2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第十一講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)章節(jié)總結(jié)(精講)(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第一部分：典型例題講解
題型一：函數(shù)的定義域
1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·安徽安慶·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
4．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期末）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)? ．
5．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)? .
題型二：函數(shù)的值域(最值）
1．（23-24高二上·廣東廣州·期末）函數(shù)的最大值是（）
A．B．C．D．4
2．（多選）（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則下列函數(shù)的值域也為的是（）
A．B．C．D．
3．（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是．
4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的最大值．
5．（23-24高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.
(1)時(shí)，求的值域；
(2)若的最小值為4，求的值.
6．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的值域．
7．（23-24高一上·重慶南岸·階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．
題型三：求函數(shù)的解析式
1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·天津南開(kāi)·期中）已知，則函數(shù)的表達(dá)式為（）
A．B．
C．D．
3．（多選）（23-24高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)則（）
A．B．
C．的最小值為-1D．的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)
4．（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)滿足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的函數(shù)的解析式 .
5．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知是二次函數(shù)且，，求.
6．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）（1）已知，求的解析式；
（2），求的解析式.
題型四：分段函數(shù)問(wèn)題
1．（23-24高三上·安徽六安·期末）函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 .
5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）若函數(shù)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
題型五：函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東·一模）已知，若，則（）
A．B．C．D．
3．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域?yàn)榍覉D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（）
A．B．
C．D．
4．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對(duì)任意，若恒成立，求的范圍 .
5．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，周期性綜合應(yīng)用
1．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·河北滄州·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且．若，則（）
A．506B．1012C．2024D．4048
3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)，其周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．的值域?yàn)?br>C．在上單調(diào)遞減D．在上有8個(gè)零點(diǎn)
4．（多選）（23-24高一下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)于任意的，，都有，則（）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)B．
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處取得最大值
5．（多選）（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，若，則（）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·陜西·開(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為．
題型七：不等式中的恒成立問(wèn)題
1．（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).若，使得成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是 .
3．（23-24高一下·上海金山·階段練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
4．（23-24高一下·北京延慶·階段練習(xí)）設(shè)為常數(shù)，且，函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
5．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.
(3)對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
6．（23-24高一上·北京·期中）若二次函數(shù)滿足，且
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)若在區(qū)間上不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型八：不等式中的能成立問(wèn)題
1．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，記的最大值為．，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2．（23-24高一下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，
(1)若的值域?yàn)椋鬂M足條件的整數(shù)的值；
(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，，，求的取值范圍.
3．（23-24高一下·云南紅河·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值；
(2)若，，使得不等式成立，求的取值范圍.
4．（23-24高一下·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，求x的取值范圍；
(3)若對(duì)任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求的值，判斷的單調(diào)性并說(shuō)明理由；
(2)若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
題型九：函數(shù)的圖象
1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）以下最符合函數(shù)的圖像的是（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·四川遂寧·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（）
A． B．
C． D．
3．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過(guò)的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（）
A．B．
C．D．
5．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（）
A． B．
C． D．
題型十：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)
1．（23-24高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．B．0C．D．1
3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
4．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)是偶函數(shù)，則a的值為（）
A．B．C．D．
5．（2024·陜西西安·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 .
6．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) ．
題型十一：函數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題
1．（2024·陜西·二模）已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）
A．1B．eC．D．
2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）
A．B．C．D．
4．（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)的取值個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).
題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用
1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：
為描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川宜賓·二模）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市未來(lái)新能源汽車(chē)保有量基本滿足模型，其中（單位：萬(wàn)輛）為第年底新能源汽車(chē)的保有量，為年增長(zhǎng)率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車(chē)保有量是20萬(wàn)輛，以此為初始值，以后每年的增長(zhǎng)率為，飽和度為1300萬(wàn)輛，那么2033年底該市新能源汽車(chē)的保有量約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）
A．65萬(wàn)輛B．64萬(wàn)輛C．63萬(wàn)輛D．62萬(wàn)輛
3．（23-24高一上·廣東東莞·期末）某企業(yè)從2011年開(kāi)始實(shí)施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬(wàn)元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值（萬(wàn)元）與新政策實(shí)施年數(shù)（年）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，預(yù)測(cè)該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（）（附：）
6．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，聯(lián)合國(guó)教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會(huì)通過(guò)決議，將中國(guó)“普洱景邁山古茶樹(shù)文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個(gè)茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗(yàn)表明，某種普洱茶用95的水沖泡，等茶水溫度降至60飲用，口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：）與時(shí)間（單位：分鐘）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
(1)給出下列三種函數(shù)模型：①，②，③，請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.
