題型一：泰勒公式
題型二：極大值點(diǎn)的第二充分條件定理
題型三：帕德逼近
題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
題型五：伯努利、琴生不等式
題型六：微積分、洛必達(dá)
【方法技巧與總結(jié)】
1、泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱(chēng)麥克勞林公式．
2、【極值點(diǎn)第二充分條件】已知函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且
（1）若，則在處取得極小值；
（2）若，則在處取得極大值.
3、帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）.
4、拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.
5、羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個(gè)，使得．
6、微積分
知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.
知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
知識(shí)卡片3：在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
7、伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱(chēng)貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
8、設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則稱(chēng)為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
【典型例題】
題型一：泰勒公式
【典例1-1】（2024·湖北·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱(chēng)麥克勞林公式．
(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；
(2)由該公式可得：．當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并給出證明；
(3)設(shè)，證明：．
【典例1-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱(chēng)為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式1-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知函數(shù)的最小值為．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685-1731）發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，該公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的準(zhǔn)確性．運(yùn)用上述思想，計(jì)算的值：（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后4位，參考數(shù)據(jù)：，）
題型二：極大值點(diǎn)的第二充分條件定理
【典例2-1】（2024·高二·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.
(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心；
(2)已知函數(shù)，其中.
（?。┣蟮墓拯c(diǎn)；
（ⅱ）若，求證：.
【典例2-2】（2024·高二·廣東東莞·階段練習(xí)）記，為的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)，，則稱(chēng)函數(shù)為D上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上有極值，求a的取值范圍.
【變式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件，則稱(chēng)在上具有性質(zhì)．
①在上的導(dǎo)數(shù)存在；
②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由．
(2)設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．
題型三：帕德逼近
【典例3-1】（2024·山東菏澤·一模）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)比較與的大??；
(3)若在上存在極值，求的取值范圍．
【典例3-2】（2024·高二·山東濟(jì)南·期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
【變式3-1】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）帕德近似（Pade apprximatin）是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，….又函數(shù)，其中.
(1)求實(shí)數(shù)，，的值；
(2)若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，且時(shí)，求的值;
(2)若存在區(qū)間（為函數(shù)定義域），使在區(qū)間上的值域也為，則稱(chēng)為上的精彩函數(shù)，為函數(shù)的精彩區(qū)間．求是否存在精彩區(qū)間?如不存在，說(shuō)明理由;
(3)若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，則稱(chēng)區(qū)間為的一個(gè)“羅爾”區(qū)間．已知函數(shù)存在“羅爾”區(qū)間，求實(shí)數(shù)的范圍．
【典例4-2】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.證明不等式：．
【變式4-1】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值
A．1B．C．D．0
【變式4-2】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個(gè)，使得．據(jù)此，解決以下問(wèn)題：
(1)證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中；
(2)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．
題型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）伯努利不等式又稱(chēng)貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出. 伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用. 伯努利不等式的一種常見(jiàn)形式為：
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào).
(1)假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬(wàn)，且人口的年平均增長(zhǎng)率為，以此增長(zhǎng)率為依據(jù)，試判斷6年后該地區(qū)人口的估計(jì)值是否能超過(guò)107萬(wàn)？
(2)數(shù)學(xué)上常用表示，，，的乘積，，.
（?。┳C明：；
（ⅱ）已知直線與函數(shù)的圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處相切，數(shù)列滿(mǎn)足：，，證明：.
【典例5-2】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似的我們有雙曲正弦函數(shù).
(1)從下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求函數(shù)的最小值；
①；
②；
③.
(2)求證：，.
【變式5-1】（2024·高一·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則稱(chēng)為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
(1)證明：在上為凹函數(shù)；
(2)設(shè)，且，求的最小值；
(3)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明：.（提示：可設(shè)）
題型六：微積分、洛必達(dá)
【典例6-1】（2024·湖北·二模）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱(chēng)為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．
(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；
(2)已知函數(shù)，其中．
①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；
②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【典例6-2】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2024·湖南永州·三模）已知函數(shù)，.
(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.
現(xiàn)已知，
利用上述知識(shí)，試求的值.
