2025高考數(shù)學一輪復習講義(新高考通用版)第11講：拓展四：導數(shù)中的隱零點問題(學生版+解析)-學案下載-教習網(wǎng)

已知不含參函數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有：
①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.
2、含參函數(shù)的隱零點問題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有
①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).
3、函數(shù)零點的存在性
（1）函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得.
① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個
② 若，那么在不一定有零點
③ 若在有零點，則不一定必須異號
(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一.
高頻考點
1．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習）已知函數(shù)，.
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，記的極小值點為，證明：存在唯一零點，且.（參考數(shù)據(jù)：）
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定義滿足的實數(shù)為函數(shù)的然點.已知.
(1)證明：對于，函數(shù)必有然點；
(2)設為函數(shù)的然點，判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明.
7．（23-24高三上·全國·開學考試）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線；
(2)若對任意，當時，證明函數(shù)存在兩個零點．
8．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設，是的兩個零點，，證明：.
9．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知函數(shù).
(1)證明：當時，；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
10．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
(2)已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
11．（23-24高三上·北京東城·期末）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.
12．（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設，求證：當時，恰有兩個零點.
13．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若對任意的恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的最大值．
14．（21-22高三上·重慶黔江·階段練習）已知函數(shù)，是的導函數(shù)，
(1)當時，判斷函數(shù)在上是否存在零點，并說明理由；
(2)若在上存在最小值，求正實數(shù)的取值范圍.
15．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
第11講：拓展四：導數(shù)中的隱零點問題
1、不含參函數(shù)的隱零點問題
已知不含參函數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有：
①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.
2、含參函數(shù)的隱零點問題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有
①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).
3、函數(shù)零點的存在性
（1）函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得.
① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個
② 若，那么在不一定有零點
③ 若在有零點，則不一定必須異號
(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一.
高頻考點
1．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習）已知函數(shù)，.
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，記的極小值點為，證明：存在唯一零點，且.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間
(2)證明見解析
【分析】（1）借助導數(shù)研究導數(shù)的導數(shù)的正負性即可得原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設，則可借助導數(shù)得到的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理得到存在，使得，再借助零點存在性定理得到存在存在唯一零點，要證，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即只需證，即證，將用表示后消去，構(gòu)造對應函數(shù)求出其最值即可得證.
【詳解】（1）當時，，
設，則，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減，
當時，取得極大值，所以，即，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
（2），設，則，
當時，，所以單調(diào)遞增，
，
所以存在，使得，
當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，
又且時，，
所以存在唯一，使得，
存在唯一零點.
要證，只需證，
即證，因為，
所以
，
設，則，
令，解得，當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減，
當時，取得極大值，
所以，即成立，命題得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查借助導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，其中零點不可求，關(guān)鍵點在于借助零點存在性定理確定存在零點，然后虛設零點，借助所得等式消去變量.
2．（23-24高三下·河南信陽·階段練習）已知函數(shù).
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)定義域可化簡函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，即求的解集即可，而，所以解集為．
（2）引入隱零點x0 ，利用導數(shù)得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最后得到的范圍.
【詳解】（1）的定義域為
∴當時，，
令，．
當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，
則不等式的解集為．
（2）當時，，
令，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
當時，，由，
則在上單調(diào)遞減，
當時，，由，（分開考慮導函數(shù)符號）
當時，在上單調(diào)遞增，則，
所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
由題意則，
設，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，此時，即，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是構(gòu)造新的函數(shù)，并利用隱零點法求解的范圍..
3．（2024·江西贛州·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間，
(2)已如.若函數(shù)有唯一的零點.證明，.
【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出，進一步判斷為增函數(shù)，由，結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由已知可得，求導，由（1）可知在單調(diào)遞增，且，及，則存在唯一的使得，分析單調(diào)性，得到，再通過函數(shù)有唯一的零點，即，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性，再分別判斷的正負，由零點存在性定理即可證明.
【詳解】（1），令，
當時，即為增函數(shù)，
又
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
的減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）
由（1）可知在單調(diào)遞增，且，
又
存在唯一的使得
當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增；
若方程有唯一的實數(shù)，則
消去可得，
令，
則，在上為減函數(shù)
且
當時，即
4．（2024·山東聊城·一模）已知函數(shù)，，.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求的最小值；
(3)設，討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)
(2)
(3)當時，函數(shù)有一個零點，當時，函數(shù)有兩個零點，當時，函數(shù)無零點
【分析】
（1）求導后令，計算即可得；
（2）求導后，令，再次求導后可得的單調(diào)性，無法直接求出使的解，因此虛設零點，借助零點的存在性定理，得到，使，再借助對數(shù)變形，得到，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到，代入中，即可得解.
