1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握指數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分
【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪含義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).
2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念
3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點
4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考
知識講解
指數(shù)的基本知識
根式的基本性質(zhì)
①的定義域為,的定義域為
②，定義域為
③，定義域為
④，定義域為
⑤，定義域為
指數(shù)的基本性質(zhì)
①零指數(shù)冪:;
②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:
③正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:;
④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:
指數(shù)的基本計算
①同底數(shù)冪的乘法運算 ②同底數(shù)冪的除法運算
③冪的乘方運算 ④積的乘方運算
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式
一般地，函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
考點一、指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）（ ）
A．B．C．D．3
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若，則 ．
3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·上海寶山·二模）將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為 .
2．（2023·山東·模擬預(yù)測）若， 則的值為（ ）
A．8B．16C．2D．18
3．（2023·四川宜賓·一模）計算: .
考點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象（ ）
A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于軸對稱
C．關(guān)于原點對稱D．關(guān)于對稱
2．（23-24高三上·河北衡水·開學(xué)考試）已知，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）函數(shù)的所有零點之和為（ ）
A．0B．-1C．D．2
1．（22-23高二下·四川綿陽·期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位B．向右平移個單位
C．向左平移個單位D．向右平移個單位
2．（23-24高三上·山西晉中·階段練習(xí)）（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（ ）
A．B．C．D．
考點三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·江西·模擬預(yù)測）函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增
B．函數(shù)值域為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
考點四、指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值
1．（23-24高三·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，值域為 ．
2．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是 .
3．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是 .
2．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北保定·三模）已知的值域為，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
考點五、指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大小）
1．（2024·云南·二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津·一模）已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（ ）
A．B．
C．D．
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·二模）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時，的解析式為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則（ ）
A．1B．2C．3D．0
二、填空題
8．（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)，則 .
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下面條件①②的函數(shù)解析式 ．
①；②的值域為．
10．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為 ．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（ ）
A．1B．C．D．0
3．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，若，且，則下面結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù) 方程有兩個不同的根，分別是則 （ ）
A．B．3C．6D．9
5．（23-24高三下·河南周口·開學(xué)考試）若，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的定義域為
B．的值域為
C．當(dāng)時，為奇函數(shù)
D．當(dāng)時，
三、填空題
8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題“任意，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是 .
9．（2024·上?！と＃┤?，，則滿足的m的最大值為 ．
10．（2024·廣東廣州·三模）函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a的一個可能取值為 ．
1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津·高考真題）若，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（上?！じ呖颊骖}）方程的解為 .
7．（福建·高考真題）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．
C．D．
8．（山東·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
5年考情
考題示例
考點分析
關(guān)聯(lián)考點
2024年新I卷，第6題,5分
判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
2023年新I卷，第4題,5分
指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
二次函數(shù)單調(diào)性
2022年新I卷，第7題,5分
比較指數(shù)冪的大小
用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性
比較對數(shù)式的大小
圖
象
定義域
值域
性質(zhì)
過定點
當(dāng)時，；
時,
當(dāng)時，；
時,
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
第03講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
（5類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握指數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分
【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪含義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).
2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念
3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點
4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考
知識講解
指數(shù)的基本知識
根式的基本性質(zhì)
①的定義域為,的定義域為
②，定義域為
③，定義域為
④，定義域為
⑤，定義域為
指數(shù)的基本性質(zhì)
①零指數(shù)冪:;
②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:
③正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:;
④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:
指數(shù)的基本計算
①同底數(shù)冪的乘法運算 ②同底數(shù)冪的除法運算
③冪的乘方運算 ④積的乘方運算
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式
一般地，函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
考點一、指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡計算即可.
【詳解】．
故選：A．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若，則 ．
【答案】
【分析】
分和兩種情況分類計算.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
故答案為：
3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．
【詳解】，故A錯誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯誤；
故選：C．
1．（2024·上海寶山·二模）將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為 .
