ax2＋3x＋c，得
，解得：．
(2)①∵a＝﹣1，c＝4，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(25,4)，
∴P的坐標為(m，﹣m2＋3m＋4)，頂點坐標為(eq \f(3,2),eq \f(25,4))，
∴點D的坐標為(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，
∵直線l：x＝m＋5與直線AB交于點C，
∴C(m＋5，m＋6)，
∵拋物線的頂點在矩形PDCE內部，
∴，
解得：eq \f(1,4)＜m＜eq \f(3,2)，∴m的取值范圍為eq \f(1,4)＜m＜eq \f(3,2)．
②∵P的坐標為(m，﹣m2＋3m＋4)，
點D的坐標為(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，C(m＋5，m＋6)，
∴PD＝5，CD＝m＋6﹣(﹣m2＋3m＋4)＝m2﹣2m＋2，
∴PD＋CD＝m2﹣2m＋2＋5＝(m﹣1)2＋6，
∴當m＝1時，PD＋CD的最小值為6．
解：(1)①當n＝2時，y＝﹣eq \f(1,2)x2＋2x﹣1＝﹣eq \f(1,2)(x﹣2)2＋1，
∴頂點為(2，1)；
②∵﹣1≤x≤3，
∴當x＝﹣1時，函數有最小值﹣3.5，
當x＝2時，函數有最大值1，
∴﹣3.5≤y≤1；
(2)∵y＝﹣eq \f(1,2)x2＋nx﹣eq \f(1,2)n2＋2n﹣3＝﹣eq \f(1,2)(x﹣n)2＋2n﹣3，
∴頂點為(n，2n﹣3)，
∵點A的橫坐標為n﹣1，
∴A(n﹣1，2n﹣3.5)，
∵點B的橫坐標為2n﹣2，
∴B(2n﹣2，eq \f(1,2)n2＋4n﹣5)，
∵AD⊥y軸，
∴D(0，2n﹣3.5)，
設直線AB的解析式為y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝(eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)n)x＋eq \f(1,2)n2﹣2，
∴C(0，eq \f(1,2)n2﹣2)，
∵以AD、CD為鄰邊構造矩形ADCE，
∴E(n﹣1，eq \f(1,2)n2﹣2)，
當n﹣1＞0時，頂點在直線AE的右側，此時頂點不能落在矩形ADCE的邊上；
當n﹣1＜0，即n＜1，頂點在CD邊上時，n＝0；
(3)如圖1，當2n﹣2≥n，即n≥2時，
2n﹣eq \f(7,2)≥eq \f(1,2)n2＋4n﹣5，解得n≥3或n≤1，
∴當n≥3時，3n﹣4﹣2n＋eq \f(7,2)≥3，3n﹣4﹣2n＋3＜3時，
解得eq \f(7,2)≤n＜4時，圖象G上存在兩個點到直線y＝3n﹣4的距離為3；
如圖2，當n﹣1＞2n﹣2時，即n＜1，
2n﹣eq \f(7,2)﹣3n＋4≥3，3n﹣4﹣(eq \f(1,2)n2＋4n﹣5)≥3，解得n≤﹣eq \f(5,2)；
綜上所述：eq \f(7,2)≤n＜4或n≤﹣eq \f(5,2)時，圖象G上存在兩個點到直線y＝3n﹣4的距離為3．
解：(1)觀察函數圖象，可得出對稱拋物線的特征：點M，N關于原點O對稱；兩拋物線的頂點坐標關于原點O對稱．
(2)∵拋物線C1的解析式為y＝﹣x2＋2x，
∴點A的坐標為(1，1)，
∴點B的坐標為(﹣1，﹣1)；
當y＝0時，﹣x2＋2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，
∴點M的坐標為(2，0)，
∴點N的坐標為(﹣2，0).