(2)根據(jù)（1）中所求模型，
（i）請(qǐng)推測(cè)實(shí)驗(yàn)室室溫（注：茶水溫度接近室溫時(shí)，將趨于穩(wěn)定）；
（ii）求剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.1）．
（參考數(shù)據(jù)：）
第二部分：新定義題
1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）對(duì)于整系數(shù)方程，當(dāng)?shù)淖罡叽蝺绱笥诘扔?時(shí)，求解難度較大.我們常采用試根的方法求解：若通過(guò)試根，找到方程的一個(gè)根，則，若已經(jīng)可以求解，則問(wèn)題解決；否則，就對(duì)再一次試根，分解因式，以此類(lèi)推，直至問(wèn)題解決.求根的過(guò)程中常用到有理根定理：如果整系數(shù)方程有有理根，其中、，，，那么，.符號(hào)說(shuō)明：對(duì)于整數(shù)，，表示，的最大公約數(shù)；表示是的倍數(shù)，即整除.
(1)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，借助有理根定理求切點(diǎn)橫坐標(biāo)；
(2)試證明有理根定理；
(3)若整數(shù)，不是3的倍數(shù)，且存在有理數(shù)，使得，求，.
2．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè)，我們常用來(lái)表示不超過(guò)的最大整數(shù).如：.
(1)求證：；
(2)解方程：；
(3)已知，若對(duì)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）人們很早以前就開(kāi)始探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題，牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法，這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用.設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程：—①，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，，，可以得到，方程①可變?yōu)椋海归_(kāi)得：—②，比較①②可以得到一元三次方程根與系數(shù)關(guān)系：
(1)若一元三次方程：的3個(gè)根為，，，求的值；
(2)若函數(shù)，且，，求的取值范圍；
(3)若一元四次方程有4個(gè)根為，，，，仿造上述過(guò)程，寫(xiě)出一元四次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.
0
40
60
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
時(shí)間／分鐘
0
1
2
3
4
5
水溫／
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33
第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)
章節(jié)總結(jié)
第一部分：典型例題講解
題型一：函數(shù)的定義域
1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域.
【詳解】由題意對(duì)于，得，解得且，故C正確.
故選：C.
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題可得，即可解出定義域.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以要使函數(shù)有意義，
則，解得且，
所以的定義域?yàn)椋?br>故選：B.
3．（23-24高一下·安徽安慶·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
【答案】
【分析】
由的取值范圍求出的取值范圍，再令，求出的范圍即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，所以，
所以，即，則，
即，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
4．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期末）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)? ．
【答案】
【分析】先求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，即可求解．
【詳解】由題意得，，解得，
令，則，
故的定義域?yàn)?
故答案為：
5．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】由抽象函數(shù)定義域以及復(fù)合型對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求法，列出不等式組即可求解.
【詳解】由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，
則，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
題型二：函數(shù)的值域(最值）
1．（23-24高二上·廣東廣州·期末）函數(shù)的最大值是（）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】
設(shè)，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由，解得，故的定義域?yàn)?
設(shè)，
則，
其中，，
∵，則，
∴當(dāng)，即時(shí)，
取最大值，即函數(shù)的最大值是.
故選：B.
2．（多選）（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則下列函數(shù)的值域也為的是（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】結(jié)合題意根據(jù)復(fù)合函數(shù)值域及函數(shù)圖象變換，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.
【詳解】對(duì)于A，的圖象可看作由的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，故值域不變，正確；
對(duì)于B，由可得，即的值域?yàn)椋e(cuò)誤；
對(duì)于C，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，為，正確；
對(duì)于D，由可得，即的值域?yàn)?，錯(cuò)誤.
故選：AC
3．（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是．
【答案】
【分析】
將化為，利用余弦函數(shù)的有界性，即，解不等式即可得答案.
【詳解】由，可得，
當(dāng)時(shí)等式不成立，∴，則有，
∵，∴，，或，
∴函數(shù)的值域是，
故答案為：
4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的最大值．
【答案】
【分析】通過(guò)將兩個(gè)根式換元為，，函數(shù)即為，利用，建立函數(shù)與等式的關(guān)系即可求得其最大值.
【詳解】不妨設(shè)，，則，
因，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由，因，
故得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值.
5．（23-24高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.
