知識(shí)點(diǎn)1 勾股定理在生活中的應(yīng)用1. 如圖，原來(lái)從 A 村到 B 村，需要沿路 A → C → B (∠ C ＝ 90°)繞過(guò)兩地間的一片湖，現(xiàn)在在 A ， B 間建好橋后， 就可直接從 A 村到 B 村.若 AC ＝5 km， BC ＝12 km，那 么，建好橋后從 A 村到 B 村比原來(lái)減少的路程為(　B　)
2. 炎炎夏日，清涼解暑的飲品深受大家歡迎，如圖是一個(gè)裝 飲品的圓柱形的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為5 cm，高為12 cm，有一支15 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為(　B　)
3. 某小區(qū)入口上方 A 處裝有紅外線激光測(cè)溫儀(如圖)，測(cè)溫儀離地面的距離 AB ＝2.4米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并顯示人體體溫.當(dāng)身高為1.8米的居民 CD 正對(duì)門緩慢走到離門0.8米的地方時(shí)(即 BC ＝0.8米)，測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則居民頭頂離測(cè)溫儀的距離 AD 為多少米.
解： 過(guò)點(diǎn) D 作 DE ⊥ AB 于點(diǎn) E ，則易得 BE ＝ CD ＝1.8米， ED ＝ BC ＝0.8米.因?yàn)?AB ＝2.4米，所以 AE ＝ AB － BE ＝0.6米.所以在Rt△ ADE 中，易得 AD ＝1米.
知識(shí)點(diǎn)2 勾股定理逆定理的應(yīng)用4. 【2024西安月考新視角·結(jié)論開放題】據(jù)說(shuō)古埃及人曾用 下面的方法得到直角.如圖①，他們用13個(gè)結(jié)把一根繩子 分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第 13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩 子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角在第4個(gè)結(jié)處.仿照上面的方法，你能否只用繩子，在圖②中設(shè)計(jì)一種不同于①的直角三角形(只需畫出示意圖).
解： (答案不唯一)如圖，△ ABC 即為所求.
知識(shí)點(diǎn)3 立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題5. 【情境題 體育運(yùn)動(dòng)】攀巖是一項(xiàng)在天然巖壁或人工巖 壁上進(jìn)行的向上攀爬的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目(如圖①).如圖②，攀 巖墻近似地看作一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，小天根據(jù)學(xué) 過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出從點(diǎn) A 攀爬到點(diǎn) B 的最短 路程為 米.
7. 【新趨勢(shì) 跨學(xué)科】有詩(shī)曰：“平地秋千未起，踏板一尺 離地.送行二步與人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭(zhēng)蹴，終 朝笑語(yǔ)歡嬉.良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”(注：一 步等于五尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離 地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就 和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”其示意圖如圖所示，則繩索長(zhǎng)為(　C　)
8. [2024佛山順德區(qū)月考]如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的 長(zhǎng)方形草地上，堆放著一根正三棱柱木塊，它的側(cè)棱平行 且大于草地寬 AD ，木塊從正面看到的是邊長(zhǎng)為0.4米的 正三角形，一只螞蟻從 A 處到 C 處需要走的最短路程 是 米.
9. [教材P15習(xí)題T4變式]如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，小明所在的數(shù)學(xué)合作小組研究長(zhǎng)方體紙盒的底面頂點(diǎn) A 到長(zhǎng)方體紙盒中與 A 相對(duì)的頂點(diǎn) B 的表面最短距離.若該長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)為12 cm，寬為9 cm，高為5 cm，請(qǐng)你幫助該小組求出 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的表面最短距離.(結(jié)果精確到1 cm.參考數(shù)據(jù)：21.592≈466，18.442≈340，19.242≈370)
解： 將長(zhǎng)方形 ACDF 與長(zhǎng)方形 FDBG 在同一平面上展開，如圖①所示，連接 AB . 根據(jù)勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋(5＋9)2＝340；將長(zhǎng)方形 ACDF 與長(zhǎng)方形 DCEB 在同一平面上展開，如圖②所示，連接 AB . 根據(jù)勾股定理，得 AB2＝ BE2＋ AE2＝52＋(12＋9)2＝466；將長(zhǎng)方形 AHGF 與長(zhǎng)方形 FDBG 在同一平面上展開，如圖③所示，連接 AB .根據(jù)勾股定理，得 AB2＝ AD2＋ BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因?yàn)?40＜370＜466，所以 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的表面最短距離是如圖①所示的情況.此時(shí) AB ≈18 cm.故 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的表面最短距離約為18 cm.
10. 如圖所示， A ， B 兩塊試驗(yàn)田相距200 m， C 為水源地， AC ＝160 m， BC ＝120 m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方 案修筑水渠.甲方案：從水源地 C 直接修筑兩條水渠分別到 A ， B ；乙方案；過(guò)點(diǎn) C 作 AB 的垂線，垂足為 H ，先從水源地 C 修筑一條水渠到 AB 所在直線上的 H 處，再?gòu)?H 處分別向 A ， B 進(jìn)行修筑.
(1)請(qǐng)判斷△ ABC 的形狀，并說(shuō)明理由.
解： △ ABC 是直角三角形.理由如下：因?yàn)?AC2＋ BC2＝1602＋1202＝40 000， AB2＝2002＝40 000，所以 AC2＋ BC2＝ AB2.所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.

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3 勾股定理的應(yīng)用

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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