題型1 抽象函數(shù)的定義域問題
題型2 抽象函數(shù)的值域問題
題型3 求抽象函數(shù)的值
題型4 求抽象函數(shù)的解析式
題型5 抽象函數(shù)的奇偶性問題
題型6 抽象函數(shù)的單調(diào)性問題
題型7 抽象函數(shù)周期性問題
題型8抽象函數(shù)的對稱性問題
題型9 解抽象不等式
題型10 抽象函數(shù)比較大小
題型11 抽象函數(shù)的最值問題
題型12 抽象函數(shù)的零點問題
題型13 雙函數(shù)混合型
1.抽象函數(shù)概念：我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，題目中往往只給出函數(shù)的特殊條件或特征.
2.抽象函數(shù)定義域的確定
所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)。
抽象函數(shù)的定義域的求法
(1)若已知函數(shù)f (x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f (g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函數(shù)f (g(x))的定義域為[a，b]，則f (x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．
注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.
3.“賦值法”求抽象函數(shù)的值
賦值法就是根據(jù)題目的具體情況，合理、巧妙地對某些元素賦予確定的特殊值(0,1, -1等),從而使問題獲得簡捷有效的解決。
注：（1）第一層次賦值：常常令字母取0，-1,1等.
（2）第二層次賦值：若題中有條件，則再令字母取.
（3）第三層次賦值：拆分賦值，根據(jù)抽象式子運算，把賦值數(shù)拆成某兩個值對應(yīng)的和與積（較多）或者差與商（較少）.
4.“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式
賦值法求抽象函數(shù)的解析式，首先要對題 設(shè)中的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行賦值，再得到函數(shù)解析式的某種遞推關(guān)系，最后求得函數(shù)的解析式。
5.“賦值法”探究抽象函數(shù)的奇偶性
判斷抽象函數(shù)的奇偶性的關(guān)鍵是得到與的關(guān)系，解題時要對有關(guān)變量進(jìn)行賦值，使其最后只保留與的關(guān)系。
注：證明抽象函數(shù)的奇偶性實質(zhì)就是賦值，分析出賦值規(guī)律.
（1）可賦值，得到一些特殊點函數(shù)值，如f（0），f（1）等，
（2）嘗試適當(dāng)?shù)膿Q元字母，構(gòu)造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。
（3）通過各類抽象函數(shù)式子，來積累一定的賦值技巧。
6.判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：
（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論；
（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時可能要進(jìn)行多次嘗試．
= 1 \* GB3 ①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號時要變形為：
或；
= 2 \* GB3 ②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號時要變形為：
或．
7.抽象函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）
1、若，則；
2、若，則；
3、若，則；
4、若，則；
5、若，則；注：；（為常數(shù)）
6、若，則（）；
8.抽象函數(shù)的對稱性
（1）軸對稱：
①函數(shù)關(guān)于直線對稱
②函數(shù)關(guān)于直線對稱.
（2）中心對稱：
①函數(shù)關(guān)于點對稱；
②函數(shù)關(guān)于點對稱
9.函數(shù)的奇偶性和對稱性的關(guān)系：
（1）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對稱；
（2）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱；
（3）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對稱；
（4）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱.
10.抽象單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題
①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有
；
在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有
；
②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；
在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（變號加絕對值）；
③關(guān)于對稱，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有
；
關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有
；
④關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；
關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；
11.抽象函數(shù)的模型
【反比例函數(shù)模型】
反比例函數(shù)：，則，
【一次函數(shù)模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則為奇函數(shù)；
模型3：若則；
模型4：若則；
【指數(shù)函數(shù)模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則；
模型3：若，則；
模型4：若，則；
【對數(shù)函數(shù)模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
模型3：若，則
模型4：若，則
模型5：若，則
【冪函數(shù)模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
代入則可化簡為冪函數(shù)；
【余弦函數(shù)模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
【正切函數(shù)模型】
模型：若，則
模型3：若，則
題型1 抽象函數(shù)的定義域問題
【例1】已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
【詳解】因為函數(shù)的定義域是，
所以，解得，
故函數(shù)的定義域是．
故選：A.
【變式1】已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的對應(yīng)特征分析求解.
【詳解】對于函數(shù)：因為，則，
所以的定義域為.
故選：B.