2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式，并直接寫(xiě)出在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式；
(2)比較（1）中與的大小.
(3)證明：.
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱(chēng)為函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式.
(1)分別求，，在處的泰勒展開(kāi)式；
(2)若上述泰勒展開(kāi)式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；
(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）
4．（2024·高一·江蘇·課時(shí)練習(xí)）計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如
，
，
其中.
英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685―1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的和的值也就越精確.例如，我們用前三項(xiàng)計(jì)算，就得到.
像這些公式已被編入計(jì)算器內(nèi)，計(jì)算器利用足夠多的項(xiàng)就可確保其顯示值是精確的.
試用你的計(jì)算器計(jì)算，并與上述結(jié)果進(jìn)行比較.
5．（2024·高一·福建福州·期末）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿(mǎn)足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱(chēng)為的“和諧區(qū)間”.
（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
6．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)拐點(diǎn).已知.
（1）求證：函數(shù)的拐點(diǎn)在直線上；
（2）時(shí)，討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
7．（2024·甘肅·二模）已知函數(shù)（且為常數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在的單調(diào)性；
（2）設(shè)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)仍可求導(dǎo)數(shù)，則再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱(chēng)為原函數(shù)的二階函數(shù)，記為，利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)函數(shù)的凹凸性．一個(gè)二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)的充要條件是這個(gè)函數(shù)在的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù)．
若在不是凸函數(shù)，求的取值范圍．
8．（2024·高三·安徽淮南·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，.已知在處的階帕德近似為.注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：.
9．（2024·高一·湖南郴州·期末）若函數(shù)自變量的取值區(qū)間為時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱(chēng)區(qū)間為的一個(gè)“羅爾區(qū)間”.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)在內(nèi)的“羅爾區(qū)間”；
（3）若以函數(shù)在定義域所有“羅爾區(qū)間”上的圖像作為函數(shù)的圖像，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有2個(gè)元素.若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，說(shuō)明理由.
10．（2024·高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）已知羅爾中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足：①在上連續(xù)；②在上可異；③，則存在，使得．
(1)試證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足：①在們上連續(xù)；②在上可導(dǎo)，則存在，使得．
(2)設(shè)的定義域與值域均為且在其定義域上連續(xù)且可導(dǎo)．求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在互不相同的，使得．
11．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．
(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實(shí)數(shù)解；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
12．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，
(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；
(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱(chēng)貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；
(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題．已知是大于的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明
14．（2024·河北石家莊·一模）伯努利不等式，又稱(chēng)貝努利不等式，由數(shù)學(xué)家伯努利提出：對(duì)于實(shí)數(shù)且，正整數(shù)n不小于2，那么．研究發(fā)現(xiàn)，伯努利不等式可以推廣，請(qǐng)證明以下問(wèn)題．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；
(2)證明：對(duì)任意，恒成立．
15．（2024·高一·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無(wú)法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過(guò)觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過(guò)查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）. 小組成員通過(guò)詢(xún)問(wèn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設(shè)，求W=的最小值.
(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）
(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．（2024·高一·北京·期中）無(wú)數(shù)次借著你的光，看到未曾見(jiàn)過(guò)的世界：國(guó)慶七十周年?建黨百年天安門(mén)廣場(chǎng)三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻(xiàn)花籃儀式的凝重莊嚴(yán)金帆合唱團(tuán)，這絕不是一個(gè)抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開(kāi)學(xué)典禮中，我校金帆合唱團(tuán)的頒獎(jiǎng)詞，聽(tīng)后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱(chēng)之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個(gè)正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺(tái)（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，且
(1)寫(xiě)出三條正六棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.
(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對(duì)應(yīng)幾何體體積.（棱臺(tái)體積公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過(guò)來(lái)說(shuō)：“數(shù)學(xué)是理性的音樂(lè)，音樂(lè)是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的欣賞音樂(lè)，比如咱們剛剛聽(tīng)到的一個(gè)復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多美妙!”
“小迷糊”：“”
親愛(ài)的同學(xué)們，快來(lái)幫“小迷糊”求一下的最大值吧.