(1)時(shí)，求的值域；
(2)若的最小值為4，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對(duì)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由題意得，，，
令，，，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
故，
故的值域?yàn)椋?br>（2）由（1）得，，對(duì)稱(chēng)軸，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
，解得；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
無(wú)解，舍去；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
，解得，舍去；
綜上所述，.
6．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的值域．
【答案】
【分析】先分離常數(shù)，再分類(lèi)討論與，結(jié)合換元法與對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，，
所以，
由對(duì)勾函數(shù)的值域可知，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以．
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>7．（23-24高一上·重慶南岸·階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由題意可知：在上恒成立，分和兩種情況，結(jié)合判別式運(yùn)算求解；
（2）由題意可知：的值域包含，分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可知：在上恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，，即，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
綜上所述：的取值范圍是；
（2）由題意可知：的值域包含，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，可得?br>所以的值域?yàn)椋项}意；
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是．
題型三：求函數(shù)的解析式
1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用換元法令，代入運(yùn)算求解即可.
【詳解】令，則，由于，則，
可得，
所以.
故選：B.
2．（23-24高一上·天津南開(kāi)·期中）已知，則函數(shù)的表達(dá)式為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用配湊法先求出函數(shù)，再整體代入即可求出函數(shù)的表達(dá)式.
【詳解】因?yàn)?br>所以
所以，即.
故選：C.
3．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)則（）
A．B．
C．的最小值為-1D．的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)
【答案】ABC
【分析】B選項(xiàng)，換元法得到函數(shù)解析式；A選項(xiàng)，代入求解即可；C選項(xiàng)，配方求出函數(shù)最值；D選項(xiàng)，解方程，求出答案.
【詳解】B選項(xiàng)，令，得，則，
，
故，，B正確；
A選項(xiàng)，，A正確，
C選項(xiàng)，，所以在上單調(diào)遞增，
，C正確；
D選項(xiàng)，令，解得或0（舍去），
故的圖象與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤．
故選：ABC
4．（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)滿足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的函數(shù)的解析式 .
【答案】 (答案不唯一)
【詳解】取，
則，滿足題意.
故答案為：(答案不唯一)
5．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知是二次函數(shù)且，，求.
【答案】
【分析】
利用待定系數(shù)法即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)，所以，
而，
所以，
有待定系數(shù)可知，解得，
所以.
6．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）（1）已知，求的解析式；
（2），求的解析式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)整體法即可結(jié)合換元法求解，
（2）聯(lián)立方程即可求解
【詳解】（1），
令，所以，
故；
（2）由可得，
聯(lián)立可得，
故
題型四：分段函數(shù)問(wèn)題
1．（23-24高三上·安徽六安·期末）函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
原不等式變形為，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，此時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則，
所以由得，
所以，解得.
故選：A.
2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.
又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
綜上可得函數(shù)的最小值為.
因?yàn)椋沟贸闪ⅲ?br>所以，解得：或.
故選：C.
3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)，的最小值為，則得到不等式，解出即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?，所以，?
時(shí)，函數(shù)最小值為，
時(shí)，函數(shù)最小值為，
故在區(qū)間上，函數(shù)最小值為.
當(dāng)時(shí)，最小值為，
同理，當(dāng)時(shí)，最小值為，
在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出時(shí)圖象，
所以，化簡(jiǎn)可得：，
即：，解得.
故選：C.
4．（23-24高一下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
函數(shù)分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列不等式求解.
【詳解】若在上單調(diào)遞增，則解得.
若在上單調(diào)遞減，則解得.
故的取值范圍是.
故答案為：
5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）若函數(shù)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
【答案】
【分析】
分類(lèi)討論a的取值范圍，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及無(wú)最大值，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在上，，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，且，
故時(shí)，有最大值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
在時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)要使得函數(shù)無(wú)最大值，需滿足且，
即，解得，結(jié)合，則；
當(dāng)時(shí)，在上，，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)要使得函數(shù)無(wú)最大值，需滿足，
即，即，結(jié)合，可得，
綜合以上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
故答案為：
題型五：函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出，再解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以是上的增函數(shù)，所以若
則，解得.
故選：D
2．（2024·廣東·一模）已知，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)及函數(shù)在單調(diào)遞增即可求解.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>所以為偶函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
所以由可得，即，
解得，
故選：B
3．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域?yàn)榍覉D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先分析不等式在上的解，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出不等式在上的解即可.
【詳解】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)且，所以在范圍內(nèi)的解為.
因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以在內(nèi)的解為，所以不等式在R內(nèi)的解為.