【變式2】已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【分析】可根據(jù)相同對應(yīng)關(guān)系括號內(nèi)取值范圍一樣解出結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，
所以，
又因為函數(shù)，
所以，即或，
故答案為：
【變式3】已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意列出滿足的不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，
則需滿足，解得，
即的定義域為，
故答案為：
【變式4】函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法可得的定義域為，結(jié)合根式和分母要求即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域為，可知，
即的定義域為，
所以需滿足，解得，
即的定義域為.
故選：D
【變式5】若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【分析】應(yīng)用求解抽象函數(shù)的定義域的方法求出的定義域，和的解集，即可求解.
【詳解】由題意得函數(shù)fx的定義域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
題型2 抽象函數(shù)的值域問題
【例2】已知函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知求得的范圍，即可得到的范圍.
【詳解】因為函數(shù)的值域為，即，
所以，
所以，即函數(shù)的值域為.
故選：A
【變式1】已知，且的定義域為，值域為，設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可推得的定義域與值域，然后即可得出，根據(jù)交集的運算得出答案.
【詳解】由已知的定義域為，值域為，
可得的定義域為，值域為，
所以，
所以，所以，.
所以，.
故選:C.
【變式2】已知函數(shù)的定義域是，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合題意逐個選項驗證可得答案.
【詳解】對于A，由可得，，故A錯誤；
對于B，，的圖象可看作由的圖象經(jīng)過平移和橫向伸縮變換得到，故值域不變，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：B.
【變式3】【多選】已知函數(shù)的定義域和值域均為，則（ ）
A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的定義域為
C．函數(shù)的值域為D．函數(shù)的值域為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域列不等式求解判斷AB；求出抽象函數(shù)的值域判斷CD.
【詳解】函數(shù)中的x需滿足，解得，
故函數(shù)的定義域為，故A正確；
函數(shù)中的x需滿足解得，
故函數(shù)的定義域為，故B正確；
函數(shù)和的值域都為，故C正確，D錯誤．
故選：ABC．
題型3 求抽象函數(shù)的值
【例3】已知函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分別令、和，運算求解即可.
【詳解】因為，
令，可得；
令，可得；
兩式相加可得，
令，可得；
則，即.
故選：D.
【變式1】函數(shù)的定義域為，若，，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以令，得，得，
所以令，得，得.故選：C
【變式2】已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，可得，
當(dāng)時，，可得，
函數(shù)是定義在上且不恒為零的函數(shù)，
令，可得，則函數(shù)是奇函數(shù)，
令，,
得，所以，
所以.故選：.
【變式3】已知函數(shù)滿足，若，則（ ）
A．25B．125C．625D．15625
【答案】C
【分析】利用賦值法結(jié)合條件可得進(jìn)而即得；或構(gòu)造函數(shù)求解.
【詳解】解法一：由題意取，可得
即知則.
解法二：令，則
，
所以，
即，所以，則.
解法三：由可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，
可以快速得到.
故選：C.
【變式4】【多選】已知函數(shù)的定義域為，且，則（ ）
A．
B．
C．是奇函數(shù)
D．是偶函數(shù)
【答案】ABD
【分析】根據(jù)已知的抽象函數(shù)性質(zhì)，賦值（式）法求解即可.
【詳解】令，則，即. A正確.
令，則.
令，則，則.
故. B正確.
是非奇非偶函數(shù). C不正確.
是偶函數(shù). D正確.
故選：ABD.
題型4 求抽象函數(shù)的解析式
【例4】已知函數(shù)滿足：對一切實數(shù)、，均有成立，且.求函數(shù)的表達(dá)式.
【答案】.
【分析】根據(jù)所給關(guān)系對于合理賦值后求出，再令可得解.
【詳解】由已知等式，
令，，得．
又，所以．
再令，可得，即．
因此，函數(shù)的表達(dá)式為．
【變式1】已知函數(shù)滿足，則的解析式可以是 .（寫出滿足條件的一個解析式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用待定系數(shù)法求解即可，若設(shè)，然后代入化簡求出即可.
【詳解】若設(shè)，則由，
得，解得，
所以，
故答案為：（答案不唯一）
【變式2】設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對于任意的實數(shù)都有，求.
【答案】
【分析】利用賦值法可求的解析式.
【詳解】由已知條件得，又，
設(shè)，則，∴.
