（2類核心考點(diǎn)精講精練）
平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個(gè)重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個(gè)內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時(shí)也是加強(qiáng)對三角形的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)的理解。
奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的lg相似而得名“奔馳定理”，會(huì)提升解題效率，可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。
知識講解
奔馳定理
如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.
由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點(diǎn)
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.
已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.
④若為的垂心，則，或
研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
考點(diǎn)一、奔馳定理與四心問題綜合
1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心
2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
3．設(shè)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若且.則點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
4．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
5．設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
1．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．內(nèi)心
2．已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
3．已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足，，則點(diǎn)O為該三角形的（ ）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
4．已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
5．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
6．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
考點(diǎn)二、奔馳定理與其他問題綜合
1．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若為的外心，則
D．若為的垂心，，則
1．奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．（多選）如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（ ）
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內(nèi)心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則
D．若O為△ABC的垂心，，則
一、單選題
1．在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
2．若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點(diǎn)O，M，N依次為的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，內(nèi)心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
3．已知O為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的
A．內(nèi)心、重心、垂心、外心B．外心、垂心、重心、內(nèi)心
C．外心、內(nèi)心、重心、垂心D．內(nèi)心、垂心、外心、重心
4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到A，B，C三點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心
5．若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
6．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
7．平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，， 的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
8．已知點(diǎn)在平面中，且，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心
9．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
10．已知O是所在平面上的一點(diǎn),角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
11．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（ ）

A．若，則O為△ABC的重心
B．若，則
C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則
D．若，，，則
二、多選題
12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.則（ ）
A．O為的外心B．
C．D．
13．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的是（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
15．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足，，則（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
16．在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的 心.
17．已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的 ．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）
18．請你根據(jù)“奔馳定理”對以下命題進(jìn)行判斷：
①若P是的重心，則有；
②若成立，則P是的內(nèi)心；
③若，則；
④若P是的外心，，，則；
⑤若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，O為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心.若，則的最大值為.
則正確的命題有 .（填序號）

19．年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機(jī)械化，而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標(biāo)之一（圖一）.已知為內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則有，我們稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心.若，則的最大值為 .
20．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為 .
第07講 平面向量奔馳定理與三角形四心問題
（高階拓展、競賽適用）
（2類核心考點(diǎn)精講精練）
平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個(gè)重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個(gè)內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時(shí)也是加強(qiáng)對三角形的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)的理解。
奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的lg相似而得名“奔馳定理”，會(huì)提升解題效率，可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。
知識講解
奔馳定理
如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.
由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點(diǎn)
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.
已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.
④若為的垂心，則，或
研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
考點(diǎn)一、奔馳定理與四心問題綜合
1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心
【答案】C
【詳解】試題分析：因?yàn)椋缘蕉c(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點(diǎn)為的垂心，故選C.