注：可以參考（不限于）下面公式：
①元均值不等式：
②琴生不等式：
若函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，且為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，則
注：在是“凸函數(shù)”
③柯西不等式：
注：其二元形式為
17．（2024·高三·重慶·開(kāi)學(xué)考試）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．
(1)若，且，求；
(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；
(3)證明：，．
18．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）閱讀知識(shí)卡片，結(jié)合所學(xué)知識(shí)完成以下問(wèn)題：知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時(shí)，使所圍圖形的面積最?。?br>(2)一列火車(chē)在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車(chē)以速度（單位：）緊急剎車(chē)至停止.求：
①求火車(chē)在剎車(chē)4秒時(shí)速度的瞬時(shí)變化率（即4秒時(shí)的瞬時(shí)加速度）；
②緊急剎車(chē)后至停止火車(chē)運(yùn)行的路程.
專(zhuān)題04高等數(shù)學(xué)定理背景命題
【題型歸納目錄】
題型一：泰勒公式
題型二：極大值點(diǎn)的第二充分條件定理
題型三：帕德逼近
題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
題型五：伯努利、琴生不等式
題型六：微積分、洛必達(dá)
【方法技巧與總結(jié)】
1、泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱(chēng)麥克勞林公式．
2、【極值點(diǎn)第二充分條件】已知函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且
（1）若，則在處取得極小值；
（2）若，則在處取得極大值.
3、帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）.
4、拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.
5、羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個(gè)，使得．
6、微積分
知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.
知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
知識(shí)卡片3：在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
7、伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱(chēng)貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
8、設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則稱(chēng)為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
【典型例題】
題型一：泰勒公式
【典例1-1】（2024·湖北·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱(chēng)麥克勞林公式．
(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；
(2)由該公式可得：．當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并給出證明；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）令，則，，，，
故，，，，，
由麥克勞林公式可得，
故.
（2）結(jié)論：，
證明如下：
令，
令，
故在上單調(diào)遞增，，
故在上單調(diào)遞增，，
即證得，即．
（3）由（2）可得當(dāng)時(shí)，，且由得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，，
，
而
，
即有
故
而，
即證得.
【典例1-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱(chēng)為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），則
，設(shè)，
由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，是的極小值點(diǎn).
下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí)，.
因此，在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【變式1-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知函數(shù)的最小值為．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685-1731）發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，該公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的準(zhǔn)確性．運(yùn)用上述思想，計(jì)算的值：（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后4位，參考數(shù)據(jù)：，）
【解析】（1）
，
所以，即，
所以，
令，，
即，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，．
（2）由（1）知，
所以，
由泰勒公式得：，
所以．
題型二：極大值點(diǎn)的第二充分條件定理
【典例2-1】（2024·高二·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.
(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心；
(2)已知函數(shù)，其中.
（ⅰ）求的拐點(diǎn)；
（ⅱ）若，求證：.
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>所以.令，解得，又，
所以函數(shù)的“拐點(diǎn)”為，
所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為.
（2）（?。┮?yàn)椋?br>所以，
，且，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，
由零點(diǎn)存在性定理知，有唯一的零點(diǎn)，
所，且，當(dāng)時(shí)，，
所以的拐點(diǎn)為.
（ⅱ）證明：由（i）可知，在上單調(diào)遞增，，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，
又，，
所以.
【典例2-2】（2024·高二·廣東東莞·階段練習(xí)）記，為的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)，，則稱(chēng)函數(shù)為D上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上有極值，求a的取值范圍.
【解析】（1）由，得，，
由于函數(shù)為上的凸函數(shù)，故，
即，令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故，
故a的取值范圍為；
（2）由，得，
函數(shù)在上有極值，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，
即在上有解，
令，
令，則，
即在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)x無(wú)限趨近于1時(shí)，無(wú)限接近于-1，，
故存在，使得，
且時(shí)，，時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，由于，
故，，
而在時(shí)單調(diào)遞減，故，
故，即a的取值范圍為.