【變式3】已知定義在上的函數(shù)滿足，，，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用賦值法求及，然后利用單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】令，得.
令，得，解得，
則不等式轉(zhuǎn)化為，
因為是增函數(shù)，且，
所以不等式的解集為.
故選：A
題型5 抽象函數(shù)的奇偶性問題
【例5】【多選】已知函數(shù)對任意恒有，且，則（ ）
A．B．可能是偶函數(shù)
C．D．可能是奇函數(shù)
【答案】AB
【分析】根據(jù)條件，通過賦值法，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】對于選項A，令，得，則，所以選項A正確；
令，得，則，
對于選項B，若是偶函數(shù)，則，所以選項B正確；
對于選項D，若是奇函數(shù)，則，所以不可能是奇函數(shù)，所以選項D錯誤；
對于選項C，令，得，所以選項C錯誤；
故選：AB.
【變式1】【多選】已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，A正確；
由為偶函數(shù)，得，即，B正確；
由為奇函數(shù)，得，
所以，即，C錯誤．
由上可知，則，則，
所以，D正確．故選：ABD
【變式2】定義在上的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，滿足，且，.
(1)求，；
(2)判斷的奇偶性，并證明；
【答案】(1)，；(2)奇函數(shù)，證明見解析；
【解析】（1）取，得，即，
所以，因為，
又，得，可得；
（2）因為函數(shù)是定義在上的函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，
取，得，移項得，
所以函數(shù)是奇函數(shù).
【變式3】已知定義在上的函數(shù)滿足，，且.
(1)求的值；
(2)判斷的奇偶性，并證明.
【答案】(1)；(2)為偶函數(shù)，證明見解析
【解析】（1）令，得，
令，得，
因為，所以，，
令，得，即，
因為，所以，所以.
（2）為偶函數(shù).
證明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定義域為，所以為偶函數(shù).
【變式4】【多選】已知函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．是偶函數(shù)D．是奇函數(shù)
【答案】AC
【分析】利用賦值法求得，，可判斷各選項的正誤。
【詳解】令，則，
令，則，解得或，
若，則恒成立，不合題意，故，A選項正確；
，則,，B選項錯誤；
函數(shù)，定義域為R，，
為偶函數(shù)，C正確，D錯誤.
故選：AC
【變式5】已知函數(shù)的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y，都有，，則（ ）
A．B．C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】令，則，，，選項A錯誤；
令，，則，即，則，選項B錯誤；
，不是奇函數(shù)，選項C錯誤；
令，則，即，故，為偶函數(shù)，選項D正確；
故選：D．
題型6 抽象函數(shù)的單調(diào)性問題
【例6】已知函數(shù)的定義域為R，且對任意的均有，且對任意的，都有，試判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性.
【答案】在定義域上單調(diào)遞增
【解析】令，則，解得，
令，則，
所以，故在R上是奇函數(shù).
任取，且，令，則，
因為在R上是奇函數(shù)，所以，
所以，因為當(dāng)時，，
由，所以，所以，
所以，即，
所以在定義域上單調(diào)遞增.
【變式1】已知定義域為R，對任意都有，且當(dāng)時，.試判斷的單調(diào)性，并證明；
【答案】在上為減函數(shù)，證明見解析
【解析】任取，且，
因為，，
所以，故，
因為，所以，又因為當(dāng)時，，所以，
所以，所以，即，所以在上為減函數(shù).
【變式2】已知fx是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)， .
(1)若，求，的值.
(2)若x>0時恒有，試判斷函數(shù)fx單調(diào)性，并說明理由.
【答案】(1)，.
(2)fx為上的減函數(shù)，理由見解析.
【分析】（1）取，可得，取x=0，，解得，取，解得，即可得出答案.
（2）由題意可知，設(shè)，令，則，作差，進(jìn)而可得答案.
【詳解】解：（1）取，則，，
取，則，，
取，解得,則，
取，則，解得，
（2）由題意可知，
設(shè)，令，則，
所以，
所以，
所以函數(shù)在R上為減函數(shù).
【變式3】已知函數(shù)的定義域為R，且對任意，都有，且當(dāng)時，恒成立．
(1)判定并證明函數(shù)在R上的單調(diào)性；
(2)討論函數(shù)的奇偶性；
(3)若，求x的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析
(2)奇函數(shù)，理由見解析
(3)或
【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）賦值法得到，進(jìn)而賦值得到，得到答案；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，得到答案.