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用.
2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】，
令，
則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，
即在的平分線上，
，共線，
故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，
故選：B
3．設(shè)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若且.則點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】A
【詳解】由，得，
即，
所以，
設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，故；
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
設(shè)BC的中點(diǎn)為E，同上可知，
所以P為AB與BC的垂直平分線的交點(diǎn)．
所以P是的外心．選A．
【點(diǎn)睛】三角形“四心”的向量表示
①在中，若或，則點(diǎn)是的外心；
②在中，若，則點(diǎn)是的重心；
③在中，若，則直線過的重心；
④在中，若，則點(diǎn)是的垂心；
⑤在中，若，則直線通過的內(nèi)心．
4．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】兩邊同乘以向量，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得從而得到結(jié)論．
【詳解】
兩邊同乘以向量,得
即點(diǎn)P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過△ABC的垂心，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義，屬中檔題．
5．設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】D
【詳解】試題分析：,,
,,
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心．故C正確．
考點(diǎn)：1向量的加減法;2數(shù)量積;3向量垂直．
1．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．內(nèi)心
【答案】A
【分析】根據(jù)條件，可得，即，，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
即，
則，，
即是三條高線的交點(diǎn)，為的垂心.
故選：A.
2．已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及共線定理得到，，三點(diǎn)共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.
【詳解】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，則．
以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．
為的平分線．
，
即，
．
，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上．
同理可得在其它兩角的平分線上，
是的內(nèi)心．
故選：B．
3．已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足，，則點(diǎn)O為該三角形的（ ）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
【答案】B
【分析】由，利用數(shù)量積的定義得到，從而得到點(diǎn)O在邊AB的中垂線上，同理得到點(diǎn)O在邊AC的中垂線上判斷.
【詳解】解：根據(jù)題意，，即，
所以，則向量在向量上的投影為的一半，
所以點(diǎn)O在邊AB的中垂線上，同理，點(diǎn)O在邊AC的中垂線上，
所以點(diǎn)O為該三角形的外心．
故選：B．
4．已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】B
【分析】設(shè)出的中點(diǎn)，利用向量的運(yùn)算法則化簡；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點(diǎn)，得到選項(xiàng)
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，
則．又，
，即．
又，
點(diǎn)在射線上．
故的軌跡過的重心．
故選：B．
5．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等。
【詳解】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.
故選：B
6．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
【答案】C
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，線性運(yùn)算及三角形四心的性質(zhì)即可判斷出答案.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，
所以C，G，D三點(diǎn)共線，即G為的中線CD上的點(diǎn)，且，
所以G為的重心．
因?yàn)?，所以，所以O(shè)為的外心；
因?yàn)椋?，即?br>所以，同理可得：，，所以H為的垂心.
故選：C.
考點(diǎn)二、奔馳定理與其他問題綜合
1．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知條件得到為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為及對頂角相等，得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到，進(jìn)而求出的值，最后再結(jié)合“奔馳定理”得到答案.
【詳解】如圖，因?yàn)椋?br>所以，同理，，
所以為的垂心。
因?yàn)樗倪呅蔚膶腔パa(bǔ)，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔馳定理得.
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變形運(yùn)用，屬于難題.
2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若為的外心，則
D．若為的垂心，，則
【答案】ABC
【分析】對于A，根據(jù)已知條件及奔馳定理，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)即可求解；
對于B，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理即可求解；
對于C，利用三角形外心的定義及向量的線性運(yùn)算即可求解；
對于D，利用三角形的垂心的定義及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理及銳角三角函數(shù)即可求解.
【詳解】對于A，取的中點(diǎn)，連接,如圖所示

由，則，
所以，
所以三點(diǎn)共線，且，
設(shè)分別為得中點(diǎn)，同理可得，
所以為的重心，故A正確；
對于B， 由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，如圖所示

則，
所以，
即，故B正確；
對于C ，如圖所示

因?yàn)闉榈耐庑模?br>所以,
所以，即，即,
所以,
同理可得，
所以，故C正確；
對于D，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，如圖所示，

由為的垂心，，則，
又，則，
設(shè)，則，
所以，即，
所以，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)奔馳定理及三角形的面積公式，結(jié)合三角形的四心的定義及性質(zhì)即可.
1．奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延長交于點(diǎn)P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設(shè)，利用可求出的值，從而可求出的值.
【詳解】延長交于點(diǎn)P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨設(shè)，其中．
，
，解得．
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．
故，則，故C為銳角，
∴，解得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的線性運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件得，設(shè)，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結(jié)果，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
2．（多選）如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（ ）
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內(nèi)心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
【答案】AB
【分析】對于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；
對于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點(diǎn)到的距離相等.
對于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.
對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.
【詳解】對于A：如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.正確；
對于B：記點(diǎn)到的距離分別為，，
因?yàn)椋?br>則，
即，
又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，正確；
對于C：因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，
所以，
化簡得：，
又因?yàn)椴还簿€，
所以，所以，
所以，錯(cuò)誤；
對于D：因?yàn)槭堑耐庑?，，所?，
所以，
因?yàn)?，則，
化簡得：，由題意知同時(shí)為負(fù)，
記，，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，錯(cuò)誤.
故答案為：AB.
6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則
D．若O為△ABC的垂心，，則
【答案】ACD
【分析】對A，由奔馳定理即可判斷；
對B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；
對C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；
對D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，
結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，
如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求
【詳解】對A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對；
對B，，由得，故，B錯(cuò)；
對C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對；
對D，若O為△ABC的垂心，則，，
又，
同理，∴，
∵，則，
且
如圖，分別為垂足，
設(shè)，，則，
又，故，
由，解得，
由，故，D對故選：ACD
一、單選題
1．在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】由變形得，設(shè)的中點(diǎn)為，推出，點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，再根據(jù)外心的性質(zhì)可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，

