TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6755" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc6755 \h 1
\l "_Tc3847" 題型一：用基底表示向量 PAGEREF _Tc3847 \h 1
\l "_Tc17278" 題型二：平面向量共線定理及推論 PAGEREF _Tc17278 \h 2
\l "_Tc10402" 題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc10402 \h 4
\l "_Tc1166" 題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍） PAGEREF _Tc1166 \h 5
\l "_Tc22002" 題型五：平面向量的模（含最值，范圍） PAGEREF _Tc22002 \h 7
\l "_Tc23743" 題型六：向量的夾角 PAGEREF _Tc23743 \h 8
\l "_Tc6174" 題型七：投影向量 PAGEREF _Tc6174 \h 8
\l "_Tc29854" 題型八：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc29854 \h 10
\l "_Tc31098" 題型九：三角形形狀問題 PAGEREF _Tc31098 \h 12
\l "_Tc2369" 題型十：三角形個數(shù)問題 PAGEREF _Tc2369 \h 13
\l "_Tc30348" 題型十一：三角形周長（邊長）問題 PAGEREF _Tc30348 \h 14
\l "_Tc12726" 題型十二：三角形面積問題 PAGEREF _Tc12726 \h 15
\l "_Tc11335" 第二部分：新定義題 PAGEREF _Tc11335 \h 17
第一部分：典型例題講解
題型一：用基底表示向量
1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，且線段EF交AC于點P．若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·全國·期中）在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在中，為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
題型二：平面向量共線定理及推論
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，則（ ）
A．三點共線B．三點共線C．三點共線D．三點共線
2．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，若三點共線，則（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2024·陜西西安·一模）在中，點是線段上一點，點是線段上一點，且，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（多選）（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為線段上一點，且有，則下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為
5．（23-24高一下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在中，，為線段上的動點，與相交于點，設(shè)，，則的最小值為 ．
6．（23-24高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點是的中點，點在線段上，若，則的值為 .

7．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（， 交兩點不重合）.若，，則的最小值為 .
8．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在中，點為上一點，且．
(1)請用向量表示向量；
(2)過點的直線與，所在直線分別交于點，，且滿足，，求證：．
題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示
1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量，，若向量與共線，則（ ）
A．－2B．C．2D．5
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．1
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，不共線，向量，，且，則 ．
4．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則 ．
5．（23-24高一下·四川眉山·階段練習(xí)）（1）化簡：；
（2）設(shè)是不共線的兩個向量.若與共線，求實數(shù)k的值.
6．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求.
7．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知向量.
(1)當(dāng)為何值時，與垂直?
(2)當(dāng)為何值時，與平行?
8．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知.
(1)求與夾角的余弦值；
(2)若，求實數(shù)的值.
題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，，點是內(nèi)一動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）在中，滿足，，，則（ ）
A．49B．0C．576D．168
3．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點在線段與線段上運(yùn)動，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則 ．

5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）圓是銳角的外接圓，，則的取值范圍是 ．
6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點，則的最小值為 ．

7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運(yùn)動，則的取值范圍為 ．
8．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，點是的中點，是上靠近點的三等分點.
(1)設(shè)，求的值；
(2)若，，求的值.
題型五：平面向量的模（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A．7B．C．D．
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
4．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為 ．
5．（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是 ．
6．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習(xí)）已知向量滿足．
(1)求向量與夾角的余弦值；
(2)求的值．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）在直角梯形中，已知，，，動點、分別在線段和上，且，．
(1)當(dāng)時，求的值；
(2)求向量的夾角；
(3)求的取值范圍．
8．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，，．
(1)求與夾角；
(2)若與垂直，求點的坐標(biāo)；
(3)求的取值范圍．
題型六：向量的夾角
1．（2024·陜西商洛·三模）已知非零向量滿足，則（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為 .
3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，，．
(1)求；
(2)若，求向量與的夾角．
4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
5．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，且，，與交于點.
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)求的值.
6．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在邊長為4的等邊中，，D為邊AC的中點，BD與AM交于點N．
(1)求證：；
(2)求的值．
題型七：投影向量
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，，則在的方向上的投影向量是 ．(結(jié)果寫坐標(biāo))
4．（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知向量滿足，則向量在上的投影向量為 .
5．（23-24高三下·福建泉州·階段練習(xí)）已知，，且，則在上的投影向量為
題型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，平面四邊形的對角線交點位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時，對角線的最大值為（ ）
A．B．C．4D．6
2．（2024·陜西西安·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積，（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）中，角所對的邊分別為，若，且，則角
5．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則 ．
6．（2024高三·上海·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則當(dāng)取得最大值時， .
7．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍.