【變式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件，則稱(chēng)在上具有性質(zhì)．
①在上的導(dǎo)數(shù)存在；
②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由．
(2)設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．
【解析】（1）令，，
則，，
，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
∴函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；
（2）∵，
∴，
∵在處取得極值，且為奇函數(shù)，
∴在處也取得極值，
∴，解得，
∴， ，
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿(mǎn)足在處取得極值，
∴，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
∴存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間上恒成立，
∴存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；
（3）∵，
∴，
令，
則，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴存在，使，
∴當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值為.
題型三：帕德逼近
【典例3-1】（2024·山東菏澤·一模）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)比較與的大?。?br>(3)若在上存在極值，求的取值范圍．
【解析】（1）由，，有，
可知，，，，
由題意，，，所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
則，
所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，
時(shí)，；時(shí)，；
所以時(shí)，；時(shí)，．
（3）由，
．
由在上存在極值，所以在上存在變號(hào)零點(diǎn)．
令，則，．
①時(shí)，，為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，無(wú)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
②當(dāng)，即時(shí)，，為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，無(wú)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
③當(dāng)，即時(shí)，令即，．
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，
；
令，，，在時(shí)恒成立，
在上單調(diào)遞增，，恒成立；
，，，則，，
；
，
令，
令，，
則在是單調(diào)遞減，，所以，
，
令，則，，．
，即．
由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，
又由③知，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，，
所以此時(shí)，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，
在上存在變號(hào)零點(diǎn)，綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
【典例3-2】（2024·高二·山東濟(jì)南·期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
【解析】（1）因?yàn)椋?，?br>，則，，
由題意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即證，
令，則且，
即證時(shí)，
記，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
綜上可得時(shí)，
所以成立，即成立.
（3）由題意知，欲使得不等式成立，
則至少有，即或，
首先考慮，該不等式等價(jià)于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
再考慮，該不等式等價(jià)于，
記，，
則，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，，
所以，，
當(dāng)時(shí)由，可知成立，
當(dāng)時(shí)由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
綜上可得不等式的解集為.
【變式3-1】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）帕德近似（Pade apprximatin）是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，….又函數(shù)，其中.
(1)求實(shí)數(shù)，，的值；
(2)若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），，
則，所以，，
，則，，
由題意知，，，
所以，解得，，
故，，.
（2）由（1）可知，函數(shù)定義域?yàn)?，?br>，時(shí)，；時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，，，
，即，
令，則，，
時(shí)，；時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，，使，
即，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
，，.
，，
，，
，，
令，則恒成立.
令，則，
，
令，
則在上單調(diào)遞減，，
在上單調(diào)遞減，則，
即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)..
，故.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，且時(shí)，求的值;
(2)若存在區(qū)間（為函數(shù)定義域），使在區(qū)間上的值域也為，則稱(chēng)為上的精彩函數(shù)，為函數(shù)的精彩區(qū)間．求是否存在精彩區(qū)間?如不存在，說(shuō)明理由;
(3)若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，則稱(chēng)區(qū)間為的一個(gè)“羅爾”區(qū)間．已知函數(shù)存在“羅爾”區(qū)間，求實(shí)數(shù)的范圍．
【解析】（1）∵由已知可得，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
由且，可得且，得．
（2）若存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a、b，則．
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，
故，即，解得，故此時(shí)不存在符合條件的實(shí)數(shù)a、b．
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，
故，即，又．
此時(shí)，a、b是方程的根，此方程無(wú)實(shí)根，故此時(shí)不存在符合條件的實(shí)數(shù)a、b．
當(dāng)時(shí)，
由于，而，故此時(shí)不存在符合條件的實(shí)數(shù)a、b．
綜上可知，不存在符合條件的實(shí)數(shù)a、b．
（3）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，且?br>①當(dāng)時(shí)，由于在上是減函數(shù)，故，
此時(shí)得，得與條件矛盾，所以a、b不存在．
②當(dāng)，時(shí)，，，所以a、b不存在．
③故只有a，．
∵在上是增函數(shù)，∴，即
又，故a、b是方程的兩個(gè)不等根．
即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根．
設(shè)這兩個(gè)根為、，則，．
∴，即，解得．
綜上，m的范圍是．
【典例4-2】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.證明不等式：．
【解析】證明：設(shè)，，則符合拉格朗日中值定理的條件，
即存在，使，
因?yàn)?，由，?br>可知，，，
即，
可得，
即有，
令，可得，
即有．
【變式4-1】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值
A．1B．C．D．0
【答案】C
【解析】由題意得，，不妨設(shè)，
則存在，使得，
又，故，
其中，
故，
由于，
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，，
故實(shí)數(shù)的最大值為.