【詳解】（1）在R上單調(diào)遞減，理由如下：
任取，且，
因為，所以，
令，
則，
因為當(dāng)時，恒成立，
又，所以，
所以，，
所以在R上單調(diào)遞減；
（2）令，則，解得，
令，因為，
故，所以，
所以是奇函數(shù)；
（3）因為，
所以，
因為是奇函數(shù)，所以，
因為是R上的減函數(shù)，所以，
解得或，所以不等式的解集為或.
【變式4】函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當(dāng)時，.
(1)判斷的奇偶性；
(2)求證：是上的減函數(shù)；
(3)若，解關(guān)于的不等式.
【答案】(1)奇函數(shù)
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用特殊值法、奇偶性的定義分析運算即可得解.
（2）根據(jù)題設(shè)條件，利用單調(diào)性的定義分析運算即可得證；
（3）根據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分類討論法運算即可得解.
【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)對任意實數(shù)恒有，
令得，解得：.
取，則由得，
∴，即，
∴函數(shù)是奇函數(shù).
（2）證明：任取，且，則，
∵當(dāng)時，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的減函數(shù).
（3）解：由得，
由得，
則，
∴不等式可化為，
∵是上的減函數(shù)，
∴，即………①.
（i）當(dāng)時，不等式①式即為，解得：，即原不等式解集為；
（ii）當(dāng)時，不等式①式化為，即，
若，上式不等式即為，解得：，即原不等式解集為；
若，則，原不等式解集為；
若，則，原不等式解集為；
（iii）當(dāng)時，不等式①式化為，即，
∵此時，∴原不等式解集為；
綜上，當(dāng)時，原不等式解集為；
當(dāng)時，原不等式解集為；
當(dāng)時，原不等式解集為；
當(dāng)時，原不等式解集為；
當(dāng)時，原不等式解集為.
【點睛】方法點睛：
1.解一元二次不等式的一般步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形式；（2）確定判別式的符號，若，則求出該不等式對應(yīng)的一元二次方程的根；若，則該不等式對應(yīng)的一元二次方程無根；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集，特別地，若一元二次不等式左邊的二次三項式能分解因式，則可直接寫出不等式的解集.
2.含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，首先需要對二次項系數(shù)討論，再比較相應(yīng)方程的根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.
題型7 抽象函數(shù)周期性問題
【例7】已知是上的奇函數(shù)且，當(dāng)時，，則（ ）
A．-2B．2C．0D．2023
【答案】B
【解析】,則，則函數(shù)的周期，
則，
又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以.故選：B.
【變式1】若函數(shù)對任意都有，且當(dāng)時，，則（ ）
A．B．8C．D．12
【答案】A
【解析】因為，所以，所以周期為6，
當(dāng)時，，.故選：A.
【變式2】
已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】C
【解析】因為，由，
令，則，
即，得，
兩式相加得，則有，即，
則有，所以函數(shù)的一個周期為6，
令，則，得，
令，則，得，
又，得，，
，，
所以，
由周期性得.故選：C
題型8抽象函數(shù)的對稱性問題
【例8】已知奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且，則的值為（ ）
A．3B．0C．-3D．
【答案】C
【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得，
再結(jié)合為奇函數(shù)，可得，
求得，故選：C.
【變式1】已知是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，，則（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】B
【解析】由已知可得，.
因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，.
又的圖象關(guān)于點對稱，所以，.故選：B.
【變式2】【多選】已知定義在R上的函數(shù)與滿足，且，若為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．的圖象關(guān)于原點對稱
【答案】ABC
【解析】因為為偶函數(shù)，得，故的圖象關(guān)于對稱，
故，故A正確；
由得，，代入中，
得①，令，得，故B正確；
因為為偶函數(shù)，故，
故由得，，
則，故②，
聯(lián)立①②，可得，故為圖象的一條對稱軸，故C正確；
而，故的圖象關(guān)于y軸對稱，故D錯誤，故選：ABC．
【變式3】【多選】已知定義在R上的函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則下列結(jié)論成立的是（ ）．
A．是奇函數(shù)B．
C．D．
【答案】CD
【解析】由題得函數(shù)圖像上的點關(guān)于點的對稱點也在函數(shù)圖像上，
所以，
對于A：函數(shù)的圖像由函數(shù)的圖像向右平移一個單位得到，
則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，不能得到函數(shù)為奇函數(shù)，所以A選項錯誤；
對于B：由，令，則有，故B選項錯誤；
對于C：由，令，則有，故C選項正確；
對于D：由，令，則有，∴，故D選項正確．
故選：CD．
【變式4】【多選】設(shè)函數(shù)滿足：對任意實數(shù)、都有,且當(dāng)時，.設(shè).則下列命題正確的是（ ）
A．B．函數(shù)有對稱中心
C．函數(shù)為奇函數(shù)D．函數(shù)為減函數(shù)
【答案】ABC
【分析】令，可得，再令，判斷選項A；令，即可判斷選項B；由，判斷選項C；令,利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行判斷選項D.