8．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
題型九：三角形形狀問題
1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的三內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
3．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，設(shè)的面積為，若，則此三角形的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
4．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，，則有一解
B．若，則一定是銳角三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是等腰三角形
5．（多選）（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則是鈍角三角形
B．若，則
C．若，則是銳角三角形
D．若，則一定為銳角三角形
6．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，則一定是等腰三角形
B．若，則為銳角三角形
C．若，則一定是等邊三角形
D．若，則是等腰三角形
題型十：三角形個數(shù)問題
1．（多選）（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且恰有一解，則的取值范圍是
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A．7B．14C．15D．16
3．（多選）（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）滿足下列條件的三角形有兩個解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．（多選）（23-24高一下·湖北·期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
6．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列條件判斷三角形解的情況，正確的是 （填序號）；
①，，，有兩解；
②，，，有一解；
③，，，無解；
④，，，有一解．
題型十一：三角形周長（邊長）問題
1．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
2．（2024高三·廣東·專題練習(xí)）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是 .
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）銳角的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則的取值范圍為 ．
4．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a，b，c，，D為邊AC上一點，滿足且，則的最小值為 ．
5．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
6．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.
(1)求m的值；
(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.
7．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范圍.
8．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知．
(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；
(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．
題型十二：三角形面積問題
1．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在等邊三角形的三邊上各取一點，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，則面積S的取值范圍 .
4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知中，在線段上，．
(1)若，求的長；
(2)求面積的最大值．
5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.
(1)求；
(2)若內(nèi)角的角平分線交于點，且，求的面積的最小值.
6．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求角的大??；
(2)是邊上一點，且，求面積的最大值．
7．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：
出與共線的單位向量；
(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點，使得?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
3．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
(1)設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點列，，，…，滿足，為坐標(biāo)原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．
4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）n個有次序的實數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量，其中稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個n維向量，若，稱為n維信號向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(2)證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；
(3)已知k個兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：.
5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點．在費(fèi)馬問題中所求的點稱為費(fèi)馬點．已知a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，點為的費(fèi)馬點．
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范圍．
6．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）定義非零向量若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．
(1)已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知點滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時取得最大值，當(dāng)點運(yùn)動時，求的取值范圍；
(3)已知向量的“伴生函數(shù)”在時的取值為．若在三角形中，，，若點為該三角形的外心，求的最大值.
第10講：第五章 平面向量及解三角形 章節(jié)總結(jié)
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6755" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc6755 \h 1
\l "_Tc3847" 題型一：用基底表示向量 PAGEREF _Tc3847 \h 1
\l "_Tc17278" 題型二：平面向量共線定理及推論 PAGEREF _Tc17278 \h 4
\l "_Tc10402" 題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc10402 \h 10
\l "_Tc1166" 題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍） PAGEREF _Tc1166 \h 13
\l "_Tc22002" 題型五：平面向量的模（含最值，范圍） PAGEREF _Tc22002 \h 18
\l "_Tc23743" 題型六：向量的夾角 PAGEREF _Tc23743 \h 24
\l "_Tc6174" 題型七：投影向量 PAGEREF _Tc6174 \h 24
\l "_Tc29854" 題型八：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc29854 \h 31
\l "_Tc31098" 題型九：三角形形狀問題 PAGEREF _Tc31098 \h 37
\l "_Tc2369" 題型十：三角形個數(shù)問題 PAGEREF _Tc2369 \h 41
\l "_Tc30348" 題型十一：三角形周長（邊長）問題 PAGEREF _Tc30348 \h 44
\l "_Tc12726" 題型十二：三角形面積問題 PAGEREF _Tc12726 \h 52
\l "_Tc11335" 第二部分：新定義題 PAGEREF _Tc11335 \h 60
第一部分：典型例題講解
題型一：用基底表示向量
1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，且線段EF交AC于點P．若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】，將用表示，再根據(jù)E，F(xiàn)，P三點共線，求得λ即可得答案．
【詳解】由E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，得，
設(shè)，由E，F(xiàn)，P三點共線，得，解得，
所以.
故選：B
2．（23-24高一下·全國·期中）在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.
【詳解】

如圖，因，則，即，
解得：.
故選：A.
3．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在中，為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算及共線向量關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知.故選：C.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接并延長，交于點，根據(jù)為的中心，易得為的中點，E為的中點，利用平面向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】解：如圖所示：

連接并延長，交于點，
因為為的中心，
所以為的中點．
又為的中點，
，
，
故選：B．
5．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算分析求解.
【詳解】因為，則，
整理得，即.
故選：A.
題型二：平面向量共線定理及推論
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，則（ ）
A．三點共線B．三點共線C．三點共線D．三點共線
【答案】C
【分析】由題意，根據(jù)平面向量的基本定理，結(jié)合選項依次計算即可求解.
【詳解】A：假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，無解，所以假設(shè)不成立，故A錯誤；
B：假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，無解，所以假設(shè)不成立，故B錯誤；
C：，
假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，解得，所以假設(shè)成立，故C正確；
D：，
假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，無解，所以假設(shè)不成立，故D錯誤.
故選：C
2．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，若三點共線，則（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合三點共線，得到，列出方程組，即可求解.
【詳解】由向量，
可得，
因為三點共線，可得，即，
所以，解得.
故選：C.
3．（2024·陜西西安·一模）在中，點是線段上一點，點是線段上一點，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到，解得即可.
【詳解】因為，所以，即，
又，所以，
因為點是線段上一點，即、、三點共線，
所以，解得.
故選：A
4．（多選）（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為線段上一點，且有，則下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】由題意得，結(jié)合三點共線即可判斷AB，由基本不等式即可判斷CD.
【詳解】
因為為線段上一點，
所以，
而點線段上面，所以，故A錯，B對，
由基本不等式得，解得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，C對，
，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，D對.
故選：BCD.
5．（23-24高一下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在中，，為線段上的動點，與相交于點，設(shè)，，則的最小值為 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量的推論求出的關(guān)系，再借助對勾函數(shù)性質(zhì)求出最小值.
【詳解】在中，由為線段上的動點，，得，
則，
則，又，于是，
因為點共線，因此，解得，
令，則，，
顯然對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，，
所以當(dāng)時，取得最小值1.
故答案為：1
6．（23-24高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點是的中點，點在線段上，若，則的值為 .