故選：C
【變式4-2】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個(gè)，使得．據(jù)此，解決以下問(wèn)題：
(1)證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中；
(2)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)，
則，
所以函數(shù)在上連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，
又，故，
所以由羅爾中值定理可得至少存在一個(gè)，使得，
所以，
所以方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
不妨設(shè)其零點(diǎn)為，則，，
由可得，
所以函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，
又，，
由羅爾中值定理可得至少存在一個(gè)，使得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，
又，，
由羅爾中值定理可得至少存在一個(gè)，使得，
所以方程在上至少有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以方程在上至多有一個(gè)根，矛盾，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以方程在上至多有一個(gè)根，矛盾，
當(dāng)時(shí)，由，可得，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，
又，
所以，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理可得，，
所以，，又，
所以，
所以的取值范圍．
題型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）伯努利不等式又稱(chēng)貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出. 伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用. 伯努利不等式的一種常見(jiàn)形式為：
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào).
(1)假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬(wàn)，且人口的年平均增長(zhǎng)率為，以此增長(zhǎng)率為依據(jù)，試判斷6年后該地區(qū)人口的估計(jì)值是否能超過(guò)107萬(wàn)？
(2)數(shù)學(xué)上常用表示，，，的乘積，，.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）已知直線與函數(shù)的圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處相切，數(shù)列滿(mǎn)足：，，證明：.
【解析】（1）依題意，年后該地區(qū)人口的估計(jì)值為萬(wàn)人，
由伯努利不等式可得，
所以年后該地區(qū)人口的估計(jì)值能超過(guò)萬(wàn).
（2）（ⅰ）根據(jù)伯努利不等式可知，
所以
，
所以.
（ⅱ）由，則，所以，
又直線與函數(shù)的圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處相切，
所以直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，
所以直線的方程為，
所以，則
，
所以，
由（?。┛芍?，
又因?yàn)椋?br>即，
所以，
所以.
【典例5-2】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似的我們有雙曲正弦函數(shù).
(1)從下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求函數(shù)的最小值；
①；
②；
③.
(2)求證：，.
【解析】（1）證明：選①，；
選②，；
選③，.
，令，
因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)也為上的增函數(shù)，
故，則，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
所以的最小值為.
（2）證明：，
，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以，所以成立；
當(dāng)時(shí)，則，且正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，
，所以，，
所以成立，
綜上，，.
【變式5-1】（2024·高一·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則稱(chēng)為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
(1)證明：在上為凹函數(shù)；
(2)設(shè)，且，求的最小值；
(3)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明：.（提示：可設(shè)）
【解析】（1）設(shè)，
則
，
所以在上為凹函數(shù).
（2）令，由（1）知在上為凹函數(shù)，所以函數(shù)在上也為凹函數(shù).
由琴生不等式，得，
即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為.
（3）設(shè)，因?yàn)?，所以?br>要證，只需證，
由琴生不等式，只需證在上為凹函數(shù).
設(shè)，則，
下證，即證，
即證，
化簡(jiǎn)得，
即證
又式顯然成立，
所以成立，在上為凹函數(shù)，
則得證.
題型六：微積分、洛必達(dá)
【典例6-1】（2024·湖北·二模）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱(chēng)為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．
(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；
(2)已知函數(shù)，其中．
①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；
②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）
在曲線取一點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)作的切線分別交于，
因?yàn)椋?br>可得，即．
（2）①由函數(shù)，可得，
不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為
，即
同理曲線在處的切線方程為，
假設(shè)與重合，則，
代入化簡(jiǎn)可得，
兩式消去，可得，整理得，
由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾
即對(duì)任意實(shí)數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合．
②當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下證：當(dāng)時(shí)，恒成立．
因?yàn)?，所?br>設(shè)
（i）當(dāng)時(shí)，由知恒成立，
即在為增函數(shù)，所以成立；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得，
由知恒成立，即在為增函數(shù)．
所以，即在為減函數(shù)，所以成立，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是
【典例6-2】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【解析】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價(jià)于，
即證，
記，則，
所以，
即有對(duì)任意，均有，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，證畢!