【詳解】由對于任意實數(shù)， ，
令，則，即,
再令,則，
即，故A正確;
令，則，即，故B正確；
由，則，即是奇函數(shù)，故C正確；
對于任意,則，當(dāng)時，，則，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：ABC
【變式5】定義在上的函數(shù)滿足，，為奇函數(shù)，有下列結(jié)論：
①直線為曲線的對稱軸；②點為曲線的對稱中心；③函數(shù)是周期函數(shù)；④；⑤函數(shù)是偶函數(shù).
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)可得函數(shù)對稱軸，可判斷①；根據(jù)可得函數(shù)周期，可判斷③；根據(jù)，結(jié)合對稱軸和周期可得對稱中心，可判斷②；根據(jù)周期性和對稱性求出，進(jìn)而可得判斷④；根據(jù)周期性和對稱中心可得奇偶性判斷⑤.
【詳解】由知直線為曲線的對稱軸，①正確；
因為，所以
所以是周期為4的周期函數(shù)，③正確；
由為奇函數(shù)有，令得，則的圖象關(guān)于點對稱，
又直線為曲線的對稱軸，以是周期為4的周期函數(shù)
則的對稱中心為，②錯誤；
令，則，所以，在中，令，則.
于是，，，，則，所以，④正確；
因為的圖象關(guān)于點對稱，因為周期為4，
所以，所以為奇函數(shù)，⑤錯誤.
故選：C.
題型9 解抽象不等式
【例9】設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通過分析函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，即可得出不等式的解集.
【詳解】由題意，
在中，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，
∴，函數(shù)在單調(diào)遞減，
∵，
∴當(dāng)和時，，
故選：B.
【變式1】函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】因為為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，且，可得，
則不等式，等價于，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【變式2】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知：在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
對于不等式，且，即，
可得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C.
【變式3】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且圖象過原點，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)向右平移1個單位得到函數(shù)，
由題意可知，函數(shù)關(guān)于直線對稱，函數(shù)的定義域為，
因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，
且，根據(jù)對稱性可知，，在區(qū)間，
在區(qū)間，，
上圖是滿足函數(shù)性質(zhì)的圖象，
不等式，等價于或，
即或，得或，
所以不等式的解集為.故選：C
【變式4】已知定義在上的函數(shù)，對，滿足，，且對都有，則關(guān)于a的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】取，則，即，
故在上單調(diào)遞減，
，解得，
從而，即，
則，解得
所以原不等式的解集是．故選：D.
【變式5】已知是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，如果滿足，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，則，則，
由可得：，
因為是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，
所以，解得：.
則的取值范圍為:.
故答案為：.
【變式6】定義在上的函數(shù)滿足，且不恒為0.
(1)求和的值；
(2)若在上單調(diào)遞減，求不等式的解集.
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）令，
所以，故，
令，所以，所以.
（2）令，因為，所以，故，
所以是偶函數(shù)，
由，，則，
又是偶函數(shù)，所以上式可轉(zhuǎn)化為，
又在上單調(diào)遞減，
所以上式可轉(zhuǎn)化為，解得或.
故不等式的解集為.
【變式7】已知是偶函數(shù)，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題意可得或的解集，再分和兩種情況求不等式的解集.
【詳解】由題意可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，則，由已知可得，解得，又，所以；
當(dāng)時，，則，
由已知可得或，解得或，又，所以.
綜上，可得不等式的解集為.
故選：A
題型10 抽象函數(shù)比較大小
【例10】已知函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，得到對稱軸為，然后求解，進(jìn)而利用在上單調(diào)遞減，比較大小，判斷選項.
