TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18718" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc18718 \h 1
\l "_Tc25473" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25473 \h 2
\l "_Tc6099" 高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式） PAGEREF _Tc6099 \h 2
\l "_Tc23324" 高頻考點(diǎn)二：中線長問題（中線分第三條邊所成兩角互余） PAGEREF _Tc23324 \h 4
\l "_Tc28788" 高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法）） PAGEREF _Tc28788 \h 5
\l "_Tc21252" 高頻考點(diǎn)四：角平分線問題（角平分線分第三條邊所成兩角互余） PAGEREF _Tc21252 \h 7
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、中線：
在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對的邊分別為，，
1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）
核心技巧：
結(jié)論：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分線
如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
2.1內(nèi)角平分線定理：
核心技巧：或
2.2等面積法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式）
典型例題
例題1．（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.
問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B的大??；
(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.
例題2．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面積為；
①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長的最小值；
②求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值．
例題3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求邊上的角平分線長；
(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．
(1)求角的大??；
(2)已知是的中線，求的最小值．
例題3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河北·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為 .
2．（23-24高一下·福建三明·期中）的內(nèi)角的對邊分別是．已知，，邊上的中線長度為，則
3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為 ．
高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法））
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于D，則
例題2．（2024·四川廣安·二模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分線，，的面積為，求的值.
例題3．（2024·山東淄博·一模）如圖，在△ABC中，的角平分線交 BC于P點(diǎn)，.

(1)若，求△ABC的面積;
(2)若，求BP的長.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·福建龍巖·一模）在中，為上一點(diǎn)，為的角平分線，則 .
2．（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．
3．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）在中，角的對邊分別是，且．
(1)求；
(2)若的角平分線交于點(diǎn)，且，求的周長．
高頻考點(diǎn)四：角平分線問題（角平分線分第三條邊所成兩角互余）
典型例題
例題1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在邊上，，且滿足 ，求邊長；
請?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件：
①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；
其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并進(jìn)行解答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在中， ，，， 的角平分線交于，則 ．
2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）在中，記角、、所對的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．
第07講 拓展二：三角形中線，角平分線方法技巧篇
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18718" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc18718 \h 1
\l "_Tc25473" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25473 \h 2
\l "_Tc6099" 高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式） PAGEREF _Tc6099 \h 2
\l "_Tc23324" 高頻考點(diǎn)二：中線長問題（中線分第三條邊所成兩角互余） PAGEREF _Tc23324 \h 8
\l "_Tc28788" 高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法）） PAGEREF _Tc28788 \h 13
\l "_Tc21252" 高頻考點(diǎn)四：角平分線問題（角平分線分第三條邊所成兩角互余） PAGEREF _Tc21252 \h 17
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、中線：
在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對的邊分別為，，
1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）
核心技巧：
結(jié)論：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分線
如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
2.1內(nèi)角平分線定理：
核心技巧：或
2.2等面積法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式）
典型例題
例題1．（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.
問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B的大??；
(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若選①：根據(jù)正弦定理，化簡得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若選②：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡得到，得到，即可求解；
若選③：由正弦定理化簡可得到，求得，即可求解.
（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則和基本不等式，化簡得到，結(jié)合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：若選①：在中，因?yàn)椋?br>由，
可得，
由正弦定理得，即，
則，
又因?yàn)?，?
若選②：由，可得，所以，
因?yàn)?，所?
若選③：因?yàn)椋?br>正弦定理得，
又因?yàn)?，所以?br>即，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)?，可得?
綜上所述：選擇①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
則的面積的最大值為.
例題2．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面積為；
①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長的最小值；
②求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值．
【答案】(1)
(2)長的最小值為，的最大值
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，進(jìn)而求出；
（2）由面積公式求出，進(jìn)而根據(jù)向量的模長公式結(jié)合不等式即可求解的最值，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合等面積法，利用基本不等式可求解的最值.
【詳解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因?yàn)?，所以?br>所以；
（2）①由（1）知，
因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，
由于，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，所以；
②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，
故，故，
例題3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求邊上的角平分線長；
(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求值即可；
（2）根據(jù)余弦定理及已知得，然后利用面積分割法列方程求解即可；
（3）利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積模的運(yùn)算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】（1）由及正弦定理得，
即，
即，
所以，因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?
（2）由及余弦定理得，又，所以，
由得，
所以，所以，解得.
（3）因?yàn)榈牡闹悬c(diǎn)，所以，
則，
由正弦定理得
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
即邊上的中線的取值范圍為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中線，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由題設(shè)等式利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和余弦定理即可求得；
（2）利用三角形的中線表達(dá)式得到，兩邊平方后將其轉(zhuǎn)化為邊長和夾角的關(guān)系式，再利用重要不等式求得的最大值，最后借助于不等式性質(zhì)即得.
【詳解】（1）因，由正弦定理，，
由余弦定理，，又代入化簡得，因，則
（2）因是的中線，故,兩邊平方可得：，
即，由（1）知，則，
又因，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
此時(shí)，即.
故當(dāng)時(shí)，的最小值為.
2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.
(1)求c；
(2)若為上的中線，求的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由三角形的面積公式和余弦定理求解即可；
（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，對其兩邊同時(shí)平方可求出，再由余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由的面積為可得：，
因?yàn)?，，解得：得?br>由角為銳角得，
故，解得.
（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，
所以，
，
解得：.