故選：C
4．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對(duì)任意，若恒成立，求的范圍 .
【答案】
【分析】根據(jù)為R上的奇函數(shù)且為減函數(shù)，可得出對(duì)任意的恒成立，這樣求出的最小值，從而便可得出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)槭嵌xR上的奇函數(shù)，所以，
又因在R上的單調(diào)遞減，
所以對(duì)任意恒成立，
所以對(duì)任意恒成立，所以，
設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：.
5．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以為奇函數(shù)，
又，所以在上單調(diào)遞增，
不等式，即，
等價(jià)于，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，周期性綜合應(yīng)用
1．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.
【詳解】在上的奇函數(shù)滿足，則，
于是，即函數(shù)的周期為4，
而，則，，又當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：A
2．（2024·河北滄州·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且．若，則（）
A．506B．1012C．2024D．4048
【答案】C
【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的函數(shù)，再根據(jù)條件得出，即可求出結(jié)果.
【詳解】，①
，
即，所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
令，則，所以，
令，，又，所以，
又，，②
即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
且由①和②，得，
所以，則函數(shù)的一個(gè)周期為4，
則，
所以.
故選：C
3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)，其周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．的值域?yàn)?br>C．在上單調(diào)遞減D．在上有8個(gè)零點(diǎn)
【答案】AB
【分析】
對(duì)于A選項(xiàng)，利用函數(shù)的周期性與奇偶性，計(jì)算函數(shù)值；對(duì)于B選項(xiàng)，利用函數(shù)的解析式求得函數(shù)值范圍，再利用奇偶性，得出函數(shù)的值域；對(duì)于C選項(xiàng)，利用函數(shù)解析式和周期性，推得函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于D選項(xiàng)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)。
【詳解】
對(duì)于A，，所以A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?br>由于函數(shù)是偶函數(shù)，在上的值域也為，
又是周期為的周期函數(shù)，所以的值域?yàn)?，所以B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又的周期是4，所以在上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，得，所以，
由于的周期為4，所以，
所以在上有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤，
故選：AB.
4．（23-24高一下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)于任意的，，都有，則（）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)B．
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處取得最大值
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性、單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】
對(duì)A：由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
又是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
由對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
再根據(jù)是奇函數(shù)可得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由與，
得，所以，B正確；
對(duì)C：因?yàn)閷?duì)于任意的，，都有，所以在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則在上單調(diào)遞減，
因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；
對(duì)D：由C可知，在處取得最大值，，
則在處取得最大值，D正確.
故選：BCD.
5．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可判斷A，根據(jù)，，的值即可排除B,根據(jù)可求解C，根據(jù)即可求解D.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則,故A正確；
由，可得，則，取得，
在中取可得，則，
由，得，故B錯(cuò)誤；
由，得
①②，
②-①得，又，故C正確；
又由① ，故D正確.
故選：ACD.
6．（23-24高三下·陜西·開(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為．
【答案】
【分析】
根據(jù)條件確定函數(shù)周期性，畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得實(shí)根個(gè)數(shù).
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，即，對(duì)稱(chēng)中心為，
函數(shù)為偶函數(shù)，即，對(duì)稱(chēng)軸為，
又由可得
函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，
當(dāng)時(shí)，，則，
令，得，單調(diào)遞增，
令，得，單調(diào)遞減，
所以.
作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：
即在區(qū)間上，方程有個(gè)實(shí)根，
又,
則方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.
故答案為：.
題型七：不等式中的恒成立問(wèn)題
1．（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).若，使得成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求得，結(jié)合題意知，解出即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，且即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
由題意可知，
即，所以，
故選：C.
2．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是 .
【答案】
【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】依題意，，解得，則
由得，
其中
①，
則當(dāng)時(shí)①式取得最大值.
所以的最小值是.
故答案為：.
3．（23-24高一下·上海金山·階段練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
求函數(shù)在上的最小值，再由遞推關(guān)系得出函數(shù)在最小值，即可轉(zhuǎn)化為求解即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
又函數(shù)滿足，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
若時(shí)，恒成立，
恒成立．
即，解得，即.
故答案為：
4．（23-24高一下·北京延慶·階段練習(xí)）設(shè)為常數(shù)，且，函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
【分析】由題意，轉(zhuǎn)化為，令，即，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，即為成立，
即，
令，即，
設(shè)，可得函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，
因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，
要使得，只需，即，
解得或，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
5．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.