將B(﹣1，﹣1)，N(﹣2，0)代入y＝a2x2＋b2x中，
得：，解得：，
∴對稱拋物線C2的解析式為y＝x2＋2x．
(3)∵MN＝4，
∴OM＝eq \f(1,2)MN＝eq \f(1,2)×4＝2，
∴拋物線C1的對稱軸為直線x＝1，點M的坐標為(2，0)，
∴點N的坐標為(﹣2，0)．
設點A的坐標為(1，m)，則AM2＝(1﹣2)2＋m2，AN2＝[1﹣(﹣2)]2＋m2．
∵四邊形ANBM是矩形，
∴△AMN為直角三角形，
∴AM2＋AN2＝MN2，
即(1﹣2)2＋m2＋[1﹣(﹣2)]2＋m2＝42，解得：m1＝eq \r(3)，m2＝﹣eq \r(3)，
∴點A的坐標為(1，eq \r(3))或(1，﹣eq \r(3))．
當點A的坐標為(1，eq \r(3))時，將A(1，eq \r(3))，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，
得：，解得：，
∴對稱拋物線C1的解析式為y＝﹣eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x；
當點A的坐標為(1，﹣eq \r(3))時，將A(1，﹣eq \r(3))，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，
得：，解得：，
∴對稱拋物線C1的解析式為y＝eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x；
∵點A，B關于原點O對稱，
∴點B的坐標為(﹣1，﹣eq \r(3))或(﹣1，eq \r(3))，
同理，可得出對稱拋物線C2的解析式為y＝eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x或y＝﹣eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x．
綜上所述，對稱拋物線C1和C2的解析式為y＝﹣eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x，y＝eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x
或y＝eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x，y＝﹣eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x．
解：(1)把(0，﹣1)和(2，7)代入y＝x2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴拋物線對應的函數表達式為：y＝x2＋2x﹣1，
∵y＝x2＋2x﹣1＝(x＋1)2﹣2，
∴頂點C的坐標為(﹣1，﹣2)；
(2)①當x＝﹣1﹣2m時，y＝(﹣1﹣2m＋1)2﹣2＝4m2﹣2，
∴B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
當△ABC是以AB為底的等腰三角形時，
則AC＝BC，
又∵點C在拋物線對稱軸x＝﹣1上，
∴點A、點B關于直線x＝﹣1對稱，
∴A(2m﹣1，4m2﹣2)，
∵點A的橫坐標為m，
∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，
∴A(1，2)，B(﹣3，2)，
∵由(1)得，C(﹣1，﹣2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]＝8；
②∵A(m，(m＋1)2﹣2)，B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
∴當點A是最高點，即m＞1或m＜﹣eq \f(1,3)時，
則h＝(m＋1)2﹣2﹣(﹣2)＝(m＋1)2；
當點B是最高點，即﹣eq \f(1,3)＜m＜1時，則h＝4m2﹣2﹣(﹣2)＝4m2，
綜上，h與m之間的函數關系式為：h＝(m＋1)2(m＞1或m＜﹣eq \f(1,3))或 h＝4m2(﹣eq \f(1,3)＜m＜1)；
(3)①當m＜﹣1時，則2﹣m＞3，1﹣m＞2，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有3個交點；
②當﹣1≤m≤1時，則1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有2個交點；
③當1＜m＜2時，則0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有2個交點；
④當2＜m＜3時，則﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有2個交點；
⑤當3≤m＜4時，則﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有4個交點；
⑥當m＝4時，則2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有3個交點(ED經過拋物線的頂點)；
⑦當m＞4時，則2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如圖：
此時矩形ADEF與拋物線有2個交點．
綜上，當m≤﹣1或m＝4時，拋物線與矩形有3個交點．
解：(1)當x＝2時，y＝﹣eq \f(3,2)．
∴點B的坐標為(2，﹣eq \f(3,2))，
當y＝0時，eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3．
∵拋物線y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)與x軸正半軸交于點A，
∴點A的坐標為(3，0)．
由題意，得，解得，
∴直線AB對應的函數關系式為y＝eq \f(3,2)x﹣eq \f(9,2)．
(2)當點P與點A重合時，m＋1＝3．解得m＝2．
∴2m＝4．
∵點D的縱坐標為1．
∴點E的坐標為(4，1)．
(3)將y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)配方，得y＝eq \f(1,2)(x﹣1)2﹣2．
∴拋物線的頂點坐標為(1，﹣2)．
由題意，得點E的坐標為(2m,eq \f(1,2)m2﹣1)．
∵點E在該拋物線上，
∴．解得，．
當2m＜1時，即meq \f(1,2)，頂點(1，﹣2)在EF的左邊．
∵，
∴拋物線的頂點到EF的距離為．
綜上所述，拋物線的頂點到EF的距離為或．
(4)當點F(2m，eq \f(3,2)m﹣3)在拋物線上時，eq \f(3,2)m﹣3＝2m2﹣2m﹣eq \f(3,2)，解得m＝eq \f(3,4)或1，
