題型1 函數(shù)奇偶性的定義及判斷
題型2 利用奇偶性求值
題型3 已知f（x）=奇函數(shù)+M
題型4 利用奇偶性求解析式
題型5 由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
題型6 利用函數(shù)的奇偶性求最值
題型7 應(yīng)用函數(shù)的奇偶性畫函數(shù)圖象
題型8 利用函數(shù)的奇偶性識(shí)別圖象
題型9 抽象函數(shù)的奇偶性問題
題型10 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用
題型11 函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用
題型12 奇偶性與對(duì)稱性的綜合運(yùn)用
題型13 基于奇偶(對(duì)稱性)的凸凹反轉(zhuǎn)
1、函數(shù)的奇偶性
注：
①奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(－x)＝－f(x)
②偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱f(－x)＝f(x)
③對(duì)于含參函數(shù)中參數(shù)的求值問題，在填空題與選擇題中，掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來方便：
(i)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.
④奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反．(重要）
⑤利用性質(zhì)法來判斷奇偶性（以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為前提，所有奇偶函數(shù)都非零函數(shù)）：
奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；（3）偶函數(shù)奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù)
記憶口訣：加減看自身
（3）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；（5）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)
（7）
記憶口訣：乘除看正負(fù)
（注：在記憶的時(shí)候可將偶函數(shù)看成“+”號(hào)，將奇函數(shù)看成“-”號(hào)）
⑥奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變；
⑦奇(偶)函數(shù)的絕對(duì)值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．
⑧若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．
⑨復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．
2、奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）
①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).
②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).
③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).
注：奇、偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用
①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；
②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).
3、函數(shù)奇偶性的判斷
（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等．
（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．
（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱．
（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．
（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷
判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．
4、與函數(shù)奇偶性有關(guān)的常見問題及解題策略
（1）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
利用奇偶性的定義求函數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解．
注：已知奇函數(shù)+M，，則
（1）
（2）
（2）已知函數(shù)的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．
（3）已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值
①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程.
②一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任一個(gè)值，利用f(-x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值.
（4）應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷函數(shù)單調(diào)性
①如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．
②根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：
奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”．偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)．
（5）利用函數(shù)的奇偶性求最值
①奇函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則
②偶函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則函數(shù)是定義在區(qū)間上的最值等于函數(shù)在區(qū)間（或）上的最值。
（6）奇偶性與對(duì)稱性的綜合運(yùn)用在函數(shù)性質(zhì)探討中至關(guān)重要。技巧與方法包括：
定義法：直接利用奇偶性定義及對(duì)稱性定義來判斷。
圖象法：通過繪制函數(shù)圖像，觀察圖像是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱來判斷奇偶性和對(duì)稱性。
性質(zhì)法：利用奇偶性、對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函數(shù)圖像的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性質(zhì)。
結(jié)合法：在解題時(shí)，常將奇偶性與單調(diào)性、周期性結(jié)合使用，通過性質(zhì)轉(zhuǎn)換和變量替換簡(jiǎn)化問題。
5、常見函數(shù)的奇偶性及增減性
（1）冪函數(shù)= 非零常數(shù)可看成偶函數(shù)
（2） 是偶函數(shù)
（如偶 先減后增 偶 先減后增）
（3） 是奇函數(shù)（或）
（如奇 增 奇 增）
（4） 是奇函數(shù)
（5）是奇函數(shù)
（如奇 減 奇 減
奇 增 奇 增）
（6） 是奇函數(shù)
（7） 是奇函數(shù)
（如奇 增 奇 減 偶 增）
（8）與（）都是奇函數(shù)
（如：奇 增 奇 增 ）
偶函數(shù)值域 還是偶函數(shù) 單調(diào)性與內(nèi)層偶函數(shù)相同
（如 偶函數(shù) 先減后增 偶函數(shù) 先減后增
偶函數(shù) 先增后減 偶函數(shù) 先減后增
奇函數(shù) 增函數(shù) 奇函數(shù) 增函數(shù)）
（10）與都是偶函數(shù)
（11）是奇函數(shù)；是偶函數(shù)；是奇函數(shù)
（12）為偶函數(shù)；是奇函數(shù)。
題型1 函數(shù)奇偶性的定義及判斷
【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
∴為偶函數(shù)．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
又f?x=?fx，f?x=fx，
∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴是非奇非偶函數(shù)．
（4）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>∵，都有，
且，
∴是奇函數(shù)．
【變式1】下列函數(shù)中的奇函數(shù)是（ ）
A．y=3x2B．y=πx3?5xC．y=|x|D．y=x(x?1)x?1
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，即可求解.
【解析】對(duì)于A中，函數(shù)fx=3x2的定義域?yàn)镽，且f?x=3(?x)2=3x2=fx，
所以函數(shù)fx=3x2為偶函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于B中，函數(shù)fx=πx3?5x的定義域?yàn)镽，
且f?x=π(?x)3?5(?x)=?(πx3?5x)=?fx，所以函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；
對(duì)于B中，函數(shù)fx=|x|的定義域?yàn)镽，且f?x=|?x|=|x|=fx，
所以函數(shù)fx=|x|為偶函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于B中，函數(shù)fx=x(x?1)x?1=x(x≠1)，所以函數(shù)fx=x(x?1)x?1為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意.