【答案】
【分析】直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則化簡求解即可
【詳解】
故答案為：
2．（2023·山東·模擬預(yù)測）若， 則的值為（ ）
A．8B．16C．2D．18
【答案】D
【分析】利用完全平方公式結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可.
【詳解】解：因為，
所以.
故選：D．
3．（2023·四川宜賓·一模）計算: .
【答案】
【分析】根據(jù)根式、指數(shù)冪運算以及對數(shù)的定義運算求解.
【詳解】由題意可得：
，
即.
故答案為：.
考點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象（ ）
A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于軸對稱
C．關(guān)于原點對稱D．關(guān)于對稱
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性即可判斷，對于兩個函數(shù)與，如果它們的圖象關(guān)于原點對稱，即在定義域內(nèi)恒成立，則稱與為中心對稱，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論.
【詳解】令函數(shù)，
所以
即，所以函數(shù)與的的圖象關(guān)于原點對稱，
即函數(shù)與的圖象的的圖象關(guān)于原點對稱，
故選：C.
2．（23-24高三上·河北衡水·開學(xué)考試）已知，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通過特值法，排除錯誤選項，通過的取值，判斷函數(shù)的圖象的形狀，推出結(jié)果即可.
【詳解】由于當(dāng)時，，排除B，C，
當(dāng)時，，此時函數(shù)圖象對應(yīng)的圖形可能為A，
當(dāng)時，，此時函數(shù)圖象對應(yīng)的的圖形可能為D.
故選：AD.
3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）函數(shù)的所有零點之和為（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【分析】令，即，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，可知兩個函數(shù)圖象相交于兩點，設(shè)為，得，進(jìn)而得到，即
【詳解】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，令，
則，顯然，所以，
構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，
可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，
所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點，
設(shè)為，所以，，
即，
另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，
所以也是函數(shù)的零點，說明，即.
故選:A.
1．（22-23高二下·四川綿陽·期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位B．向右平移個單位
C．向左平移個單位D．向右平移個單位
【答案】D
【分析】利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)論.
【詳解】因為，，
所以，為了得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平移個單位，
故選：D.
2．（23-24高三上·山西晉中·階段練習(xí)）（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論．
【詳解】當(dāng)時，對應(yīng)的圖象可能為選項A；當(dāng)時，對應(yīng)的圖象可能為選項C.
故選：AC.
3．（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可得且，求出a，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)圖象過原點，所以，
得，又該函數(shù)圖象無限接近直線，且不與該直線相交，
所以，則，
所以.
故選：C
考點三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
【答案】C
【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.
【詳解】，
函數(shù)，，則，
又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；
因為，所以，則，
所以函數(shù)的值域為，故B正確；
，，
所以函數(shù)關(guān)于點對稱，故C錯誤，D正確.
故選：C.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，即可判斷為奇函數(shù)，又，可得圖象的對稱中心為，則，再判斷的單調(diào)性，不等式，即，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)．
又，
則的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的，
所以圖象的對稱中心為，所以．
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，所以，解得，
故滿足的的取值范圍為．
故選：B
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)是減函數(shù)，所以．
又因為函數(shù)5）圖像的對稱軸是直線，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，
所以的取值范圍是．
故選:B．
1．（2024·江西·模擬預(yù)測）函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】令，則，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：
的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，
又函數(shù)，
即函數(shù)為偶函數(shù)，
結(jié)合圖象，如圖所示，
可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為和．
故選：C．
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．
故選：D．
3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增
B．函數(shù)值域為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
【答案】ABD
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B，根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.
【詳解】，
函數(shù)，，則，
又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；
因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；
，，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，故C錯誤，D正確.
故選：ABD
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】，易知在單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞減，且在處連續(xù)，故在R上單調(diào)遞減，
由，則，解得,
故不等式的解集為.
故選：A
考點四、指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值
1．（23-24高三·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，值域為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)同增異減法則求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域.