(3)對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由見(jiàn)解析；
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域的不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得，得到，
法一：轉(zhuǎn)化為，令，求得，即可求解；
法二：分，和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)有意義，則滿足，
解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?
（2）解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
（3）解：由“對(duì)，不等式恒成立”，
可得，
當(dāng)時(shí)，
由在上單調(diào)遞減，，
根據(jù)題意得，對(duì)
法一：可轉(zhuǎn)化為，
令，由在上單調(diào)遞減得，可得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
法二：設(shè)函數(shù)，
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
可得，解得，則；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
可得，解得，則；
③當(dāng)，即時(shí)，在先減后增，
可得，解得，所以，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
6．（23-24高一上·北京·期中）若二次函數(shù)滿足，且
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)若在區(qū)間上不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為則在上恒成立，令，利用單調(diào)性求最小值即可.
【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)，
則，
已知，所以，解得，
又，得，
.
（2）在區(qū)間上不等式恒成立，則在上恒成立，
令，可知在上單調(diào)遞減，
則，得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
題型八：不等式中的能成立問(wèn)題
1．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，記的最大值為．，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）令，結(jié)合偶函數(shù)的定義計(jì)算即可;
（2）借助函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值為，再對(duì)進(jìn)行參變分離求出最值即可.
【詳解】（1）記，
為偶函數(shù)，恒成立，
即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
.
（2）和都是單調(diào)遞增函數(shù),
在是單調(diào)遞增的，
,
在上有解，
在上有解，
在上有解，
在上單調(diào)遞增，
,
.
2．（23-24高一下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，
(1)若的值域?yàn)?，求滿足條件的整數(shù)的值；
(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，，，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)?，可得函?shù)的值域包含，再分，和三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)，則只要即可，求出函數(shù)的最小值，再?gòu)姆智闆r討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可．
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域包含，
，
當(dāng)時(shí)，，其值域?yàn)?，不滿足條件，
當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)時(shí)，，即的值域?yàn)椋?br>所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的值域?yàn)?，即函?shù)的值域?yàn)椋粷M足條件，
綜上所述，，所以滿足條件的整數(shù)的值為；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，即，解得或，
由函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，所以，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，即，
由，，，
得，，，
只要即可，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)，則，
，
令，因?yàn)?，所以?br>函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)時(shí)，則時(shí)，恒成立，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，，所以，不等式組無(wú)解；
當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，恒成立，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，，所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
3．（23-24高一下·云南紅河·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值；
(2)若，，使得不等式成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解方程即可求解；
（2）由，求出的取值范圍，判斷的單調(diào)性，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性脫去符號(hào)“”，參變分離后，求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】（1）是定義在上的奇函數(shù)，
，解得，
當(dāng)時(shí)，，，
為上的奇函數(shù)，
故；
（2）由（1）知，
，解得，
易知是上的單調(diào)遞減函數(shù)，
又是定義在上的奇函數(shù)，由，
故，使得成立，
即，使得成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
.
4．（23-24高一下·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，求x的取值范圍；
(3)若對(duì)任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，列出關(guān)系式，即可求解；
（2）由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合不等式的解法，即可求解；
（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，得到，再由題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，
可得，解得，
所以.
（2）解：由函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞增，
則可化為，平方得，
化簡(jiǎn)得，解得，所以x的取值范圍是.
（3）解：由（1）知，
因?yàn)閷?duì)，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函數(shù)在上的最大值為4，所以，
因?yàn)榇嬖?，使得成立，可得?br>又因?yàn)椋允顷P(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，即，解得或，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.
5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求的值，判斷的單調(diào)性并說(shuō)明理由；
(2)若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由見(jiàn)解析；
(2),
【分析】（1）由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)求的值，得到的解析式，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為在,上有解，利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，即，
，
則是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：
任取、x2∈R，且，則，
則，
所以，即，
所以是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）因?yàn)椋?br>故是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，
則不等式等價(jià)于，
所以，即，
即存在,不等式有解，
即在,上有解，
由,，可得，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且，故在的最大值為，
所以，即
所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是,．
題型九：函數(shù)的圖象
1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）以下最符合函數(shù)的圖像的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義域，奇偶性，特殊值，排除選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故排除A；
，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除D；
，故排除B，滿足條件的只有C.
故選：C
2．（23-24高三下·四川遂寧·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】，則的定義域?yàn)镽，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除CD，
當(dāng)時(shí)，，故排除A.
故選：B.
3．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)圖象的形狀.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故排除答案CD，
又，，
設(shè)，，則，.