【答案】/
【分析】利用向量運(yùn)算得，然后利用三點共線列方程求解即可.
【詳解】由題意得，，
因為，D，F(xiàn)三點共線，所以，解得.
故答案為：
7．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（， 交兩點不重合）.若，，則的最小值為 .
【答案】.
【分析】
先用表示，利用已知代入表達(dá)式，結(jié)合D，E，F(xiàn)三點共線可得，然后妙用“1”可解.
【詳解】
因為，所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
因為D，E，F(xiàn)三點共線，所以，結(jié)合已知可知，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，取等號；
即的最小值為，
故答案為：
8．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在中，點為上一點，且．
(1)請用向量表示向量；
(2)過點的直線與，所在直線分別交于點，，且滿足，，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性表示與運(yùn)算法則，用表示向量即可；
（2）由，，三點共線可設(shè)，結(jié)合已知條件得，又為上一點，且，故，由平面向量基本定理得，即可證明．
【詳解】（1）因為，，
又，故得，
所以．
（2）由，，三點共線可設(shè)，又，，
，
為上一點，且，
，
，
所以．
題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示
1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量，，若向量與共線，則（ ）
A．－2B．C．2D．5
【答案】B
【分析】直接利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解．
【詳解】因為向量與共線，
所以，
解得．
故選：B．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示列式計算即可.
【詳解】因為，所以.
因為，所以，解得.
故選：B.
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，不共線，向量，，且，則 ．
【答案】
【分析】依題意可得，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因為向量，，且，
所以，即，
又，不共線，所以，可以作為平面內(nèi)的一組基底，
所以，解得.
故答案為：
4．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則 ．
【答案】
【分析】利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理列式計算得解.
【詳解】向量，不共線，則不是零向量，
由與共線，得，即
因此，解得，
所以.
故答案為：
5．（23-24高一下·四川眉山·階段練習(xí)）（1）化簡：；
（2）設(shè)是不共線的兩個向量.若與共線，求實數(shù)k的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)共線向量定理列出方程組解出即可；也可以利用向量共線時相應(yīng)系數(shù)比相等建立方程解出即可.
【詳解】（1）
（2）由于與共線，則存在實數(shù)，
使得，
即，而不共線，
因此，解得k的值是.
法二：由題意：，解得，
6．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)3；
(2).
【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，列式計算即得.
（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計算即得.
【詳解】（1）向量，，由，得，所以.
（2）向量，，由，得，所以.
7．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知向量.
(1)當(dāng)為何值時，與垂直?
(2)當(dāng)為何值時，與平行?
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示出與，由向量垂直的充要條件列方程求解即可.
（2）由向量平行的充要條件列方程求解即可.
【詳解】（1）因為，
，
，
若可得，
即，得，
即時，與垂直.
（2）當(dāng)時，有，
解得，
即時，與平行.
8．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知.
(1)求與夾角的余弦值；
(2)若，求實數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，準(zhǔn)確計算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，可得且，
則.
（2）解：由向量，可得，
因為，可得，
即，解得.
題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，，點是內(nèi)一動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖建系，可求得A,B,C,D的坐標(biāo)，設(shè)，則可得的表達(dá)式，根據(jù)x的范圍，即可求得答案.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則.
設(shè)，則，故，
即的取值范圍是.
故選：A
2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）在中，滿足，，，則（ ）
A．49B．0C．576D．168
【答案】A
【分析】由三角形三邊長滿足勾股定理可判斷和，再用向量數(shù)量積的定義式計算即可.
【詳解】因為，所以，
因為和的夾角等于，
所以，
故選：A.
3．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點在線段與線段上運(yùn)動，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出，，，四個點的坐標(biāo)，寫出向量，的坐標(biāo)，即可表示出，進(jìn)而可求得其范圍．
【詳解】如圖，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，
易知，，，
當(dāng)在線段上運(yùn)動，設(shè)，其中，
所以，，
則，
因為，所以，
當(dāng)在線段上運(yùn)動，設(shè)，則，且,
則，故，，
則，
因為，所以，綜上，的取值范圍為.
故選：C.
4．（2024·北京房山·一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則 ．

【答案】
【分析】用、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得.
【詳解】依題意，
，
所以
.
故答案為：
5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）圓是銳角的外接圓，，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算與銳角三角形外接圓的相關(guān)性質(zhì)即可求解.
【詳解】依題意，設(shè)中點，的中點為，則垂直平分，垂直平分，
則.
以為圓心，1為半徑作圓，則在該圓的四分之一圓弧上變化，如下圖，
為中垂線交點，連接，由三角形為銳角三角形，
根據(jù)臨界位置及圖形可知，而，
所以，則范圍是．
故答案為：.
6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】以點為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖，以點為原點建立直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
故，
所以，
則當(dāng)時，取得最小值.