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2024·湖南永州·三模）已知函數(shù)，.
(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.
現(xiàn)已知，
利用上述知識(shí)，試求的值.
【解析】（1）由題意得：，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，，
知：，，
，
（i）當(dāng)時(shí)，
由，，，，得，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則.
①若，令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>所以存在，滿(mǎn)足，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
②若，令，，
則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，在上單調(diào)遞減；
③若，則，在上單調(diào)遞減.
由（a）（b）（c）得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以存在使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；
（2）因?yàn)椋?）
對(duì)，
兩邊求導(dǎo)得：，
，
所以，（**）
比較（*）（**）式中的系數(shù)，得
所以.
2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式，并直接寫(xiě)出在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式；
(2)比較（1）中與的大小.
(3)證明：.
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，則，
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（3）令，則，
，在上單調(diào)遞增，
又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；
在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式為：，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，
，，
當(dāng)，由（2）可知，所以，
，即有；
當(dāng)時(shí)，，
所以，時(shí)，單調(diào)遞減，從而，即．
綜上所述：.
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱(chēng)為函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式.
(1)分別求，，在處的泰勒展開(kāi)式；
(2)若上述泰勒展開(kāi)式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；
(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處的泰勒展開(kāi)式為（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），
所以，，在處的泰勒展開(kāi)式分別為：
，
，
；
（2）證明：把在處的泰勒展開(kāi)式中的替換為，可得
，
所以，即；
（3）由在處的泰勒展開(kāi)式，先證，
令，
，易知，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
再令，，易得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，
所以 恒成立，
當(dāng)時(shí)， ，所以成立，
當(dāng)時(shí)，令，，易求得，
所以必存在一個(gè)區(qū)間，使得在上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，，不符合題意.
綜上所述，.
4．（2024·高一·江蘇·課時(shí)練習(xí)）計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如
，
，
其中.
英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685―1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的和的值也就越精確.例如，我們用前三項(xiàng)計(jì)算，就得到.
像這些公式已被編入計(jì)算器內(nèi)，計(jì)算器利用足夠多的項(xiàng)就可確保其顯示值是精確的.
試用你的計(jì)算器計(jì)算，并與上述結(jié)果進(jìn)行比較.
【解析】用計(jì)算器計(jì)算得，
和數(shù)值比較發(fā)現(xiàn)，
通過(guò)計(jì)算的答案只能精確到小數(shù)點(diǎn)后第3位.
5．（2024·高一·福建福州·期末）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿(mǎn)足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱(chēng)為的“和諧區(qū)間”.
（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由已知當(dāng)時(shí)，，
得，
所以當(dāng)時(shí)，.
（2）（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，
故，所以在單調(diào)遞增，
于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
易知不是方程的根，
由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，
故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.
（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知
若，則由，知，與值域是矛盾，
故不存在“和諧區(qū)間”，
同理，時(shí)，也不存在，
下面討論，
若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋项}意.
若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以
，于是，
若即，則，故，
與矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾?br>綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.
6．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)拐點(diǎn).已知.
（1）求證：函數(shù)的拐點(diǎn)在直線上；
（2）時(shí)，討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解析】（1），
，
，
，．
而．
點(diǎn)，在直線上．
（2）令，得，
作出函數(shù)，與函數(shù)的草圖如下所示：

由圖可知，
當(dāng)或時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．
7．（2024·甘肅·二模）已知函數(shù)（且為常數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在的單調(diào)性；
（2）設(shè)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)仍可求導(dǎo)數(shù)，則再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱(chēng)為原函數(shù)的二階函數(shù)，記為，利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)函數(shù)的凹凸性．一個(gè)二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)的充要條件是這個(gè)函數(shù)在的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù)．
若在不是凸函數(shù)，求的取值范圍．
【解析】(1) 令 得
設(shè) 則
當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)增函數(shù)，
故而，是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)，即是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)．
所以當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）

如果在是凸函數(shù)，那么 都有
令，即得
當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，
即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以
即
又在不是凸函數(shù)，所以
8．（2024·高三·安徽淮南·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，.已知在處的階帕德近似為.注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：.
