2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第12講：拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1、定義：如果當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零（或都趨于無(wú)窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱(chēng)為型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，及；
（2）在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心 \t "" 鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；
（3）；
則：.
3、定理2（型）：若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：(1) 及；
(2)，和在與上可導(dǎo)，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：(1) 及；
(2)在點(diǎn)的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
(3)，
那么 =.
5、將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.
6、若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:
A．B．C．1D．2
3．（23-24高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（）
A．0B．C．1D．2
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書(shū)中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿(mǎn)足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書(shū)中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿(mǎn)足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．
3．（23-24高二下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．
類(lèi)型二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
典型例題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
第12講：拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題
一、型及型未定式
1、定義：如果當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零（或都趨于無(wú)窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱(chēng)為型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，及；
（2）在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心 \t "" 鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；
（3）；
則：.
3、定理2（型）：若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：(1) 及；
(2)，和在與上可導(dǎo)，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：(1) 及；
(2)在點(diǎn)的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
(3)，
那么 =.
5、將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.
6、若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:
,如滿(mǎn)足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.
二、型、、、型
1、型的轉(zhuǎn)化：
或；
2、型的轉(zhuǎn)化：
3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類(lèi)
高頻考點(diǎn)類(lèi)型
類(lèi)型一：洛必達(dá)法則的簡(jiǎn)單計(jì)算
典型例題
1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我們把分子?分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型.兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.如：，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意利用洛必達(dá)法則求解即可
【詳解】由題意得，
故選：B
2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）兩個(gè)無(wú)窮小之比或兩個(gè)無(wú)窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過(guò)對(duì)分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法，如，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可.
【詳解】.
故選：B.
3．（23-24高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可
【詳解】，
故選：D
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書(shū)中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿(mǎn)足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．
【答案】
【分析】由洛必達(dá)法則，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，代入即可求得該極限值.
【詳解】由題意可得：．
故答案為：.
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書(shū)中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿(mǎn)足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．
【答案】2
【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達(dá)法則，直接計(jì)算可求得答案.
【詳解】由題意可得：,
故答案為：2.
3．（23-24高二下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．
【答案】/0.5
【分析】依據(jù)洛必達(dá)法則去計(jì)算即可解決.
【詳解】
故答案為：
類(lèi)型二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
典型例題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；
（2）通過(guò)構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；
（3）通過(guò)換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價(jià)于，
即證，
記，則，
所以，
即有對(duì)任意，均有，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，證畢!
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】
【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，令，利用洛必達(dá)法則求出，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題目的條件，當(dāng)且時(shí)，
得，等價(jià)于．
設(shè)，，
因?yàn)?，設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，當(dāng)在上單調(diào)遞增．
當(dāng)趨近時(shí)，趨近，當(dāng)趨近時(shí)，趨近，
所以符合洛必達(dá)法則的條件，
即，
所以當(dāng)時(shí)，
所以的取值范圍是．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
使得當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，
則，
④當(dāng)時(shí)，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
，即在上遞增，則成立.
綜上所述，若函數(shù)恒成立，則.
方法二
當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，則，
又，
令，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
在上單調(diào)遞增.
，
，故，
，又，
，故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，法一：由求解；法二：轉(zhuǎn)化為由求解.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同根，構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性與零點(diǎn)得方程有兩個(gè)不等實(shí)根，利用換元法得，構(gòu)造，法一、將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論計(jì)算即可；法二、利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性結(jié)合洛必達(dá)法則最小值即可.
【詳解】（1）易知的定義域?yàn)椋?
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程為：，
把點(diǎn)帶入切線得：，
所以，的切線方程為：；
（2），
又有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
則有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
構(gòu)造函數(shù)，
則為增函數(shù)，且，
即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則，
則，
設(shè)，
法一、原不等式恒成立等價(jià)于恒成立，
令，
由單調(diào)遞增，即，
若單調(diào)遞增，即恒成立，
此時(shí)符合題意；
若有解，此時(shí)有時(shí)，單調(diào)遞減，則，不符合題意；
綜上所述：的取值范圍為.
法二、，
設(shè)，在恒成立，
在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞增，所以，
，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于：需要利用同型構(gòu)造根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)得出有兩個(gè)不同零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性與零點(diǎn)得出方程有兩個(gè)不等實(shí)根，再將零點(diǎn)換元將問(wèn)題化為，一種方法是含參分類(lèi)討論，一種方法是利用洛必達(dá)法則求函數(shù)最值.

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