所以，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，故點(diǎn)P的軌跡過的外心.
故選：A
2．若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點(diǎn)O，M，N依次為的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，內(nèi)心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，線性運(yùn)算及三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，
所以O(shè)為的外心；
因?yàn)椋?br>所以（）＝0，
即＝0，所以MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以M為的垂心；
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，
所以，
所以C，N，D三點(diǎn)共線，即N為的中線CD上的點(diǎn)，且，
所以N為△ABC的重心．
故選：D．
3．已知O為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的
A．內(nèi)心、重心、垂心、外心B．外心、垂心、重心、內(nèi)心
C．外心、內(nèi)心、重心、垂心D．內(nèi)心、垂心、外心、重心
【答案】B
【解析】對①，易得點(diǎn)O到點(diǎn)的距離相等即可判斷.
對②，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得， ，即可判斷.
對③，根據(jù)重心的性質(zhì)與數(shù)量積的運(yùn)算判斷即可.
對④，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而可知在三個(gè)角的角平分線上即可證明.
【詳解】對于①，因?yàn)棰伲?br>所以點(diǎn)O到點(diǎn)的距離相等，
即點(diǎn)O為的外心;
對于②，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，同理，
即點(diǎn)O為的垂心;
對于③，因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)D為的中點(diǎn)，則，
即點(diǎn)O為的重心;
對于④，因?yàn)椋?br>故，整理得.
又，
所以.因?yàn)榉謩e為，方向的單位向量，故與的角平分線共線.同理與的角平分線共線，與的角平分線共線.故點(diǎn)O為的內(nèi)心.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)根據(jù)平面向量的關(guān)系分析三角形四心的問題，需要根據(jù)題意結(jié)合四心的性質(zhì)，利用平面向量的運(yùn)算以及性質(zhì)求證.屬于中檔題.
4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到A，B，C三點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心
【答案】A
【分析】設(shè)為△ABC的重心，是平面上的任一點(diǎn)，則得到，即可得到結(jié)論.
【詳解】設(shè)為△ABC的重心，是平面上的任一點(diǎn)，
則
當(dāng)且僅當(dāng)即與重合時(shí)，到A，B，C三點(diǎn)距離的平方和最小，
∴平面內(nèi)使得到A，B，C三點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是△ABC的重心.
故選：A.
5．若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】D
【分析】由得到，從而得到，同理證明即可.
【詳解】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以為的垂心.
故選：D.
6．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】A
【分析】取線段的中點(diǎn)，則，依題可得，即可得答案.
【詳解】取線段的中點(diǎn)，則.
動(dòng)點(diǎn)滿足：，，
則，即，所以，
又，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡是直線，
一定通過的重心.
故選：A.
7．平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，， 的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得，，延長交于，延長交于，根據(jù)面積比推出，結(jié)合角平分線定理推出為的平分線，同理推出是的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定義可得答案.
【詳解】由得，
由得，
根據(jù)平面向量基本定理可得，，
所以，，
延長交于，延長交于，
則，又，所以，
所以為的平分線，
同理可得是的平分線，
所以為的內(nèi)心.
故選：B
8．已知點(diǎn)在平面中，且，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心
【答案】D
【分析】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).由題意得，，，.根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡這3個(gè)等式，即得點(diǎn)的位置.
【詳解】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).
，
，，.
當(dāng)時(shí)，
如圖所示
即，
，
點(diǎn)在的內(nèi)角的角平分線上.
同理，點(diǎn)在的內(nèi)角的角平分線上，點(diǎn)在的內(nèi)角的角平分線上.
點(diǎn)是的內(nèi)心.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題.
9．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得，結(jié)合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.
【詳解】∵是的垂心，延長交與點(diǎn)，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨設(shè)，其中，
∵，
∴，解得或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則都是鈍角，則，矛盾.
故，則，∴是銳角，，
于是，解得.
故選：A.
10．已知O是所在平面上的一點(diǎn),角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】將所給向量表達(dá)式進(jìn)行變形,表示成與方向上的單位向量的形式,由向量加法運(yùn)算的性質(zhì)即可知O在角平分線上,即可得解.
【詳解】因?yàn)?br>則,即
移項(xiàng)可得
即
則
因?yàn)?
所以
化簡可得,即
設(shè)為方向上的單位向量,為方向上的單位向量
所以,
則
所以
則在的角平分線上
同理可知 在的角平分線上
因而為的內(nèi)心
故選:B
【點(diǎn)睛】本題考查了向量線性運(yùn)算的化簡及應(yīng)用,三角形內(nèi)心的向量表示形式,化簡過程較為復(fù)雜,屬于中檔題.
11．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（ ）