所以在上為增函數(shù)，又，
所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故排除B.
故選：A
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過(guò)的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對(duì)稱(chēng)性可排除，由一開(kāi)始與是線性的可排除C，對(duì)于D，當(dāng)圖形是正方形時(shí)，可以驗(yàn)證它滿足題意.
【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)在第一條邊上時(shí)，，
但點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是隨的增大先減?。p到最小時(shí)即為三角形的第二條邊上的高的長(zhǎng)度），然后再增大，
對(duì)比圖象可知，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對(duì)稱(chēng)的，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，一開(kāi)始與的關(guān)系不是線性的，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)圖象對(duì)稱(chēng)，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長(zhǎng)為，
點(diǎn)在第一條邊上時(shí)（即時(shí)），，
點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，依然單調(diào)遞增，
點(diǎn)在第三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，
點(diǎn)在第四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，
且已知與的圖象關(guān)于（其中）對(duì)稱(chēng)，D正確.
故選：D.
5．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值及函數(shù)值的取值情況判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A、D；
又，當(dāng)時(shí)，
所以，，
又，所以，
所以，故排除B.
故選：C
題型十：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)
1．（23-24高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值0，1，分析判斷即可.
【詳解】由題意可得：，
，且，則，
因?yàn)?，則，
故選：B
2．（2024·浙江·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)滿足的關(guān)系即可化簡(jiǎn)求解.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>由于為偶函數(shù)，故，即，
故，解得
故選：A
3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
【答案】D
【分析】
由題意，根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可得，由，解不等式即可求解.
【詳解】由題意知，，
當(dāng)時(shí)，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．
故選：D
4．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)是偶函數(shù)，則a的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由是偶函數(shù)，可得，從而可求解.
【詳解】
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，故D正確.
故選：D.
5．（2024·陜西西安·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 .
【答案】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算即可.
【詳解】由已知可得，所以，
所以，即是函數(shù)的一個(gè)周期，
所以.
故答案為：
6．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，據(jù)此即可求解,注意檢驗(yàn).
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，所以，此時(shí)，
滿足題意.
故答案為：.
題型十一：函數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題
1．（2024·陜西·二模）已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）
A．1B．eC．D．
【答案】D
【分析】
由題意構(gòu)造，將原函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可求得答案.
【詳解】由，可知，
故時(shí)，則可得，
而，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
令，則的圖象必有兩交點(diǎn)
且，是兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由于，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
而，即的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，
故，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)特征，構(gòu)造新函數(shù)，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性即可解決.
2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意可知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且周期為4，由此可畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解即可.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以，
所以函數(shù)的周期為4，
畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：

若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
顯然，則，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D．
3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由題意分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.
【詳解】分別令，
則，
則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，.
故選：A.
4．（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)的取值個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)題意解出，，分別畫(huà)出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】
令，得或；
作出的大致圖象，如圖所示，
這兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以由圖可知的取值范圍是.故整數(shù)或2，個(gè)數(shù)為2.
故選：B
5．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).
【答案】(1)減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號(hào)和最值，可確定方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?
所以：.
由，又函數(shù)定義域?yàn)椋?br>所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）因?yàn)?，所以：?dāng)時(shí)，，方程無(wú)解；
當(dāng)，函數(shù)在上遞減，在遞增，
所以，所以方程無(wú)解.
綜上可知：方程的根的個(gè)數(shù)為.
題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用
1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：
為描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
作出散點(diǎn)圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.
【詳解】作出散點(diǎn)圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)?；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長(zhǎng)率變快；第三，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn).
A選項(xiàng)：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：函數(shù)的單位增長(zhǎng)率恒定不變，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：滿足上述三點(diǎn)，故C正確；
D選項(xiàng)：函數(shù)在處無(wú)意義，D錯(cuò)誤.
故選：C
2．（2024·四川宜賓·二模）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市未來(lái)新能源汽車(chē)保有量基本滿足模型，其中（單位：萬(wàn)輛）為第年底新能源汽車(chē)的保有量，為年增長(zhǎng)率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車(chē)保有量是20萬(wàn)輛，以此為初始值，以后每年的增長(zhǎng)率為，飽和度為1300萬(wàn)輛，那么2033年底該市新能源汽車(chē)的保有量約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）
A．65萬(wàn)輛B．64萬(wàn)輛C．63萬(wàn)輛D．62萬(wàn)輛
【答案】B
【分析】
把已知數(shù)據(jù)代入模型，求出對(duì)應(yīng)的值即可．
【詳解】根據(jù)題中所給模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，注意以2023年的為初始值，
則2033年底該省新能源汽車(chē)的保有量為，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以2033年底該市新能源汽車(chē)的保有量約為64萬(wàn)輛.
