題型1 定義集合的新概念
1．（23-24高三下·貴州黔東南·二模）若對(duì)任意，，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·湖南懷化·二模）給定整數(shù)，有個(gè)實(shí)數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對(duì)于集合，則（ ）
A．是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集B．是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集
C．不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集D．不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集
3．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知有限集，若，則稱為“完全集”.
(1)判斷集合是否為“完全集”，并說明理由；
(2)若集合為“完全集”，且，均大于，證明：，中至少有一個(gè)大于；
(3)若為“完全集”，且，求.
4．（24-25高三上·廣東梅州·期中）若至少由兩個(gè)元素構(gòu)成的有限集合，且對(duì)于任意的，都有，則稱為“集合”．
(1)判斷是否為“集合”，說明理由；
(2)若雙元素集為“集合”，且，求所有滿足條件的集合；
(3)求所有滿足條件的“集合”．
題型2 定義集合的新運(yùn)算
1．（24-25高三上·四川遂寧·階段練習(xí)）設(shè)集合，集合，定義，則中元素個(gè)數(shù)是（ ）
A．7B．10C．D．
2．（24-25高三上·廣東·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非空數(shù)集，定義，將稱為“與的笛卡爾積”．記非空數(shù)集的元素個(gè)數(shù)為，若是兩個(gè)非空數(shù)集，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）對(duì)于集合，定義運(yùn)算符“”兩式恰有一式成立}，表示集合中元素的個(gè)數(shù)．
(1)設(shè)，求；
(2)對(duì)于有限集，證明，并求出固定后使該式取等號(hào)的的數(shù)量；（用含的式子表示）
(3)若有限集滿足，則稱有序三元組為“聯(lián)合對(duì)”，定義，．
①設(shè)，求滿足的“聯(lián)合對(duì)”的數(shù)量；（用含的式子表示）
②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求中“聯(lián)合對(duì)”的數(shù)量．
4．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)集，定義：（與可以相同）．記為集合中的元素個(gè)數(shù)．
(1)若，請(qǐng)直接給出和；
(2)若均為正數(shù)，且，求的最小值；
(3)若，求證：．
題型3 定義集合的新性質(zhì)
1．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整數(shù)m，使集合S中的任意一對(duì)元素，，都有，則稱集合S具有性質(zhì)P.
(1)當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
(2)當(dāng)時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
(3)當(dāng)，時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.
2．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知集合.對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素，都有，則稱S具有性質(zhì)P.
(1)當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P?并說明理由；
(2)當(dāng)時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P?并說明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.
3．（23-24高三下·遼寧·一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合.對(duì)于集合中的任意元素和，記.設(shè)，且集合，對(duì)于中任意元素，若，則稱具有性質(zhì).
(1)是否存在集合具有性質(zhì)，若存在，請(qǐng)寫出的表達(dá)式，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)判斷集合是否具有性質(zhì)？若具有，求的值；若不具有，請(qǐng)說明理由；
(3)是否存在具有性質(zhì)的集合？若存在，請(qǐng)找出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.
4．（24-25高三上·湖北·期中）已知正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合
(1)若定義，當(dāng)集合中的元素恰有個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合具有性質(zhì).
①當(dāng)，時(shí)，判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說明理由；
②設(shè)集合，其中數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，判斷集合是否具有性質(zhì)并說明理由.
(2)若定義，當(dāng)集合中的元素恰有個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合具有性質(zhì).設(shè)集合具有性質(zhì)且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列.問：集合中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
題型4 定義集合的新背景
1．（24-25高三上·上海寶山·開學(xué)考試）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中.有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“.”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：
①對(duì)任意的，有；
②對(duì)任意的，有；
③存在，使得對(duì)任意的，有稱為單位元；
④對(duì)任意的，存在，使，稱與互為逆元.