（3）變形后可得函數(shù)的零點個數(shù)即為的實數(shù)根的個數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性討論即可得.
【詳解】（1），令，可得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），
令，
則，
由，故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，，
故存在，使，即，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
由，則，
令，則有，
，當時，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，故，即，
則，
即的最小值為；
（3）令，
即有，
即函數(shù)的零點個數(shù)為的實數(shù)根的個數(shù)，
由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
又當時，，當時，，
故當，即時，有唯一實數(shù)根，
當，即時，有兩實數(shù)根，
當，即時，無實數(shù)根，
即當時，函數(shù)有一個零點，
當時，函數(shù)有兩個零點，
當時，函數(shù)無零點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二小問中，令無法直接解出，因此需要虛設零點，借助零點的存在性定理，得到，使，再借助對數(shù)變形，得到，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到，從而求出的最小值.
5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間各恰有一個零點，求的取值范圍.
【答案】
【分析】
對原函數(shù)求導得導函數(shù)，設，對的范圍分，，三類情況，分別討論函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)性，從而在不同區(qū)間上討論函數(shù)的零點情況，驗證得解.
【詳解】
由求導得：
設
若,當時，,此時，則在上單調(diào)遞增,，故在上沒有零點,不合題意；
若,當,則，
故在上單調(diào)遞增，則,此時，則在上單調(diào)遞增,，故在上沒有零點,不合題意；
若，
(1)當,則,所以在上單調(diào)遞增，
，則存在,使得,即，
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
故當，,
令則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，
又，，故在上有唯一零點
又函數(shù)在上沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當
設，則，所以在上單調(diào)遞增，
因，故存在,使得，
當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增, ，
又，故存在使得,即
當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減，
當，，又
而,則當，故在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點，所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,則的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定義滿足的實數(shù)為函數(shù)的然點.已知.
(1)證明：對于，函數(shù)必有然點；
(2)設為函數(shù)的然點，判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)2個零點，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點存在原理，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)、題中定義進行運算證明即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)零點存在原理、結(jié)合放縮法進行求解即可.
【詳解】（1），由得.
令，
因為在上單調(diào)遞增，故至多一個零點，
又因為，，
所以使，故對于，函數(shù)有唯一然點.
（2）由（I）得，
令，因為在上單調(diào)遞減，且，
，故使，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因為，故，
將代入，得
，
所以有2個零點.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題中定義，運用零點存在原理是解題的關(guān)鍵.
7．（23-24高三上·全國·開學考試）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線；
(2)若對任意，當時，證明函數(shù)存在兩個零點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求函數(shù)導數(shù)得切線斜率，進而由點斜式得切線方程；
（2）令，根據(jù)函數(shù)導數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性可得，從而得到證明．
【詳解】（1）解：因為，所以，
則，，
此時切線方程為，即；
（2）證明：函數(shù)存在兩個零點，得方程有兩解，
即存在兩解．
令，則，
令，因為，
所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
由，，
所以存在，使得，
且，，，，
所以在上遞增，在上遞減．
所以
，
由，且，
則任意，時，函數(shù)與有兩交點，
故函數(shù)存在兩個零點．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得方程有兩解，即存在兩解，令，通過二次求導及零點存在性定理得到函數(shù)的單調(diào)性，進行求解．
8．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設，是的兩個零點，，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù)判單調(diào)性即可求解；
（2）利用變量集中設，得，，證明即可.
【詳解】（1）由且，可得.
設，，則，
令，解得.
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
又當趨向于0時，趨向于，當趨向于時，趨向于0，
所以要使的圖象與直線有兩個交點，則，
故的取值范圍是.
（2）證明：，由（1）得，
則，.
設，則，
即，
.
設，則.
設，則，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，
即，
所以的最小值為，，
所以，故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)研究零點和證明不等式，第二問利用變量集中結(jié)合對數(shù)運算得，，轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)證明并進行隱零點代換是關(guān)鍵.
9．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知函數(shù).
(1)證明：當時，；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將題意轉(zhuǎn)化為證明，直接求導證明即可.
（2）根據(jù)題意將不等式進行參變分離，得到在上恒成立，令，求函數(shù)的最小值即可.
【詳解】（1）因為，所以，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以得證
（2）因為，且恒成立，
則在上恒成立，令，
則，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又因為，，
所以存在，使得，
當時，，也即，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，也即，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
故，
因為，所以，
則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則有，
所以
，
所以，則，
故的取值范圍為
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集.