故答案為：.
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運(yùn)動，則的取值范圍為 ．
【答案】．
【分析】解法一：建立平面直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示求再求其范圍；
解法二：根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求的范圍.
【詳解】解法一：，
記的交點為，以為原點，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
故，，
則，
故，又
則．
解法二：，
如圖2所示，當(dāng)M在線段AD上運(yùn)動時可得，
即，又，
所以．
故答案為：
8．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，點是的中點，是上靠近點的三等分點.
(1)設(shè)，求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由此可得；
（2）利用基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.
【詳解】（1），，，
.
（2）由（1）知：，
，
.
題型五：平面向量的模（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A．7B．C．D．
【答案】D
【分析】借助投影向量定義可計算出，結(jié)合向量模長公式計算即可得.
【詳解】由題意可得，向量在向量上的投影向量為，
則，解得，則，
故．
故選：D.
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)得，進(jìn)而得，即可得.
【詳解】因為，所以，
故.
故選：B
3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由，即得到點共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】設(shè)，
因為，，所以，
又，所以，所以點共圓，
要使的最大，即為直徑，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.
4．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)向量的夾角、模長及恒成立求出，將表示成關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值即可求解．
【詳解】∵，∴，
整理可得，
∵對任意，上式恒成立，∴；
由題意知，∴，∴．
∴．
故答案為：.
5．（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是 ．
【答案】[1,5]
【分析】
先表示出，再利用數(shù)量積的性質(zhì)，求出的范圍即可.
【詳解】∵，
∴，
，
∴，即
∴，
，即.
故答案為：.
6．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習(xí)）已知向量滿足．
(1)求向量與夾角的余弦值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角的計算公式計算即可；
（2）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計算即可.
【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，因為，
所以，
又，所以，
所以，
所以向量與夾角的余弦值為；
（2）由
，
所以．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）在直角梯形中，已知，，，動點、分別在線段和上，且，．
(1)當(dāng)時，求的值；
(2)求向量的夾角；
(3)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出和；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律即可求解.
（2）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出即可解答.
（3）先根據(jù)表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出；最后根據(jù)即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，
依題意知，，，.
則， .
因為，
，
.
所以.
因此.
因為， ，，
所以，，
所以.
（2）由（1）知.
因為，，
所以；
.
則.
因為，， ，
所以，
故向量的夾角為.
（3）由（2）可知：
，
.
則.
因為，， ，
所以
,
由題意知，，
所以的取值范圍是，
∴的取值范圍是．
8．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，，．
(1)求與夾角；
(2)若與垂直，求點的坐標(biāo)；
(3)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件得，再利用向量夾角公式，即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)，根據(jù)條件建立方程組，即可求出結(jié)果；
（3）由（1）和（2）得到，根據(jù)條件可轉(zhuǎn)化為圓上點到的距離，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，，
所以，
故，又，所以，
即與夾角為.
（2）因為，設(shè)，因為與垂直，且，
所以，解得，或，
所以或 .
（3）由（1）（2）知，，
所以，可看成點到點的距離，
又，且到原點的距離為
所以的最大值為，最小值為．
題型六：向量的夾角
1．（2024·陜西商洛·三模）已知非零向量滿足，則（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直得到，再應(yīng)用數(shù)量積公式及夾角公式計算即可.
【詳解】．
所以，又，
，由均為非零向量，
則，且在到之間，故．
故選：D．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為 .
【答案】
【分析】先利用向量的運(yùn)算律求得及，然后利用向量的夾角公式求解即可.
【詳解】因為平面向量滿足，
所以，
所以，即，
所以，
設(shè)與夾角為，則，
又，所以.
故答案為：
3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，，．
(1)求；
(2)若，求向量與的夾角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算與模長公式求解即可；
（2）設(shè)出向量的夾角，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可．
【詳解】（1）因為，
所以；
（2）向量，，可知，
設(shè)與的夾角為，可知與的夾角為：，,．
．，
可得，
可得，
所以，
解得．
4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示求出，再求出數(shù)量積即可.
（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再求出夾角的余弦.
【詳解】（1）向量，由，得，解得，又，
所以.
（2）向量，則，而，，
因此，解得，則，
，
所以與的夾角的余弦值為.
5．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，且，，與交于點.
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得；
（2）由數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得；
（3）依題意為向量與的夾角，求出，，再由夾角公式計算可得.
【詳解】（1）因為，，
所以，，
所以，；
（2）因為，，，
所以，
所以
.
（3）依題意為向量與的夾角，
又
，
，
所以.
6．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在邊長為4的等邊中，，D為邊AC的中點，BD與AM交于點N．
(1)求證：；
(2)求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過作交于，利用平行線的性質(zhì)可得答案；
（2）將用表示，然后分別求出以及，利用夾角公式求解即可.
【詳解】（1）過作交于，
因為，即，得，
所以，則由可得；
（2），
，
所以
，
，
所以.
題型七：投影向量
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，進(jìn)而利用投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為是的外接圓圓心，，
所以由平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，
因為，所以為等邊三角形，，
所以向量在向量上的投影向量為，
故選：A
2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義求解即可.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
則在上的投影向量為.
故選：B.
3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，，則在的方向上的投影向量是 ．(結(jié)果寫坐標(biāo))
【答案】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為，，
所以在的方向上的投影向量是，
故答案為：.
4．（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知向量滿足，則向量在上的投影向量為 .
【答案】
【分析】由投影向量的公式計算可得.
【詳解】，
又在上的投影向量為，
故答案為：.
5．（23-24高三下·福建泉州·階段練習(xí)）已知，，且，則在上的投影向量為
【答案】
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量的投影計算即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由可知①，
而，
所以
由可得②，
由①②可得，解得，則，
所以或者，
又，則向量在上的投影向量是.
故答案為：.
題型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，平面四邊形的對角線交點位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時，對角線的最大值為（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】設(shè)，利用余弦定理求得，表示出，進(jìn)而可求得，結(jié)合輔助角公式即可求得答案.
【詳解】由題意，，
設(shè)，
則由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
因為，則，
在中，
，
時，的最大值為，取得最大值，
故選：D
2．（2024·陜西西安·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理及得到，從而求出，再由及正弦定理計算可得.
【詳解】由余弦定理可得，所以，
則．
又因為，即，所以，顯然，又，
所以（負(fù)值舍去）．所以，
又因為，所以，所以，
所以．
故選：C
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理解三角形即可得解.
【詳解】在中，由正弦定理得，
得.
由余弦定理得，
化簡整理得，得.
故選：C
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）中，角所對的邊分別為，若，且，則角
【答案】
【分析】根據(jù)求出，根據(jù)得到即可求解.
【詳解】，，，
，，
，
，
，
，
因為，所以，
或（舍），，
因為，
即，，
，，
，.
故答案為：.
5．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理即可求出.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，
，所以，
又因為，所以，
從而，又外接圓的半徑為，
所以由正弦定理得．
故答案為：.
6．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則當(dāng)取得最大值時， .
【答案】
【分析】由正弦定理可求出的外接圓半徑，借助于正弦定理進(jìn)行邊化角運(yùn)算可得，在中，，由兩角和的正弦公式展開代入的正余弦值計算，由輔助角公式即可求出結(jié)果.
【詳解】解：，，設(shè)外接圓半徑為．則，
得，
則
，
其中，，．
當(dāng)．即時，取得最大值，
此時．所以.
故答案為：
7．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到，進(jìn)而求得，即可求解.
（2）不妨設(shè)，在中，利用正弦定理，化簡得到，根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，
又因為，可得，所以，
又由，可得，所以，所以，
解得或（舍去），
因為，所以.
（2）解：不妨設(shè)，則，
在中，可得，
因為是銳角三角形，所以且，
則，所以，可得，
所以，所以.