【詳解】令，解得或，
∴的定義域為，
令，則其在上遞減，在上遞增，
又為減函數(shù)，故的增區(qū)間為．
∵，∴，故的值域為．
故答案為：，.
2．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】令，，，，分類討論的取值范圍，判斷，的單調(diào)性，結(jié)合存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案．
【詳解】由題意，令，，，，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在上的值域為，
因為存在最小值，故需，解得，
結(jié)合，此時；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的值域為，
因為存在最小值，故需，即，解得，
這與矛盾；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，且在上的值域為，，此時存在最小值2；
則實數(shù)的取值范圍為或．
故答案為：或．
3．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
對實數(shù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，因為函數(shù)的值域為滿足，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；
若時，依題意有的最小值，即，
若時，不符合題意；
綜上：，
故選：B.
1．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】由，而，
因為單調(diào)遞增，所以，則的最大值是16.
故答案為：16
2．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出的值域，再借助二次函數(shù)求出的值域，最后利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
令，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
所以函數(shù)的值域為.
故選：D
3．（2024·河北保定·三模）已知的值域為，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮崝?shù)的取值范圍.
【詳解】①若，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
又函數(shù)的值域D滿足，則解得；
②若，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
又函數(shù)的值域D滿足，不合題意；
③當(dāng)時，，
若，有（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）符合題意，
綜上所述：.
故選：D.
考點五、指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?br>1．（2024·云南·二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)中間數(shù)比較與，根據(jù)中間數(shù)比較與.
【詳解】因為，，
所以，因為，，
所以，所以.
故選：D.
2．（2024·天津·一模）已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件，得到，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，而，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，得到，又，函數(shù)是減函數(shù)，
所以，又，得到，
所以，
故選：A.
3．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，可判斷，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此可得，即，
所以，
又指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增，可得，即，
因為，所以.
故選：A.
1．（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.
【詳解】因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，所以，
又由冪函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)，所以，
又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以，
綜上可得：，
故選：D.
2．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
3．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可得；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得，則，即可求解.
【詳解】對于函數(shù)，，
令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則，即.
所以，.
由，得，所以，則，
所以，即.
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：對于比較實數(shù)大小方法：
（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，
（2）利用中間值“1”或“0”進(jìn)行比較，
（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·二模）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函數(shù)值域化簡集合，再利用并集的定義求解即得.
【詳解】當(dāng)時，，則，而，
所以.
故選：C
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，
所以．
故選：C．
3．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，則的圖象為：
可知在上單調(diào)遞增；
若，則的圖象為：
可知在上單調(diào)遞減；
綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.
故選：C．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函數(shù)求得參數(shù)值，進(jìn)而得表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，
所以函數(shù)，其增區(qū)間為.
故選：B．
5．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“同增異減”判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，則在上單調(diào)遞增.
因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：，解得4.
故選：
6．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時，的解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，利用時，和可求得的解析式.
【詳解】設(shè)，則，
所以，
又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.
即.
故選：C
7．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】D
【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱得零點關(guān)于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個可得答案.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于對稱，
令，則，
可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
則函數(shù)的零點關(guān)于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個，
則.
故選：D.
二、填空題
8．（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】利用已知的分段函數(shù)，可先求，再求即可.
【詳解】因為，所以.
所以.
故答案為：.
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下面條件①②的函數(shù)解析式 ．
①；②的值域為．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和指數(shù)運算即可得到答案.
【詳解】對于任意指數(shù)函數(shù)函數(shù)且,
條件①，對于任意，都有，
條件②，是指數(shù)函數(shù)，所以的值域為，
例如：函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，滿足條件①②.
故答案為：（答案不唯一）.
10．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，推得，為真命題，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域的范圍，即可求解．
【詳解】命題“，”為假命題，
則，為真命題，又
則，
故實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得.
【詳解】由對稱中心性質(zhì)可知函數(shù)滿足，
即，
整理可得，即，
解得.