當E在拋物線上時，m＝，當點P與A重合時，m＝2，
觀察圖1，圖2，圖3可知，當或或
m≥2時，矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交．
也可以寫成：當或m≠1或m≥2時，矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交．
解：(1)由題意得：M(0，﹣m)，A(0，m＋5)，D(0，﹣2m)，
當m＋5＞﹣2m，即m＞﹣eq \f(5,3)時，
∵點M在線段AD上，
∴﹣2m＜﹣m＜m＋5，
∴m＞0；
當m＋5＜﹣2m，即m＜﹣eq \f(5,3)時，
∵點M在線段AD上，
∴m＋5＜﹣m＜﹣2m，
∴m＜﹣eq \f(5,2)；
綜上所述，m的取值范圍為m＞0或m＜﹣eq \f(5,2)．
(2)證明：當x2﹣2mx﹣m＝m＋5時，
整理得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，
Δ＝(﹣2m)2﹣4×1×(﹣2m﹣5)＝4(m＋1)2＋16，
∵4(m＋1)2≥0，
∴4(m＋1)2＋16＞0，
∴拋物線y＝x2﹣2mx﹣m與直線y＝m＋5恒有兩個交點．
(3)解：∵y＝x2﹣2mx﹣m＝(x﹣m)2﹣m2﹣m，
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝m，頂點坐標為(m，﹣m2﹣m)，開口向上，與y軸的交點M(0，﹣m)，
①當m＋5＜﹣2m，即m＜﹣eq \f(5,3)時，如圖1，
此時拋物線在矩形內部的函數值y隨著x的增大而增大；
②當m＋5＞﹣2m，即﹣eq \f(5,3)＜m≤0時，如圖2，
此時拋物線在矩形內部的函數值y隨著x的增大而增大；
③當m＞0時，如圖3，
令x＝4，則y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，
當16﹣9m≤﹣2m，即m≥時，拋物線在矩形內部(不包括邊界)的函數值y隨著x的增大而減??；
綜上，m的取值范圍為m＜﹣eq \f(5,3)或﹣eq \f(5,3)＜m≤0或m≥．
(4)解：由題意得：拋物線y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高點的橫坐標x的范圍是0≤x≤4，點B(4，m＋5)到x軸的距離為|m＋5|，當x＝4時，y＝16﹣9m，
∵拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的橫坐標等于點B到x軸距離的eq \f(1,2)，
∴拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的橫坐標為eq \f(1,2)|m＋5|，
①當m＜﹣5時，拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的坐標為(﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2)，﹣2m)，
∴﹣2m＝(﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2))2﹣2m(﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2))﹣m，解得：m＝﹣eq \f(17,5)±eq \f(2,5)eq \r(41)，
∵m＜﹣5，∴m＝﹣eq \f(17,5)﹣eq \f(2,5)eq \r(41)；
②當﹣5≤m＜﹣eq \f(5,3)時，拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的坐標為(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2)，﹣2m)，
∴﹣2m＝(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))2﹣2m(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))﹣m，解得：m＝﹣1±eq \f(\r(21),3)，
∵﹣5≤m＜﹣eq \f(5,3)，∴m＝﹣1﹣eq \f(\r(21),3)；
③當m＞﹣eq \f(5,3)，且16﹣9m≥m＋5，即﹣eq \f(5,3)＜m≤eq \f(11,10)時，
拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的坐標為(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2)，m＋5)，
∴m＋5＝(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))2﹣2m(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))﹣m，解得：m＝﹣3±eq \f(4\r(6),3)，
∵﹣eq \f(5,3)＜m≤eq \f(11,10)，∴m＝﹣3＋eq \f(4\r(6),3)；
綜上所述，m的值為﹣eq \f(17,5)﹣eq \f(2,5)eq \r(41)或﹣1﹣eq \f(\r(21),3)或﹣3＋eq \f(4\r(6),3)．
解：(1)將(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得0＝﹣1﹣b＋c，解得c＝b＋1，
∴y＝﹣x2＋bx＋b＋1，
設點B坐標為(x2，0)，
則拋物線對稱軸為直線x＝，解得x2＝b＋1，
∴點B坐標為(b＋1，0)，
∴OC＝OB＝b＋1，
∴∠OBC＝45°，
故答案為：b＋1，45．
(2)當b＝1時，y＝﹣x2＋x＋2，
作PE⊥x軸交BC于點E，連接PC，PB，
設直線BC解析式為y＝kx＋b，
將B(2，0)，(0，2)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣x＋2．
設點P坐標為(m，﹣m2＋m＋2)，則點E坐標為(m，﹣m＋2)，
∴PE＝﹣m2＋2m，
∵S△BCP＝S△CEP＋S△BEP＝eq \f(1,2)PExP＋eq \f(1,2)PE(xB﹣xP)＝eq \f(1,2)PExB＝﹣m2＋2m＝﹣(m﹣1)2＋1，
∴m＝1時，△BCP面積的最大為1，此時點P坐標為(1，2)．
(3)①∵y＝﹣x2＋bx＋b＋1＝﹣(x﹣)2＋＋b＋1，
∴點Q坐標為(， ＋b＋1)，
∵A(﹣1，0)，
∴點A，Q中點坐標為(﹣＋， ＋＋)，
∴＋＋＝2，解得b＝2或b＝﹣6，
當b＝2時，點Q坐標為(1，4)，
當b＝﹣6時，點Q坐標為(﹣3，4)．
②∵E(3，2)，
∴點F坐標為(0，2)，
將(0，2)代入y＝﹣x2＋bx＋b＋1得b＋1＝2，解得b＝1，