故選：B.
【變式2】函數(shù)的奇偶性為
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．即奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)
【答案】A
【解析】按照判定函數(shù)奇偶性的步驟，先求函數(shù)的定義域，并判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求，與對(duì)比，即可得出結(jié)論.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>，
所以是奇函數(shù).
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判定，不要忘記定義域滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.
【變式3】若函數(shù)，則以下函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)，一是定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二是滿足，然后分別檢驗(yàn)各個(gè)函數(shù)即可. 對(duì)選項(xiàng)，均滿足；對(duì)選項(xiàng)，不滿足；對(duì)選項(xiàng)和，均不滿足定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，且滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)正確；
對(duì)選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，但不滿足，函數(shù)不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，故不是奇函?shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，故不是奇函?shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：
【變式4】【多選】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)；故A是偶函數(shù)；
令，則，所以是偶函數(shù)，故B是偶函數(shù)；
令，則，所以是偶函數(shù)，故C是偶函數(shù)；
令，則，所以是奇函數(shù)，故D是奇函數(shù)．
故選：ABC.
【變式5】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義逐一判斷即可.
【詳解】A：設(shè)，顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以該函數(shù)是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)該函數(shù)是增函數(shù)，
又因?yàn)樵摵瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
因此本選項(xiàng)函數(shù)符合題意；
B：設(shè)，該函數(shù)是定義域?yàn)槿w非零實(shí)數(shù)集，
因?yàn)椋栽摵瘮?shù)一定不是增函數(shù)，
因此本選項(xiàng)函數(shù)不符合題意；
C：該函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)不是奇函數(shù)，
因此本選項(xiàng)函數(shù)不符合題意；
D：設(shè)，該函數(shù)是定義域?yàn)槿w非零實(shí)數(shù)集，
因?yàn)?，所以該函?shù)一定不是增函數(shù)，
因此本選項(xiàng)函數(shù)不符合題意，
故選：A
【變式6】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間0,+∞上是減函數(shù)的是（ ）
A．y=xB．y=x3C．y=x2D．y=?3x
【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)fx=x，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，f?x=?x=fx，
所以，函數(shù)y=x為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，y=x，即函數(shù)y=x在0,+∞上是增函數(shù)，A不滿足要求；
對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)y=x3為奇函數(shù)，且該函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，B不滿足要求；
對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=x2為偶函數(shù)，且該函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，C不滿足要求；
對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y=?3x為奇函數(shù)，且該函數(shù)在0,+∞上為減函數(shù)，D滿足要求.
故選：D.
【變式7】函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
【答案】C
【分析】依次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷求解即可.
【詳解】令，則,且，
既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；
令，則,且，
是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯(cuò)誤；
故選：C
題型2 利用奇偶性求值
【例2】已知fx為R上奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2+2x，則f?2=（ ）
A．8B．?8C．0D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：因?yàn)閒x為R上奇函數(shù)，
所以f?x=?fx，
又因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，fx=x2+2x，
所以f?2=?f(2)=?(22+2×2)=?8.
故選：B.
【變式1】已知函數(shù)fx是定義城為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，fx=3x2+2x+2，則f32的值為（ ）.
A．474B．?474C．234D．?234
【答案】D
【分析】由f32=?f?32即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義城為R的奇函數(shù)，
f32=?f?32=?3?322+2?32+2=?234
故選：D
【變式2】設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 .
【答案】
【解析】是奇函數(shù)，則，即時(shí)，，所以，從而．
故答案為：．
【變式3】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ．
【答案】
【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，由此可求，再由，結(jié)合所給解析式求.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，
所以， ，
又當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以,
故答案為：.
題型3 已知f（x）=奇函數(shù)+M
【例3】已知函數(shù)，其中，且，則 ．
【答案】
【解析】，得
構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)镽．
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，所以，從而，
又，因此.
故答案為：．
【變式1】已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求值.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，，即是奇函數(shù)，
所以，則.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)的判斷與應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.
【變式2】已知函數(shù)f(x)=ax5+bx3+cx?4，f(10)=6，則f(?10)= .
【答案】?14
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值.
【詳解】設(shè)g(x)=ax5+bx3+cx，則f(x)=gx?4，且g(x)為奇函數(shù)，即g(?x)=?g(x).
又f(10)=g10?4=6 ? g10=10；
所以g?10=?g10=?10，
所以f(?10)=g?10?4=?10?4=?14.
故答案為：?14
【變式3】已知函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，且，，則的值為（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】代入，和，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，兩式相加求值.
【詳解】,①,
和 都是奇函數(shù)，

即 ②
①+②可得
.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)求值，屬于基礎(chǔ)題型.
題型4 利用奇偶性求解析式
【例4】已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3，
所以x0時(shí)，fx的解析式為（ ）
A．fx=?x2+xB．fx=?x2?x
C．fx=x2?xD．fx=x2+x
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得正確答案.
【解析】fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
當(dāng)x>0時(shí)，?x

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