故選：B.
3．（23-24高一上·廣東東莞·期末）某企業(yè)從2011年開(kāi)始實(shí)施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬(wàn)元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值（萬(wàn)元）與新政策實(shí)施年數(shù)（年）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，預(yù)測(cè)該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（）（附：）
A．924萬(wàn)元B．976萬(wàn)元C．1109萬(wàn)元D．1231萬(wàn)元
【答案】C
【分析】
觀察表格中數(shù)據(jù)，越往后的年份的產(chǎn)值比上一年增加的越多，由此可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，再代入數(shù)值計(jì)算，即得答案.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知該企業(yè)年產(chǎn)值（萬(wàn)元）隨著新政策實(shí)施年數(shù)（年）的增加而增加，
結(jié)合2012年比2011年增加31萬(wàn)元，2021年比2020年增加82萬(wàn)元，
可知越往后的年份比上一年增加的產(chǎn)值越多，即y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，
結(jié)合三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），
可知（，且）為最符合實(shí)際的函數(shù)模型；
則，故，
故預(yù)測(cè)該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為，則（萬(wàn)元），
即預(yù)測(cè)該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為1109萬(wàn)元，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)的增加趨勢(shì)，即函數(shù)值的增加速度越來(lái)越快，從而確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，還要注意選擇接近于2024年的產(chǎn)值去計(jì)算，更為精確一些.
4．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由函數(shù)的數(shù)據(jù)即可得出答案.
【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，
偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B，D；
當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越快，可排除C.
故選：A.
5．（23-24高一上·湖北荊門(mén)·期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的熱門(mén)選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車(chē)，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)多次測(cè)試得到，該汽車(chē)每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：
為了描述國(guó)道上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.
(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車(chē)從地駛到地，前一段是的國(guó)道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量（單位：）與速度的關(guān)系是：（），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？
【答案】(1)選擇，
(2)當(dāng)這輛車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車(chē)從地到地的總耗電量最少，最少為.
【分析】
（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)選出符合的函數(shù)模型，并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式.
（2）先求得耗電量的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】（1）
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，所以不合題意；
對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，這與矛盾；
故選擇.
根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，
當(dāng)時(shí)，.
（2）
國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為:
，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；
高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，
所耗電量為
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以：
故當(dāng)這輛車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，
該車(chē)從地到地的總耗電量最少，最少為.
6．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，聯(lián)合國(guó)教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會(huì)通過(guò)決議，將中國(guó)“普洱景邁山古茶樹(shù)文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個(gè)茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗(yàn)表明，某種普洱茶用95的水沖泡，等茶水溫度降至60飲用，口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：）與時(shí)間（單位：分鐘）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
(1)給出下列三種函數(shù)模型：①，②，③，請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.
(2)根據(jù)（1）中所求模型，
（i）請(qǐng)推測(cè)實(shí)驗(yàn)室室溫（注：茶水溫度接近室溫時(shí)，將趨于穩(wěn)定）；
（ii）求剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.1）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)選模型②，理由見(jiàn)解析，解析式為
(2)（i）實(shí)驗(yàn)室室溫為，（ii）剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為．
【分析】
（1）由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，把前3組數(shù)據(jù)代入求出，，的值，即可得到函數(shù)解析式；
（2）（i）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解；（ii）令，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出的值即可．
【詳解】（1）
由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，
模型③為單調(diào)遞增的函數(shù)，不符合，
模型①為直線型，不符合遞減速度逐漸變慢，
故模型①③不符合，選模型②，
則，解得，
所以；
（2）
（i）因?yàn)楫?dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限接近于，
所以推測(cè)實(shí)驗(yàn)室室溫為；
令，則，
所以，
即剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為．
第二部分：新定義題
1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）對(duì)于整系數(shù)方程，當(dāng)?shù)淖罡叽蝺绱笥诘扔?時(shí)，求解難度較大.我們常采用試根的方法求解：若通過(guò)試根，找到方程的一個(gè)根，則，若已經(jīng)可以求解，則問(wèn)題解決；否則，就對(duì)再一次試根，分解因式，以此類(lèi)推，直至問(wèn)題解決.求根的過(guò)程中常用到有理根定理：如果整系數(shù)方程有有理根，其中、，，，那么，.符號(hào)說(shuō)明：對(duì)于整數(shù)，，表示，的最大公約數(shù)；表示是的倍數(shù)，即整除.