將E(3，2)代入y＝﹣x2＋bx＋b＋1得2＝﹣9＋4b＋1，解得b＝eq \f(5,2)，
∴1≤b＜eq \f(5,2)，滿足題意．
當拋物線頂點Q(， ＋b＋1)落在y軸上時，＝0，解得b＝0，
當拋物線經過原點時，0＝b＋1，解得b＝﹣1，
∴﹣1＜b≤0符合題意．
綜上所述，1≤b＜eq \f(5,2)或﹣1＜b≤0．
解：(1)把A(﹣6，0)、B(2，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴拋物線L1的函數表達式為y＝﹣x2﹣4x＋12；
(2)存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x＋12＝﹣(x＋2)2＋16，
∴拋物線L2的函數表達式為y＝﹣(x＋2﹣4)2＋16＝﹣(x﹣2)2＋16＝﹣x2＋4x＋12，
令﹣x2﹣4x＋12＝﹣x2＋4x＋12，解得：x＝0，
當x＝0時，y＝﹣x2﹣4x＋12＝12，
∴點C的坐標為(0，12)，
∵點D是點C關于x軸的對稱點，
∴點D坐標為(0，﹣12)，
①當M在x軸上方時，要使得以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的矩形，
則yM＝y(tǒng)C，即﹣x2＋4x＋12＝12，解得：x1＝0，x2＝4，
∴M1(4，12)；
②當M在x軸下方時，
要使得以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的矩形，
則yM＝y(tǒng)D，即﹣x2＋4x＋12＝﹣12，解得：x1＝2＋2eq \r(7)，x2＝2﹣2eq \r(7)，
M2(2＋2eq \r(7)，﹣12)，M3(2﹣2eq \r(7)，﹣12)．
綜上所述，在拋物線L2上是否存在點M，使得以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的矩形，點M的坐標為(4，12)或(2＋2eq \r(7)，﹣12)或(2﹣2eq \r(7)，﹣12)．
解：(1)拋物線y＝ax2＋2x＋c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B(3，0)，
∴A(﹣1，0)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3，∴C(0，3)，
設直線BC的解析式為y＝kx＋3，
將點B(3，0)代入得：0＝3k＋3，解得：k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x＋3；
設點D坐標為(t，﹣t2＋2t＋3)，則點N(t，﹣t＋3)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AN2＝(t＋1)2＋(﹣t＋3)2＝2t2﹣4t＋10，CN2＝t2＋(3＋t﹣3)2＝2t2，
①當AC＝AN時，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t＋10，解得t1＝2，t2＝0(不合題意，舍去)，
∴點N的坐標為(2，1)；
②當AC＝CN時，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，解得t1＝eq \r(5)，t2＝﹣eq \r(5) (不合題意，舍去)，
∴點N的坐標為(eq \r(5)，3﹣eq \r(5))；
③當AN＝CN時，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t＋10＝2t2，解得t＝eq \f(5,2)，
∴點N的坐標為(eq \f(5,2)，eq \f(1,2))；
綜上，存在，點N的坐標為(2，1)或(eq \r(5)，3﹣eq \r(5))或(eq \f(5,2)，eq \f(1,2))；
(3)設E(1，a)，F(xiàn)(m，n)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴BC＝3eq \r(2)，
①以BC為對角線時，BC2＝CE2＋BE2，
∴(3eq \r(2))2＝12＋(a﹣3)2＋a2＋(3﹣1)2，
解得：a＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，或a＝eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)，∴E(1，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))或(1，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴m＋1＝0＋3，n＋eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)＝0＋3或n＋eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)＝0＋3，
∴m＝2，n＝eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)或n＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，
∴點F的坐標為(2，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(2，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))；
②以BC為邊時，BE2＝CE2＋BC2或CE2＝BE2＋BC2，
∴a2＋(3﹣1)2＝12＋(a﹣3)2＋(3eq \r(2))2或12＋(a﹣3)2＝a2＋(3﹣1)2＋(3eq \r(2))2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E(1，4)或(1，﹣2)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴m＋0＝1＋3，n＋3＝0＋4或m＋3＝1＋0，n＋0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴點F的坐標為(4，1)或(﹣2，1)，
綜上所述：存在，點F的坐標為(2，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(2，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))或(4，1)或(﹣2，1)．

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