故.
3．（23-24高二上·湖南長沙·期末）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的中線長為，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可；
（2）利用平面向量知，利用數(shù)量積與模關(guān)系及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式求最值即可.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化簡得，
因?yàn)椋瑒t，，
即，所以，
又因?yàn)椋?，?
（2）由是的中線，可知，
所以，即，
可得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以三角形面積，
即的面積的最大值為.
高頻考點(diǎn)二：中線長問題（中線分第三條邊所成兩角互余）
典型例題
例題1．（23-24高一下·遼寧沈陽·期中）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
【答案】C
【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，綜上即可求解c
【詳解】由得，∴，∵，∴，即.
在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
當(dāng)時(shí)，（*）式可解得，；
當(dāng)時(shí)，（*）式可解得，；
故選：C
例題2．（23-24高三·河南鄭州·階段練習(xí)）在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到邊長的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．
【詳解】設(shè)，，
由于，
在和中應(yīng)用余弦定理可得：
，整理可得：，
結(jié)合勾股定理可得的面積：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
則面積的最大值為6．
故選：A.
例題3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于 ．
【答案】/
【分析】將條件式，利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求得，以為鄰邊做平行四邊形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，設(shè)，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【詳解】由，得，
，
注意，得，得，
記，由，知，
如圖，以為鄰邊做平行四邊形，
在中：，即，
得，所以，
故答案為：．
法（2）：設(shè)，在中：①
因?yàn)椋瑒t，
由余弦定理可得，得②
聯(lián)立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河北·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為 .
【答案】
【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.
【詳解】如圖，由余弦定理得，
，又，
兩式相加得，即，化簡得，
所以.

故答案為：
2．（23-24高一下·福建三明·期中）的內(nèi)角的對邊分別是．已知，，邊上的中線長度為，則
【答案】
【分析】由已知條件結(jié)合余弦定理可得用，又由誘導(dǎo)公式得，從而再次利用余弦定理化簡等式得到，由此得解.
【詳解】記的中點(diǎn)為，連接，如圖，
因?yàn)?，?
所以在中，，則，
又因?yàn)?，邊上的中線長度為，即，
故由余弦定理得，整理可得，
所以.
故答案為：.
3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理將條件進(jìn)行變形，結(jié)合三角形內(nèi)角之和為π，可求得csA，設(shè)AD＝x，由cs∠ADB+cs∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范圍，從而求得x的取值范圍．
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理可知：，
又因?yàn)锳+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB，
則2csAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以csA，因?yàn)锳∈(0,π)，所以，
設(shè)AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分別有：cs∠ADB，cs∠ADC，
又由于cs∠ADB+cs∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因?yàn)閎2+c2≥2bc，所以，從而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號成立），
所以BC邊上的中線AD長度的最大值為，
故答案為：．
高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法））
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于D，則
【答案】
【分析】根據(jù)余弦定理求得的長，再利用建立的等式，即可求得答案.
【詳解】在中,由余弦定理得，

則，即，
解得，（負(fù)值舍），
而平分，即，
又，故，
則.
故答案為：
例題2．（2024·四川廣安·二模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分線，，的面積為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換求解角度即可.
（2）利用三角形的面積公式和余弦定理列出方程，求解即可.
【詳解】（1）由及正弦定理得，，
所以，因?yàn)椋?br>所以，又，所以
（2）由，得，
又，
所以，
由余弦定理得
所以.
例題3．（2024·山東淄博·一模）如圖，在△ABC中，的角平分線交 BC于P點(diǎn)，.

(1)若，求△ABC的面積;
(2)若，求BP的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面積公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒變換求出，最后再根據(jù)正弦定理即可.
【詳解】（1）中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，則，
解得，
所以.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·福建龍巖·一模）在中，為上一點(diǎn)，為的角平分線，則 .
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式列式計(jì)算即得.
【詳解】
由得，，
解得.
故答案為：
2．（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，
（2）由，可得，根據(jù)等面積法可求，由余弦定理即可求的值．
【詳解】（1）由可得
故，進(jìn)而，
由于所以
（2）由面積公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
3．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）在中，角的對邊分別是，且．
(1)求；
(2)若的角平分線交于點(diǎn)，且，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，得到，再利用輔助角公式，得到，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，利用，得到，且有，聯(lián)立解出，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）在中，，
由正弦定理可化簡得，
又，
所以，
化簡得到，
又在中，，所以，得到，
即，所以，即，
又，所以，得，即
（2）由（1）知，又的角平分線交于點(diǎn)，且，
所以，得到
整理得到①，
又在中，，得到②，
聯(lián)立①②解得
所以的周長為.
所以；
若選擇②：若為的角平分線，則，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，，
所以；
若選擇③：若為的高線，則，
則，即，則，
可知，可知，,
所以．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在中， ，，， 的角平分線交于，則 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得，然后由角平分線定理求得，，再由余弦定理利用，求得．
【詳解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分線，則，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案為：．

2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）在中，記角、、所對的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．
【答案】
【分析】由三角恒等變換化簡可得出，利用角平分線定理可得出，結(jié)合可得出，，然后在、中，應(yīng)用余弦定理可得出，結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，，
即，由正弦定理可得，
因?yàn)榈慕瞧椒志€交于，則，所以，．
又因?yàn)椋?，由可得?br>即，則，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因?yàn)椋?br>則①②可得，，即，
即，即，解得，
此時(shí)滿足，故，所以，．

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