則稱關(guān)于“.”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
2．（23-24高三上·浙江湖州·期中）對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①若曲線是一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為；
②若曲線是一個(gè)半徑為的圓，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為；
③若曲線是一個(gè)長度為的線段，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為；
④若曲線是邊長為的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為．
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高三下·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組表示．一般地，維空間向量用元有序數(shù)組表示，其中稱為空間向量的第個(gè)分量，為這個(gè)分量的下標(biāo)．對(duì)于維空間向量，定義集合．記的元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）．
(1)若空間向量，求及；
(2)對(duì)于空間向量．若，求證：，若，則；
(3)若空間向量的坐標(biāo)滿足，當(dāng)時(shí)，求證：．
4．（23-24高三下·安徽蕪湖·二模）對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個(gè)平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對(duì)稱性，并記m為K的一個(gè)對(duì)稱變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合S．一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來說作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
對(duì)于一個(gè)群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群．

(1)直接寫出集合S（用符號(hào)語言表示S中的元素）；
(2)同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語言表達(dá)形式不唯一，如．對(duì)于集合S中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，．
①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個(gè)群；
②已知H是群G的一個(gè)子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；
③寫出群S的所有子群．
題型5 集合與數(shù)列交匯問題
1．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，，.若集合中只含有4個(gè)元素，則t的可能取值有（ ）個(gè)
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24高三下·浙江·二模）稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記為集合包含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若，則正整數(shù)的最小值是（ ）
A．1976B．1977C．D．
3．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）已知某類數(shù)集中有個(gè)元素，這些元素的和為且它們的某種排列可以構(gòu)成等差數(shù)列，我們就稱這樣的集合為“好集”.對(duì)于一系列互不相同的正整數(shù)，若好集滿足：，，中的元素個(gè)數(shù)至多為1，且存在某些使它們的并集（）中元素的某種排列也為等差數(shù)列，我們就稱可以構(gòu)成“優(yōu)集合”.特別的，規(guī)定下標(biāo)最小的好集.
(1)證明：好集可以構(gòu)成優(yōu)集合.
(2)若好集可以構(gòu)成優(yōu)集合，證明：不全為偶數(shù).
(3)若好集可以構(gòu)成優(yōu)集合，試判斷是否能為以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列？若能，請(qǐng)求出所有的通項(xiàng)；若不能，請(qǐng)說明理由.
4．（24-25高三上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)元正整數(shù)集，如果它能劃分成個(gè)不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，則稱這個(gè)偶數(shù)為可分?jǐn)?shù).例如，由于二元子集滿足，則稱2為可分?jǐn)?shù).
(1)判斷4和6是否為可分?jǐn)?shù)，并說明理由；
(2)求小于81的最大可分?jǐn)?shù)；
(3)記小于的可分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為，令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.
題型6 集合與數(shù)論交匯問題
1．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）若集合且，則稱構(gòu)成的一個(gè)二次劃分.任意給定一個(gè)正整數(shù)，可以給出整數(shù)集的一個(gè)次劃分，其中表示除以余數(shù)為的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.這樣我們得到集合，稱作模的剩余類集.模的剩余類集可定義加減乘三種運(yùn)算，如，（其中為除以的余數(shù)）.根據(jù)實(shí)數(shù)中除法運(yùn)算可以根據(jù)倒數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為乘法，因此要定義除法運(yùn)算只需通過定義倒數(shù)就可以了，但不是所有中都可以定義除法運(yùn)算.如果該集合還能定義除法運(yùn)算，則稱它能構(gòu)成素域.那么下面說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù)B．
C．是最小的素域（元素個(gè)數(shù)最少）D．
2．（23-24高三下·河南·模擬預(yù)測(cè)）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．
(1)若，求；
(2)對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；
(3)已知．對(duì)，令．證明：．
3．（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）由個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集（其中），記，特別規(guī)定，若集合M滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都存在集合M的兩個(gè)子集A，B，使得成立，則稱集合為“滿集”.
(1)分別判斷集合與是否為“滿集”，請(qǐng)說明理由；
(2)若集合為“滿集”，求的值：
(3)若為滿集，，求的最小值.
4．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）對(duì)給定的整數(shù)，若在數(shù)集中任取個(gè)元素，都可以通過這個(gè)元素進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算（每個(gè)元素都必須使用且只能使用1次），使其結(jié)果為的整數(shù)倍，則稱整數(shù)具有性質(zhì).
(1)若，，請(qǐng)分別判斷5是否具有性質(zhì)和，并說明理由；
(2)求證：3具有性質(zhì)，其中表示整數(shù)集；
(3)若12具有性質(zhì)，求的最小值，其中表示整數(shù)集.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（24-25高三上·四川·開學(xué)考試）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合的交集為空集時(shí)，稱為不交）的非空真子集且，那么稱子集族構(gòu)成集合的 一個(gè)劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．14D．16
2．（23-24高三下·福建·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是階聚合點(diǎn)集．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則是3階聚合點(diǎn)集
B．存在對(duì)任意正數(shù)，使不是階聚合點(diǎn)集
C．若，則不是階聚合點(diǎn)集
D．“”是“是階聚合點(diǎn)集”的充要條件
3．（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）（多選）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的定義出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，， 中的每個(gè)元素都小于中的每個(gè)元素，稱為戴德金分割．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．存在一個(gè)戴德金分割，使得有一個(gè)最大元素，沒有最小元素
C．存在一個(gè)戴德金分割，使得有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D．存在一個(gè)戴德金分割，使得沒有最大元素，也沒有最小元素
4．（23-24高三下·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）對(duì)任意，記，并稱為集合A，B的對(duì)稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（ ）
A．若且，則B．若且，則
C．若且，則D．存在，使得
5．（24-25高三上·廣西欽州·階段練習(xí)）已知集合，其中且，若對(duì)任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì).