8．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關(guān)系式即可得解.
（2）在中，確定三邊的長度關(guān)系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求.
【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理知，
所以，所以，
因為，所以，則①，
由，
則，
因為，所以，則，
在中，由余弦定理知，則②，
由①②得，．
（2）因為，所以，，
在中，由余弦定理知
同理在中，，
因為，所以，
則，
由（1）知，，所以，
在中，由余弦定理知
，
所以．
題型九：三角形形狀問題
1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理及三角恒等變換化簡求出角即可得解.
【詳解】因為，
所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因為，所以，則，
所以，所以為直角三角形，
故選：B．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的三內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用平面向量平行的條件得，再利用余弦定理可得邊的關(guān)系，即可得解.
【詳解】由題意，向量，且，
則，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形狀為等腰或直角三角形.
故選：D.
3．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，設(shè)的面積為，若，則此三角形的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】首先由三角形面積公式數(shù)量積定義得，結(jié)合化簡得，即，由此即可判斷.
【詳解】因為，所以，解得，
又，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，即，
又，
所以此三角形的形狀為等邊三角形.
故選：C.
4．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，，則有一解
B．若，則一定是銳角三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是等腰三角形
【答案】C
【分析】利用正弦定理判斷A，利用余弦定理判斷B，利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式判斷CD，從而得解.
【詳解】對于A，，則，
可知，此時有兩解，故A錯誤；
對于B，由余弦定理得，，
所以，但只能說明為銳角，或有可能為鈍角，故B錯誤；
對于C，由正弦定理得，得，
則，再由正弦定理得，所以一定是等腰三角形，故C正確；
對于D，由余弦定理可得，
得，得，
得，則或，
故或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯誤.
故選：C.
5．（多選）（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則是鈍角三角形
B．若，則
C．若，則是銳角三角形
D．若，則一定為銳角三角形
【答案】ABD
【分析】對于，由正弦定理可得，設(shè)，，，結(jié)合余弦定理即可判斷；對于，在中根據(jù)正弦定理即可判斷；對于，由向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得為銳角，無法判斷和；對于，由兩角和的正切公式可得，所以，即可判斷.
【詳解】對于A：在中，由正弦定理可得，設(shè)，，，且邊最大，由余弦定理可得
，
所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，故正確；
對于B：在中，因為，根據(jù)正弦定理得，所以，故正確；
對于C：因為，所以，
所以角為銳角，但無法判斷角和角，故不正確；
對于D：在中，，
則，
所以，
因為三角形中最多只有一個鈍角，所以，，，即三個角都為銳角，故正確.
故選：.
6．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，則一定是等腰三角形
B．若，則為銳角三角形
C．若，則一定是等邊三角形
D．若，則是等腰三角形
【答案】CD
【分析】利用正弦定理化邊為角結(jié)合二倍角的正弦公式即可判斷A；利用余弦定理即可判斷B；利用正弦定理化邊為角即可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理即可判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以，
所以，所以或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
對于B，由正弦定理可得，
則，則為銳角，但是兩角無法判斷其是否為銳角，
如當(dāng)時，，，
為鈍角三角形，故B錯誤；
對于C，因為，所以，
所以，且，所以，
所以為等邊三角形，故C正確；
對于D，因為，所以，
即，則，
又因為，所以或（舍去），
所以為等腰三角形，故D正確.
故選：CD.
題型十：三角形個數(shù)問題
1．（多選）（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且恰有一解，則的取值范圍是
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，結(jié)合正弦、余弦定理可判斷三角形有幾個解和特殊三角形所要滿足的條件.
【詳解】選項：由正弦定理，，
且，則，選項正確；
選項：①，則；
②且，則
綜上或，選項錯誤；
選項：①為最大邊：，且，此時；
②為最大邊：，且，此時，選項錯誤；
選項：，且，所以，選項正確；
故選；．
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A．7B．14C．15D．16
【答案】BC
【分析】
根據(jù)三角形有兩解的條件，判斷的范圍，即可得出正確選項.
【詳解】由題意，當(dāng)滿足，即時，
滿足條件的三角形有且僅有兩個，
因為，所以，
而，
所以的取值可能為14，15.
故選：BC
3．（多選）（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）滿足下列條件的三角形有兩個解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BD
【分析】
利用正弦定理，逐項判斷計算作答
【詳解】
對于A，，又，只有一解，不合題意；
對于B，，又，則有兩解，符合題意；
對于C，，則不存在，無解，不合題意；
對于D，，又，則有兩解，符合題意.
故選：BD
4．（多選）（23-24高一下·湖北·期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BD
【分析】用與點A到邊BC的距離及的長比較大小可判斷A，B，C；求三角形各邊及角可判斷D.