【解析】（1）因?yàn)椋?，?br>，則，，
由題意知，，，所以，解得，.
（2）由（1）知，即證，
令，則且，即證時(shí)，
記，，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
綜上可得時(shí)，
所以成立，即成立.
9．（2024·高一·湖南郴州·期末）若函數(shù)自變量的取值區(qū)間為時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱(chēng)區(qū)間為的一個(gè)“羅爾區(qū)間”.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)在內(nèi)的“羅爾區(qū)間”；
（3）若以函數(shù)在定義域所有“羅爾區(qū)間”上的圖像作為函數(shù)的圖像，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有2個(gè)元素.若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，∴，
又當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以,
所以.
（2）設(shè)，∵在上單調(diào)遞減，
∴，即，是方程的兩個(gè)不等正根，
∵，
∴，
∴在內(nèi)的“羅爾區(qū)間”為.
（3）設(shè)為的一個(gè)“羅爾區(qū)間”，則，∴，同號(hào).
當(dāng)時(shí)，同理可求在內(nèi)的“羅爾區(qū)間”為，
∴，
依題意，拋物線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限，
所以應(yīng)當(dāng)使方程在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
且使方程，在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
由方程，即在內(nèi)恰有一根，
令，則，解得；
由方程，即在內(nèi)恰有一根，
令，則，解得.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值集合為.
10．（2024·高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）已知羅爾中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足：①在上連續(xù)；②在上可異；③，則存在，使得．
(1)試證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足：①在們上連續(xù)；②在上可導(dǎo)，則存在，使得．
(2)設(shè)的定義域與值域均為且在其定義域上連續(xù)且可導(dǎo)．求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在互不相同的，使得．
【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，
則，
由羅爾中值定理可得：存在，使得，
即即.
（2）把區(qū)間劃分為n個(gè)區(qū)間：，
對(duì)在每個(gè)區(qū)間應(yīng)用拉格明日中值定理，
可得存在，使得，
其中，把這n個(gè)等式相加即得．
11．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．
(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實(shí)數(shù)解；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由已知有，所以即，
即，由知．
當(dāng)時(shí)，由得，則的減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，由得或，的減區(qū)間為和，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為和；
（2），
可化為，
令，
則，，
即，
又，所以，，即，
由零點(diǎn)的存在性定理知方程在區(qū)間,內(nèi)必有解，
即關(guān)于的方程在,恒有實(shí)數(shù)解
（3）令，，
則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，
使，
因?yàn)?，由，可知?br>即，
.
12．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，
(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；
(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．
【解析】（1）因?yàn)?，則，
依題意，有，即．
所以，，
令，得或，
令，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以滿(mǎn)足題意，同時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和；
（2）猜想如下：
因?yàn)楸硎镜膬啥它c(diǎn)連線的斜率，
而由題可知，上必然存在點(diǎn)，使得其切線的斜率為，即，
所以一定定存在，使得；
證明如下：
因?yàn)椋?br>則．
由猜想可知，對(duì)于函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，
在之間一定存在一點(diǎn)，使得，
又，故有.
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱(chēng)貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；
(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題．已知是大于的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是，或．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，其他值均不能保證等號(hào)成立，
猜想，伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是，或；
（2）當(dāng)時(shí)，我們需證，
設(shè)，注意到，
，令得，
即，是的一個(gè)極值點(diǎn)．
令，則，
所以單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以在處取得極小值，
即恒成立，．
伯努利不等式對(duì)得證．
（3）當(dāng)時(shí)，原不等式即，顯然成立．
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列：，
則，
若，由上式易得，即；
若，則，所以，
故，
即此時(shí)也成立．
所以是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列（），
由于，所以，
故原不等式成立．
14．（2024·河北石家莊·一模）伯努利不等式，又稱(chēng)貝努利不等式，由數(shù)學(xué)家伯努利提出：對(duì)于實(shí)數(shù)且，正整數(shù)n不小于2，那么．研究發(fā)現(xiàn)，伯努利不等式可以推廣，請(qǐng)證明以下問(wèn)題．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；
(2)證明：對(duì)任意，恒成立．
【解析】（1）證明：令，
當(dāng)時(shí)，，原不等式成立；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)單調(diào)遞增；
所以，即.