10．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
(2)已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由題意，且，問題轉(zhuǎn)化為方程只有一個根，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷的取值.
（2），通過構(gòu)造函數(shù)判斷的符號得的單調(diào)性，由最小值得，再由的零點，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)通過單調(diào)性求的值域.
【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，
當時，顯然不滿足題意，
當時，若函數(shù)只有一個零點，即只有一個根，
因為1不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個根，
即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個交點.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
在時有極小值，圖象如圖所示：
由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，則或，
綜上的取值所構(gòu)成的集合為.
（2）由題意知，
令，得，所以在上單調(diào)遞增.
又，由零點的存在性定理知存在使得，
所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.
故
又，所以，又，所以.
令，則，在恒成立，在單調(diào)遞減，
，由得.
將代入，得.
令，得，
所以在單調(diào)遞減，又
所以的值域為.
【點睛】方法點睛：
利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用；構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧，許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
11．（23-24高三上·北京東城·期末）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；
（2）先對求導，然后構(gòu)造函數(shù)，再對求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷的單調(diào)性，最后根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求出極大值的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，，即切點為，
，，即在處切線的斜率為，
故曲線在處的切線方程為；
（2），
令，，，
在單調(diào)遞增，且，
在單調(diào)遞增，且，
在單調(diào)遞減，
，，
即，，
存在唯一的，使，即，
當時，，即，在單調(diào)遞增，
當時，，即，在單調(diào)遞減，
在處取得極大值，設極大值，
即，
令，，
，
對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，
，
，
，
，
即，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值.解題的關(guān)鍵是掌握導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，當導數(shù)的符號不容易確定時，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定極值點時，需要滿足極值點的導數(shù)為，極值點左右兩側(cè)附近的導數(shù)值異號.
12．（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設，求證：當時，恰有兩個零點.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性；
（2）由題意，當時，，令，借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值的正負性和零點存在定理可證.
【詳解】（1）.
當時，在上單調(diào)遞減.
當時，在上，有，在上，有,
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當時，在上單調(diào)遞增.
當時，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當時，在上單調(diào)遞增.
當時，在上單調(diào)遞減.
（2）時，.
令，
則.
令.
i.時，恒成立，
在上單調(diào)遞增.
又，
存在一個零點，使.
ii.，
恒成立，
在上單調(diào)遞減.
又，
.
存在零點，使.
，
.
在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
又.
，
存在一個零點，使.
iii.，
恒成立.
在單調(diào)遞減.
恒成立.
在沒有零點.
iv.時，
下面來證明當時，.
設.
.
在上單調(diào)遞增，
，
恒成立.
綜上所述，在只有兩個零點.
又是由向右平移一個單位所得，
在只有兩個零點.
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想來求解．這類問題求解的通法是：
（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；
（2）求導數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；
（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．
13．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若對任意的恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）對函數(shù)求導，分類討論，再證充分性即可;
（2）將恒成立問題分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導數(shù)及零點存在性定理計算即可.
【詳解】（1）結(jié)合題意:的定義域為.
所以，
若，在上遞增，至多一個零點，不合題意，
若，，在上遞增，在上遞減，
所以．
下面證明充分性：，
故在上有一個零點，
，
令，，
所以，所以，
故在上有一個零點．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
（2），令，
則．
令，
所以在上遞增，又，
因此在上有唯一零點
所以，當時，函數(shù)取得極小值，
所以函數(shù)在沒有零點.
（2）解：因為，可得，
令，則，
①當時，，即，
所以在上單調(diào)遞增，
所以時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上不存在最小值；
②當時，則，所以，
即在內(nèi)有唯一的解，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又因為，
所以在內(nèi)有唯一的零點，
當時，，即；
當時，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得最小值，即時，函數(shù)上存在最小值，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
15．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立且不恒為零，當時即恒成立，求出的最大值；當時即，求出的最小值可得答案；
（2）令，分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，求出，令，根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合零點個數(shù)可得答案.
【詳解】（1）由題意得的導數(shù)為，
∵在上單調(diào)遞增，∴恒成立且不恒為零．
當時，，則恒成立，
由，由即有；
當時，，則恒成立，
由，由，即有，
綜上可得：；
（2），，
令，分離參數(shù)得，
令，則，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，
又，，
∴使得，
則當時，，即；
當時，，即；
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵
由，即，
可得，
∴，又在上單調(diào)遞增，
∴，即，
，
又當時，；當時，，
故，解得，即實數(shù)的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

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