【詳解】選項A，點A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；
選項B，點A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
選項C，點A到邊BC的距離是，三角形無解；
選項D，根據(jù)已知可解出，，
∴三角形有唯一解.
故選：BD.
5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)利用正弦定理，結(jié)合三角形有1個解的條件即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，，，
由正弦定理得：，則，
三角形只有一個解，則或，
則或，即或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
6．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列條件判斷三角形解的情況，正確的是 （填序號）；
①，，，有兩解；
②，，，有一解；
③，，，無解；
④，，，有一解．
【答案】④
【分析】對于①，由正弦定理求得，可判斷三角形解的個數(shù)；對于②，由正弦定理求得，結(jié)合三角形中大邊對大角性質(zhì)，可判斷三角形解的個數(shù)；對于③，由正弦定理，結(jié)合，可得解的個數(shù)；對于④，由正弦定理得 ，結(jié)合可得三角形的解有一個，由此可得答案.
【詳解】對①：由正弦定理，所以，
又因為，所以有一解，故①錯誤；
對②：正弦定理，所以，
又因為，所以，則三角形的解有兩解，故②錯誤；
對③：由正弦定理，所以，
又因為且，可得有一解，所以三角形的解有一個，故③錯誤；
對于④，由正弦定理，所以，
又因為且，可得有一解，所以三角形的解有一個，故④正確，
故答案為：④.
題型十一：三角形周長（邊長）問題
1．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
【答案】
【分析】先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進(jìn)行化簡得出：；再結(jié)合和余弦定理得出的值即可求解.
【詳解】因為，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因為，
所以，整理得：，
則，
所以，
故答案為：.
2．（2024高三·廣東·專題練習(xí)）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)用余弦定理化簡得到，再結(jié)合正弦定理化簡得出，從而可得，從而可得，令，，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因為，則，
所以，即．
因為是銳角三角形，所以，，所以．
又在上單調(diào)遞增，所以，則．
因為是銳角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因為，所以．
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故.
故答案為：．
【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：
①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）銳角的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式得到，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)與銳角三角形的特點推得的取值范圍，再次利用正弦定理的邊角變換轉(zhuǎn)化所求為，從而得解.
【詳解】因為，則，
所以，
由正弦定理得，
又，故，
因為在銳角中，，所以或，
當(dāng)時，，
所以，解得，符合題意；
當(dāng)時，，此時，不合題意；
綜上，，
又，
而，所以，
則的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是，利用，結(jié)合銳角三角形內(nèi)角的特點求得的取值范圍，從而得解.
4．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a，b，c，，D為邊AC上一點，滿足且，則的最小值為 ．
【答案】18
【分析】由條件可推得平分，利用三角形等面積轉(zhuǎn)化可得，求出代入所求式，整理后運(yùn)用基本不等式即可求得.
【詳解】
如圖，過點作交于點，則,,,
又由可得,故得，則,故平分.
因，故由可得，化簡得，即，，
則，因，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.
故且時，取得最小值為18.
【點睛】思路點睛：本題主要考查與三角形的內(nèi)角平分線有關(guān)的等面積問題和基本不等式的應(yīng)用.
解題思路在于由要能發(fā)現(xiàn)和證明平分，再利用三角形等面積替換得出，最后通過消元將所求式化成單變量解析式，拼湊運(yùn)用基本不等式即可求最值.
5．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換整理可得，即可得結(jié)果；
（2）由（1）可知，分析可得，，根據(jù)正弦定理邊化角，利用三角恒等變換結(jié)合基本不等式分析求解.
【詳解】（1）因為，
可得，
且，所以．
（2）由（1）可知，，則，，
因為，且，
可得，則，
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．
6．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.
(1)求m的值；
(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及倍角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可求實數(shù)的值；
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式的關(guān)系進(jìn)行求解．
【詳解】（1），
， ，
當(dāng)時，即時，函數(shù)取得最大值，
則．
（2），
，
由于為銳角，所以
由余弦定理得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又，所以，
的周長，
7．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進(jìn)而求解即可；
（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1），
，即，
由正弦定理得，，
，
，
，，
由，得.
（2）由（1）知，，
因為，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，，
，
，,
，
，，，
所以的取值范圍為.