故選：C
2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.
【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，
解得，
又，
所以當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，
因為，
所以，故.
故選：B
3．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，若，且，則下面結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)基本不等式判斷，根據(jù)指數(shù)的運算判斷.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
又，所以，故正確；
因為，，
所以，
又，所以上式取不到等號，所以，故正確；
，，
，，，故錯誤；
，，故正確.
故選：C.
4．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù) 方程有兩個不同的根，分別是則 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合計算即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意得：為R上的增函數(shù)，且
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知與圖象關(guān)于對稱，
則兩點關(guān)于對稱，中點在圖象上，
由，解得：.
所以.
故選：B
5．（23-24高三下·河南周口·開學(xué)考試）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由題意知，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以，即，所以，即，所以，
又，又，所以，
所以，所以．
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是對已知實數(shù)進(jìn)行變形，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
則，即，而，于是，
所以.
故選：D
二、多選題
7．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的定義域為
B．的值域為
C．當(dāng)時，為奇函數(shù)
D．當(dāng)時，
【答案】ACD
【分析】由分母不為零求出函數(shù)的定義域，即可判斷A，再分、分別求出函數(shù)值的取值范圍，即可得到函數(shù)的值域，從而判斷B，根據(jù)奇偶性判斷C，根據(jù)指數(shù)冪的運算判斷D.
【詳解】對于函數(shù)，令，解得，
所以的定義域為，故A正確；
因為，當(dāng)時，所以，
當(dāng)時，所以，
綜上可得的值域為，故B錯誤；
當(dāng)時，則，
所以為奇函數(shù)，故C正確；
當(dāng)時，則，
故D正確.
故選：ACD
三、填空題
8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題“任意，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為存在，為真命題，即，求出的最小值得解.
【詳解】若命題任意“，”為假命題，
則命題存在，為真命題，
因為時，，
令，則，
則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
故答案為：.
9．（2024·上海·三模）若，，則滿足的m的最大值為 ．
【答案】/
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用偶函數(shù)的單調(diào)性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值.
【詳解】當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
于是，在上，都成立，即為偶函數(shù).
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，
因此，不等式等價于，
即，解得.
故m的最大值為.
故答案為：.
10．（2024·廣東廣州·三模）函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a的一個可能取值為 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，在R上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.
【詳解】因為且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在R上單調(diào)遞增，
，解得.
故答案為：4（答案不唯一）.
1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
2．（2024·天津·高考真題）若，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.
【詳解】因為在上遞增，且，
所以，
所以，即，
因為在上遞增，且，
所以，即，
所以，
故選：B
3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
因為，而，
即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
4．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
5．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；
對于B，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；
對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當(dāng)，，D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
6．（上?！じ呖颊骖}）方程的解為 .
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，化簡得到，得出方程，即可求解.
【詳解】由，可得，解得.
故答案為: .
【點睛】本題主要考查了實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中熟記實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.
7．（福建·高考真題）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)單調(diào)性判斷與的大小，再由圖象與軸的交點位置判斷的正負(fù).
【詳解】由圖象可知，函數(shù)為減函數(shù)，
從而有；
法一：由圖象，函數(shù)與軸的交點縱坐標(biāo)，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的，
則，即.
故選：D.
8．（山東·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.
【詳解】當(dāng)時，，所以在上遞減，
是偶函數(shù)，所以在上遞增.
注意到，
所以B選項符合.
故選
5年考情
考題示例
考點分析
關(guān)聯(lián)考點
2024年新I卷，第6題,5分
判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
2023年新I卷，第4題,5分
指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
二次函數(shù)單調(diào)性
2022年新I卷，第7題,5分
比較指數(shù)冪的大小
用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性
比較對數(shù)式的大小
圖
象
定義域
值域
性質(zhì)
過定點
當(dāng)時，；
時,
當(dāng)時，；
時,
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)

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