A．若，則O為△ABC的重心
B．若，則
C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則
D．若，，，則
【答案】D
【分析】對于A，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項(xiàng)B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角的互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)論，可判斷C正確；選項(xiàng)D，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計(jì)算出，可得D錯(cuò)誤；
【詳解】對于A：如下圖所示，

假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，
同理，，
因?yàn)镺為的垂心，則，
所以，同理得，，
則，
令，
由，則，
同理：，，
綜上，，
根據(jù)奔馳定理得，即C正確.
對于D：由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即D錯(cuò)誤；
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.
二、多選題
12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.則（ ）
A．O為的外心B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由確定出點(diǎn)O是三角形的垂心，判斷A；利用直角三角形角的關(guān)系、邊角關(guān)系計(jì)算判斷B，C；由直角三角形邊角關(guān)系計(jì)算判斷D作答.
【詳解】依題意，，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，則O為的垂心，A錯(cuò)誤；
如圖，直線分別交AB，AC于P，Q，由選項(xiàng)A知，，
，，則，
又，即有，又，
因此，B正確；
由選項(xiàng)B知，，同理，
，
同理可得，因此，C正確；
，
同理可得，所以，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及直角三角形銳角的三角函數(shù)，合理利用直角三角形中邊的比表示是解題的關(guān)鍵.
13．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
【答案】ABD
【分析】對于A，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項(xiàng)B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計(jì)算出，可得C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角的互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)論.
【詳解】對于A：如下圖所示，
假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C錯(cuò)誤；
對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，
則，
同理，
因?yàn)镺為的垂心，則，
所以，
同理得，，
則，
令，
由，
則，
同理：，
，
綜上，，
根據(jù)奔馳定理得，即D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.
14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的是（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故，同理得到，，所以M為的重心，故A項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，得到，，，代入公式得到；C選項(xiàng)，設(shè)的外接圓半徑為R，表達(dá)出，，，從而得到答案；D選項(xiàng)，求出，設(shè)，，由面積比得到，，由三角函數(shù)值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案.
【詳解】對于A，取BC的中點(diǎn)Q，連接MQ，
由，則，
所以，
所以A，M，Q三點(diǎn)共線，且，
設(shè)R，T分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，
所以M為的重心，故A項(xiàng)正確；
對于B，由M為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
則有，，，
所以，
即，故B項(xiàng)正確；
對于C，由M為的外心，設(shè)的外接圓半徑為R，
又因?yàn)?，?br>所以，，，
所以，
，
，
所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E，
由M為的垂心，，則，
又，則，，
設(shè)，，則，，
所以，即，
所以，同理，
故，，
∴
，故D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，
點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，
點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，
點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，
15．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足，，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關(guān)系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數(shù)量積的運(yùn)算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項(xiàng)B的結(jié)論可證明C，求出的面積，利用選項(xiàng)B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項(xiàng)C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷D．
【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以?br>又由奔馳定理得，
因?yàn)椴还簿€，所以，
所以，A正確；
延長分別與對邊交于點(diǎn)，如圖，
由得，所以，同理，所以是的垂心，
所以四邊形中，，所以，B正確；
由得，
所以，
由選項(xiàng)B得，，，
所以，C正確；
由上討論知，
，
，
所以，
又由選項(xiàng)C：，
得，
由奔馳定理：得，D正確．
故選：ABCD．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，理解新知識、應(yīng)用新知識的能力．解題關(guān)鍵一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量關(guān)系，二是利用數(shù)量積的運(yùn)算得出是三角形的垂心，由此利用平面幾何知識得出角的關(guān)系，再利用三角函數(shù)知識進(jìn)行推導(dǎo)得出相應(yīng)結(jié)論．
三、填空題
16．在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的 心.
【答案】內(nèi)
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算得到，再利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可．
【詳解】，，
，
，
，分別是，方向上的單位向量，
向量平分，即平分，同理平分，
為的內(nèi)心，
故答案為：內(nèi)
17．已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的 ．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）
【答案】外心
【分析】為中點(diǎn)，連接，計(jì)算，，得到，得到答案.
【詳解】如圖所示：為中點(diǎn)，連接，
，
，故，
即，故的軌跡一定經(jīng)過的外心.
故答案為：外心
18．請你根據(jù)“奔馳定理”對以下命題進(jìn)行判斷：
①若P是的重心，則有；
②若成立，則P是的內(nèi)心；
③若，則；
④若P是的外心，，，則；
⑤若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，O為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心.若，則的最大值為.
則正確的命題有 .（填序號）