8．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知．
(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；
(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角恒等變換，可得的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；
（2）由求出B，由正弦定理求出的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡可得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出其范圍，即可得三角形周長的取值范圍.
【詳解】（1）由于，
故
，
由，得
故函數(shù)圖象的對稱軸方程為；
（2）由，得，而,
故，
由于，則，
則，
則
，
而，
則，即，
故周長的取值范圍為.
題型十二：三角形面積問題
1．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在等邊三角形的三邊上各取一點，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，設(shè)，，在、分別利用正弦定理表示出、，從而得到，利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，即可求出三角形面積最大值.
【詳解】因為，，，所以，
設(shè)，，
則，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以
（其中），
所以，
則，
即三角形的面積的最大值是.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是用含的式子表示出、，再利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出.
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面積公式結(jié)合正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍即可.
【詳解】且，,
根據(jù)正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面積
為銳角三角形，，，
，，
，
.
故選：C.
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，則面積S的取值范圍 .
【答案】
【分析】本題為正余弦定理的綜合運(yùn)用題型，先利用正余弦定理進(jìn)行角化邊得出角A，再根據(jù)已有條件選定面積公式為，面積變?yōu)殛P(guān)于邊c的函數(shù)，再利用角B和角C的關(guān)系進(jìn)行邊化角和角歸一即可求出答案.
【詳解】因為，所以由正弦定理有，整理得，
所以由余弦定理有，又，所以，
又，所以由正弦定理有，
因為為銳角三角形，所以且，所以，
所以，則，所以，即，
所以.
故答案為：.
4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知中，在線段上，．
(1)若，求的長；
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先利用正弦定理求得，再利用余弦定理即可得解.
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式與三角形面積公式求得的最大值，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）
因為在線段上，，
所以，又，，
在中，，即，
則，又，所以，則，
在中，
，
所以．
（2）
在中，，
所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
所以，即的最大值為．
因為，所以，
故的最大值為．
5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.
(1)求；
(2)若內(nèi)角的角平分線交于點，且，求的面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角之間互化，再根據(jù)三角恒等變化化簡求值；
（2）利用三角形面積公式得到，從而利用基本不等式求得，由此可得面積的最小值.
【詳解】（1）由正弦定理可得，,
所以，即，
因為是的內(nèi)角，所以，
得，所以，
所以.
（2）因為，平分，所以，又，
則由，得，
所以，
又，則，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，
故最小值為.
6．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求角的大??；
(2)是邊上一點，且，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可求出，即可得；
（2）根據(jù)線段比例和中分別利用余弦定理可得，再由即可得，利用基本不等式可求出，代入面積公式即可得面積的最大值.
【詳解】（1）在中，由，根據(jù)正弦定理可得
因為B為三角形內(nèi)角可知，，且，
所以，即
因為A為三角形的內(nèi)角，，故；
所以，即.
（2）
是邊上一點，且，所以；
如下圖所示：