(1)若集合具有性質(zhì)，求的最小值；
(2)已知集合具有性質(zhì)，求證：
①對(duì)任意的都有；
②；
(3)已知集合具有性質(zhì)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說明理由.
6．（24-25高三上·河南·期中）在數(shù)列中，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，并規(guī)定，定義集合，中元素的個(gè)數(shù)為.
(1)在數(shù)列中，若，，，，，，，，求；
(2)若，滿足，
①證明：集合非空；
②證明：當(dāng)，時(shí)，.
7．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）集合是數(shù)學(xué)中的基本概念和重要內(nèi)容.對(duì)于實(shí)數(shù)集中的兩個(gè)非空有限子集和，定義和集.記符號(hào)表示集合中的元素個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，設(shè)是集合中所有元素按從小到大順序的一種排列，記集合.
(1)已知集合，求的值；
(2)已知集合，若，求的值；
(3)已知，記集合或.
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：的充要條件是；
（ⅱ）若，求的所有可能取值.
8．（24-25高三上·山東濟(jì)南·三診）已知集合，若存在數(shù)陣滿足：
①；
②.
則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣T為的一個(gè)“好數(shù)陣”.
(1)已知數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫出x，y，z，w的值：
(2)若集合為“好集合”，證明的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；
(3)判斷是否為“好集合”.若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由.三年考情分析
2025年考向預(yù)測(cè)
近年來，集合新定義問題常涉及對(duì)集合的新概念定義（如“正交集合”、“差集”等）、集合的新運(yùn)算規(guī)則（如定義新的集合運(yùn)算符號(hào)或運(yùn)算方式）、新性質(zhì)定義（如集合元素的特定關(guān)系或集合的特定結(jié)構(gòu)）．這些題目往往與傳統(tǒng)的集合問題相結(jié)合，要求考生在理解新定義的基礎(chǔ)上，根據(jù)新定義的性質(zhì)，按照新規(guī)則進(jìn)行集合的運(yùn)算，難度較大.
從近三年的考試情況來看，集合新定義問題的難度呈現(xiàn)出逐年上升的趨勢(shì)．題目不僅要求考生理解新定義的概念和運(yùn)算規(guī)則，還要求考生能夠靈活運(yùn)用集合的基本知識(shí)進(jìn)行綜合分析和推理．部分題目還會(huì)涉及到與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)結(jié)合，如數(shù)論、函數(shù)等，增加了題目的復(fù)雜度和難度．
與集合新定義有關(guān)的創(chuàng)新問題是通過重新定義相應(yīng)的集合，對(duì)集合的知識(shí)加以深入地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來解決新定義的集合創(chuàng)新問題．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì)；按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．
與集合運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等,從而達(dá)到解決問題的目的．
與集合性質(zhì)有關(guān)的問題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來處理問題，通過創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)
學(xué)知識(shí)來解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問題．
解決這類問題應(yīng)仔細(xì)閱讀題目，理解題目中給出的集合背景或規(guī)則．這包括集合的元素定義、集合之間的關(guān)系、集合的運(yùn)算規(guī)則等．根據(jù)題目背景和問題要求，構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型或邏輯模型．例如，可以使用集合論中的基本概念和運(yùn)算來構(gòu)建模型．如果題目中涉及到復(fù)雜的集合運(yùn)算或關(guān)系，可以考慮使用圖形或表格來輔助理解．
若新定義與數(shù)列有關(guān)，可利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，多通過構(gòu)造的分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題求解，求解過程靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識(shí)．
集合與數(shù)論交匯問題通常涉及集合的元素和數(shù)論的性質(zhì)，如整除性、質(zhì)數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)等．解決這類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解集合的元素和數(shù)論性質(zhì)之間的關(guān)系，合理構(gòu)建集合模型，靈活運(yùn)用各種解題方法，并進(jìn)行嚴(yán)格的推理和驗(yàn)證．通過多做類似的題目，積累經(jīng)驗(yàn)，可以提高解題的效率和準(zhǔn)確性．

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重難點(diǎn)1-1 集合背景下的新定義問題（6題型 高分技法 限時(shí)提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 專練（新高考通用）：

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