若當(dāng) f ′(x0) = 0 時(shí)：（1）如果在 x0 附近的左側(cè)f ′(x) > 0 ，右側(cè) f ′(x)< 0 ，那么 f (x0) 是極大值；（2）如果在 x0 附近的左側(cè) f ′(x)< 0 ，右側(cè) f ′(x) > 0 ，那么 f (x0) 是極小值.
函數(shù)的極值第一充分條件
【例1】若函數(shù)f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1處有極值10，則a－b=（????）A．6B．－15C．－6或15D．6或－15
若當(dāng) f ′(x0) = 0 時(shí)：（1）如果在 x0 附近的左側(cè)f ′(x) > 0 ，右側(cè) f ′(x)< 0 ，那么 f (x0) 是極大值；
（2）如果在 x0 附近的左側(cè) f ′(x)< 0 ，右側(cè) f ′(x) > 0 ，那么 f (x0) 是極小值.
y= f (x) 的圖象上凸f (x) 是凸函數(shù)f ′′ (x) 0
f ′′ (x0) 0
函數(shù)的極值第二充分條件
已知函數(shù)y=f?(x)在x0處二階可導(dǎo)．若存在 x0∈[a,b],使得f?′(x0)=0，且f?′′(x0)≠0，則若f?′′(x0)?< 0，則y=f?(x)?在 x0處取得極大值若f?′′(x0)?>?0，則y=f?(x)?在 x0處取得極小值
注：f?′′(x0)=0時(shí),函數(shù)y=f?(x)在 x0處的極值應(yīng)用第一充分條件處理或者高階導(dǎo)數(shù)處理。
函數(shù)的極值第三充分條件
已知函數(shù)y=f?(x)在x0處存在n階導(dǎo)數(shù)．若存在 x0∈[a,b],使得f?′(x0)=f?′′(x0)=f?′′′(x0)=……=f?(n-1)(x0)=0，且f (n)(x0)≠0，則如果n為奇數(shù)，x0不是極值點(diǎn)如果n為偶數(shù)，x0是極值點(diǎn)。且當(dāng)f?(n)(x0)?< 0，則y=f?(x)?在 x0處取得極大值，當(dāng)f?(n)(x0)?>?0，則y=f?(x)?在 x0處取得極小值
【例2】（2021年全國(guó)乙卷）設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x－a)2(x－b)的極大值點(diǎn)，則（ ???）A．a(chǎn)

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