中，由余弦定理可得，
中，由余弦定理可得，
因為；
所以可得
整理可得，
中，由余弦定理可得；
聯(lián)立兩式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時
所以
所以面積的最大值為.
7．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長.
（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，
選擇①，因為，所以，
因為，，所以，
整理得，
方程無實數(shù)解，所以不存在．
選擇②，因為，所以，
因為，所以，所以，
因為，，所以，
整理得，方程無實數(shù)解，所以不存在．
選擇③，由得：，
所以，即，所以，
因為以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周長為．
（2）由（1）知，，面積，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范圍為，
而面積.
第二部分：新定義題
1．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習(xí)）設(shè)平面內(nèi)兩個非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：．試求解下列問題，
(1)已知向量滿足，求的值；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
【答案】(1)2
(2)7
(3)9
【分析】（1）借助新定義計算即可得；
（2）借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計算可得，代入數(shù)據(jù)計算即可得；
（3）由，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合基本不等式計算即可得.
【詳解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）設(shè)，則，
所以，
，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
所以的最小值的最小是9．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計算得到.
2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時，求的值；
(2)設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量；
(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點，使得?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【答案】(1)；
(2)，；
(3)存在點，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)向量的伴隨函數(shù)求出，再將所求角用已知角表示，結(jié)合三角恒等變換即可求解；
（2）化簡函數(shù)解析式，根據(jù)相伴特征向量的定義即可求得，繼而進(jìn)一步計算即可；
（3）根據(jù)題意確定的值，繼而得到函數(shù)，繼而得到，設(shè)點，再根據(jù)向量的垂直關(guān)系進(jìn)行計算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性得到答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意知，向量的相伴函數(shù)為，
當(dāng)時，，
又，則，所以，
故.
（2）因為，
故函數(shù)的相伴特征向量，
則與共線單位向量為.
（3）因為，
其相伴特征向量，故，所以，則，
，
設(shè)點，又，，
所以，
若，則，
即，，
因為，故，
又，故當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，
故在的圖象上存在一點，使得.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：理解相伴特征向量和相伴函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.
3．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
(1)設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點列，，，…，滿足，為坐標(biāo)原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“長向量”的定義，列不等式，求的取值范圍即可得；
（2）由題意可得，亦可得，故只需使，計入計算即可得；
（3）首先由，，均是向量組，，的“長向量”，變形得到，設(shè),由條件列式，變形為，轉(zhuǎn)化為求的最小值.
【詳解】（1）由題意可得：，則，解得：；
（2）存在“長向量”，且“長向量”為，，理由如下：
由題意可得，
若存在“長向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
當(dāng)或時，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為，；
（3）由題意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化簡，得：，
即，，所以，
設(shè)，由得：，
設(shè)，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，理解“長向量”的定義，前兩問均是利用定義解題，第三問注意轉(zhuǎn)化關(guān)系，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為.
4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）n個有次序的實數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量，其中稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個n維向量，若，稱為n維信號向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(2)證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；
(3)已知k個兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：.
【答案】(1)，，，；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到有5個分量為，設(shè)的前5個分量中有r個，得到5個分量中有個，進(jìn)而求得r的值，即可求解；
（3）任取，得到，設(shè)的第個分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）兩兩垂直的4維信號向量可以為：，，，.
（2）假設(shè)存在10個兩兩垂直的10維信號向量，，…，，
因為將這10個向量的某個分量同時變號或?qū)⒛硟蓚€位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設(shè)，，
因為，所以有5個分量為，
設(shè)的前5個分量中有r個，則后5個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在10個兩兩垂直的10維信號向量.
（3）任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到S，
則，
設(shè)，，…，的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為S的貢獻(xiàn)為，
所以，
令，所以，所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題以新定義為背景考查向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給線性相關(guān)的定義進(jìn)行運(yùn)算判斷.
5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點．在費(fèi)馬問題中所求的點稱為費(fèi)馬點．已知a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，點為的費(fèi)馬點．
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據(jù)三角恒等變換即可結(jié)合同角關(guān)系求解，
（2）根據(jù)余弦定義以及等面積法可得，即可根據(jù)數(shù)量積的定義求解，
（3）根據(jù)余弦定理，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，進(jìn)而根據(jù)三角形相似可得，由基本不等式以及三角形邊角關(guān)系可得，即可由函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】（1）
，
，
，
，
又，，
，,，
（2）
，
，又，
，
設(shè)，，，
，三角形的三個角均小于120，
根據(jù)題意可得，
又，
，
，
故，進(jìn)而
【點睛】方法點睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化. （3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標(biāo)函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.
6．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）定義非零向量若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．
(1)已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知點滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時取得最大值，當(dāng)點運(yùn)動時，求的取值范圍；
(3)已知向量的“伴生函數(shù)”在時的取值為．若在三角形中，，，若點為該三角形的外心，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，參變分離后，寫出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可；
（2）根據(jù)題中條件求得的值，繼而求得，利用二倍角公式求得的表達(dá)式，換元后利用函數(shù)單調(diào)性即可求得取值范圍；
（3）根據(jù)條件可先求得，繼而根據(jù)正弦定理可得角形外接圓半徑，則，再根據(jù)向量的運(yùn)算法則及數(shù)量積的定義化簡所求，進(jìn)一步分析即可.
【詳解】（1）因為向量為函數(shù)的“源向量”，
所以 ，
則方程上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，
所以在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，
令，
①當(dāng)時，
②當(dāng)時，，
所以 ，
其圖象為：

結(jié)合,,,最大值為3，
故當(dāng)在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根時，
的取值范圍為.
（2）由題意得:
，其中，
當(dāng)，即時，
取最大值，
故，
則，
令，由于，
故，
即
則，解得，
所以（）
因為單調(diào)遞增，所以，
所以的取值范圍為
（3）由題意得，，則，
在三角形中，
，，因此 ，
設(shè)三角形外接圓半徑為，
根據(jù)正弦定理，，故
所以

代入得：，
所以當(dāng)時，取得最大值3.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第1問的關(guān)鍵是參變分離，數(shù)形結(jié)合；第2問的關(guān)鍵是換元法構(gòu)造函數(shù)；第3問的關(guān)鍵是利用正弦定理得到.

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