(1)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，借助有理根定理求切點(diǎn)橫坐標(biāo)；
(2)試證明有理根定理；
(3)若整數(shù)，不是3的倍數(shù)，且存在有理數(shù)，使得，求，.
【答案】(1)或或
(2)證明見(jiàn)解析
(3)，，，.
【分析】(1)由過(guò)點(diǎn)求切線的方法得出關(guān)于的方程，再試出一個(gè)方程的根，求出剩余根；
(2)由新定義變形整系數(shù)方程即得；
(3)先證得方程無(wú)整數(shù)解，設(shè)出有理根后代入求根即可求出，.
【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為，∵，當(dāng)時(shí)切線為，此時(shí)切線斜率為不合題意，所以，∴即：∴,
由有理根定理知，該方程有理根可能為：，，，經(jīng)驗(yàn)證滿足方程，
即有理根有，進(jìn)一步分解因式為：，
即：或或.
（2）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)有理根，因此在有理數(shù)域上，
從而
所以，可將分解為：，式中都是整數(shù)
比較兩邊系數(shù)，即得，.因此，，.
（3）求解之前先引入下面引理：
引理方程不存在整數(shù)解.
證明：假設(shè)存在整數(shù)解，即，
變形為,
∴是1的約數(shù)，即,
當(dāng)時(shí)，，因此不成立,
當(dāng)時(shí)，，即.
又因?yàn)檎麛?shù)，不是3的倍數(shù)，不妨設(shè)或，,
即或.所以是除以3余1的數(shù)，同理可得也是除以3余1的數(shù)；
所以除以3的余數(shù)為2，與矛盾,
所以不存在整數(shù)解.
下面正式求解：
假設(shè)這樣的寫(xiě)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是，其中.根據(jù)引理，，因此
，化簡(jiǎn)得到.
注意到是整數(shù)，所以是的約數(shù)，
另外，互質(zhì)，所以
代入回上面的式子，得到，即是4的約數(shù).
考慮到，互質(zhì)，
分別代入即可，當(dāng)時(shí)，，矛盾.
當(dāng)時(shí)，也就是，.
可得：，，，.
若，則，故，又，故符合；
綜上，或或.
（3）,
當(dāng)時(shí)，，故，故
因?yàn)閷?duì)，使不等式成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，而在上恒成立，
故在上恒成立，
設(shè)，，
因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，故，為增函數(shù)，
故，
設(shè)，
設(shè)，
則，
而，故，故，
即，故為減函數(shù)，
故，故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與取整函數(shù)有關(guān)的證明問(wèn)題，可將實(shí)數(shù)表示整數(shù)部分和小數(shù)部分，從而便于證明，而與絕對(duì)值有關(guān)的不等式恒成立或有解問(wèn)題，注意利用公式去掉絕對(duì)值符號(hào)，便于參變分離.
3．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）人們很早以前就開(kāi)始探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題，牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法，這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用.設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程：—①，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，，，可以得到，方程①可變?yōu)椋海归_(kāi)得：—②，比較①②可以得到一元三次方程根與系數(shù)關(guān)系：
(1)若一元三次方程：的3個(gè)根為，，，求的值；
(2)若函數(shù)，且，，求的取值范圍；
(3)若一元四次方程有4個(gè)根為，，，，仿造上述過(guò)程，寫(xiě)出一元四次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據(jù)題意得到，，再利用完全平方公式即可得解；
（2）觀察條件，構(gòu)造函數(shù)，從而得到是方程的三個(gè)根，進(jìn)而得到，由此得解；
（3）利用多項(xiàng)式運(yùn)算，依照一元三次方程根與系數(shù)關(guān)系求解的過(guò)程即可得解.
【詳解】（1）依題意，對(duì)于，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)椋瑒t，
令，則是方程的三個(gè)根，
因?yàn)?，所以，則，
因?yàn)椋?br>（3）因?yàn)椋ǎ┯?個(gè)根為，，，，
所以，
展開(kāi)得
，
對(duì)比可得一元四次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是，觀察式子轉(zhuǎn)化得，從而構(gòu)造函數(shù)得解.
0
40
60
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年產(chǎn)值
278
309
344
383
427
475
528
588
655
729
811
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
0
10
40
60
0
1325
4400
7200
時(shí)間／分鐘
0
1
2
3
4
5
水溫／
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

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