【詳解】由，得到對稱軸為，則，
而，又在上單調(diào)遞減，
則，得.
故選：D
【變式1】已知偶函數(shù)的定義域為，對任意的滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由求出對稱軸，再結(jié)合奇偶性求出的周期；求出，的范圍以及的值，得出的關(guān)系式，再利用在上的單調(diào)性，即可得出答案.
【詳解】因為，
所以關(guān)于對稱，
又因為為偶函數(shù)，
所以，
所以為周期函數(shù)，，
因為，且，
所以，，
因為，
所以
又因為，
所以，
因為在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
故選：D.
題型11 抽象函數(shù)的最值問題
【例11】已知函數(shù)的定義域為，對于任意的，，都有，當(dāng)時，都有，且，當(dāng)時，則的最大值是（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】找到函數(shù)值特殊的點，得到部分特殊函數(shù)值，利用給定的抽象函數(shù)定義求出端點值后，判斷函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值即可.
【詳解】令，則，且
故，，故
且令，，可得
設(shè)，則，
則，故在上單調(diào)遞增
的最大值是
故選：A
【變式1】已知函數(shù)的定義域為R，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．有最小值D．在上單調(diào)遞增
【答案】C
【分析】利用題設(shè)結(jié)合賦值法可得出，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)一一判斷各選項，即可得答案.
【詳解】由于函數(shù)的定義域為R，且，
令，則，得，
時，恒成立，無法確定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定為偶函數(shù)，B不確定；
由于的對稱軸為與的位置關(guān)系不確定，
故在上不一定單調(diào)遞增，D也不確定，
由于表示開口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，
故選：C
題型12 抽象函數(shù)的零點問題
【例12】若為上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和是（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】A
【分析】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與在區(qū)間上的交點橫坐標(biāo)即為的零點，根據(jù)對稱性即可求零點之和.
【詳解】若為上的偶函數(shù)，則，且，
則的周期，
當(dāng)時，，
則當(dāng)時，，即可畫出函數(shù)的圖象；
函數(shù)周期是2，最大值為3，把函數(shù)在下方圖象翻折到軸上方。
與在區(qū)間上一共有10個交點，
且這10個交點的橫坐標(biāo)關(guān)于直線對稱，
所以在區(qū)間的的有零點的和是20.
故選：A
【變式1】定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（ ）
A．28B．16C．20D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)條件可得出的圖象關(guān)于對稱，的周期為4，從而可考慮的一個周期，利用，根據(jù)在上是減函數(shù)，可得出在上是增函數(shù)，又是R上的奇函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，然后根據(jù)在上有實數(shù)根，可判斷該實數(shù)根是唯一的，并可判斷在一個周期內(nèi)有兩個實數(shù)根，并得這兩實數(shù)根和為2，從而得出在區(qū)間這三個周期內(nèi)上有4個實數(shù)根，和為28.
【詳解】由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
∵，是R上的奇函數(shù)，
∴，
∴，
∴的周期為4，
考慮的一個周期，例如，
由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
對于奇函數(shù)有，，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因為方程在上有實數(shù)根，
函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則這實數(shù)根是唯一的，
所以方程在上有唯一的實數(shù)根，
則由于，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
故方程在上有唯一實數(shù)根，
因為在和上，
則方程在和上沒有實數(shù)根，
從而方程在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，
當(dāng)，方程的兩實數(shù)根之和為，
當(dāng)，方程的所有4個實數(shù)根之和為
.
故選：A.
題型13 雙函數(shù)混合型
【例13】已知是定義域為的偶函數(shù)，，，若是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，得到關(guān)于對稱，即，結(jié)合和為偶函數(shù)即可得到周期為4，故可求出，則即可.
【詳解】因為是偶函數(shù)，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
即，
即，
所以.
所以關(guān)于點中心對稱.
又是定義域為的偶函數(shù)，
所以，
所以，
即，
所以函數(shù)的周期為4.
所以，
所以.
故選：D.
【變式1】已知函數(shù)的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出的周期為4，最后再計算出一個周期內(nèi)的各值即可.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以有，
又因為為偶函數(shù)，所以，
于是有，
所以函數(shù)的周期為4，因為，
所以，
所以，
于是，
故選：B.

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