【答案】①②④⑤
【分析】根據(jù)已知可推得，根據(jù)“奔馳定理”即可得出①；記點(diǎn)P到AB，BC，CA的距離分別為，，，根據(jù)“奔馳定理”得出，進(jìn)而結(jié)合已知即可得出②；根據(jù)平面向量基本定理表示出，根據(jù)“奔馳定理”化簡，結(jié)合，不共線，即可推得③錯(cuò)誤；根據(jù)已知得出，換元為三角函數(shù)，根據(jù)輔助角公式化簡即可得出④；根據(jù)已知推得.然后根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得出范圍.
【詳解】對于①：如圖所示，因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為CA，AB，BC的中點(diǎn)，
所以，，，
同理可得，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，故①正確；
對于②：記點(diǎn)P到AB，BC，CA的距離分別為，，，
則，，，
因?yàn)?，則，
即.
又因?yàn)椋?br>所以，所以點(diǎn)P是的內(nèi)心，故②正確；
對于③：因?yàn)椋?br>所以，，，
所以
，
化簡得，
又因?yàn)?，不共線，
所以，即，
所以，，故③錯(cuò)誤；
對于④：因?yàn)镻是的外心，，
所以，，.
因?yàn)椋?br>則，
化簡得 .
由題意知m，n不同時(shí)為正.記，，
則，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，故④正確；
對于⑤：∵O為的內(nèi)心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，，
∴.
∵(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)，
∴，∴，
∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)，
∴的最大值為，故⑤正確.
故答案為：①②④⑤.
19．年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機(jī)械化，而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標(biāo)之一（圖一）.已知為內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則有，我們稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心.若，則的最大值為 .
【答案】/.
【分析】根據(jù)內(nèi)心特點(diǎn)可知，利用向量線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求得，，則；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【詳解】為的內(nèi)心，，，
，
，，
即，，；
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
的最大值為.
故答案為：.
20．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用為的內(nèi)心，再結(jié)合奔馳定理可得，再由已知條件轉(zhuǎn)化可得，利用平面向量基本定理可知，從而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.
【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，
由可得，所以，
又，
則，所以，
兩式相加可得，化簡可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用奔馳定理得到，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大

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