（2）要證對(duì)任意，恒成立，只需證
即證，
由（1）知對(duì)于任意正整數(shù)
所以
那么
下面證明成立，
要證成立，只需證令，即證明成立；
令則；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
又所以當(dāng)時(shí)，，
所以.
所以上面（*）式可化為
.
所以命題得證.
15．（2024·高一·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無(wú)法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過(guò)觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過(guò)查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）. 小組成員通過(guò)詢(xún)問(wèn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設(shè)，求W=的最小值.
(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）
(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）記函數(shù)，首先證明其凹凸性：
,則
所以在為凹函數(shù).
由琴生不等式，得，
即
所以，當(dāng)時(shí)，W的最小值為.
（2）設(shè),因?yàn)楣?br>要證只需證
由琴生不等式，只需證在為凹函數(shù).
設(shè)，
下證，即證，
即證,
化簡(jiǎn)得.
即證
式顯然成立，所以成立，在為凹函數(shù)，則得證.
（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，因?yàn)?即恒成立，
可得在時(shí)恒成立．
因?yàn)?，所以，，所以?br>由，及，可得，所以．
故．
16．（2024·高一·北京·期中）無(wú)數(shù)次借著你的光，看到未曾見(jiàn)過(guò)的世界：國(guó)慶七十周年?建黨百年天安門(mén)廣場(chǎng)三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻(xiàn)花籃儀式的凝重莊嚴(yán)金帆合唱團(tuán)，這絕不是一個(gè)抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開(kāi)學(xué)典禮中，我校金帆合唱團(tuán)的頒獎(jiǎng)詞，聽(tīng)后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱(chēng)之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個(gè)正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺(tái)（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，且
(1)寫(xiě)出三條正六棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.
(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對(duì)應(yīng)幾何體體積.（棱臺(tái)體積公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過(guò)來(lái)說(shuō)：“數(shù)學(xué)是理性的音樂(lè)，音樂(lè)是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的欣賞音樂(lè)，比如咱們剛剛聽(tīng)到的一個(gè)復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多美妙!”
“小迷糊”：“”
親愛(ài)的同學(xué)們，快來(lái)幫“小迷糊”求一下的最大值吧.
注：可以參考（不限于）下面公式：
①元均值不等式：
②琴生不等式：
若函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，且為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，則
注：在是“凸函數(shù)”
③柯西不等式：
注：其二元形式為
【解析】（1）類(lèi)似于上下底面平行，相似，都是正六邊形，側(cè)棱等長(zhǎng)，側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，側(cè)面都是等腰梯形，等等.
（2）在中，可求，
所以排練廳上底面為邊長(zhǎng)10的正六邊形，下底面為邊長(zhǎng)9的正六邊形，高為，
所以，
所以.
（3）法1.四元均值不等式
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以最大值為.
法2.琴生不等式法
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).
所以最大值為.
法3.二元均值不等式推廣，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以最大值為.
法4.柯西不等式
，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可知當(dāng)取得最大值，
所以；
柯西不等式等號(hào)成立時(shí)與二次函數(shù)取到最值時(shí)相同，當(dāng)且僅當(dāng).
所以最大值為.
17．（2024·高三·重慶·開(kāi)學(xué)考試）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．
(1)若，且，求；
(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；
(3)證明：，．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以設(shè)，
又，代入上式可得，
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，同理可得，
綜上，.
（2）因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；
設(shè)，，
則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，
所以，
綜上，.
幾何意義：當(dāng)時(shí)，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.
（3）因?yàn)椋?br>所以
，
設(shè)，則，
所以，
故.
18．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）閱讀知識(shí)卡片，結(jié)合所學(xué)知識(shí)完成以下問(wèn)題：知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時(shí)，使所圍圖形的面積最??；
(2)一列火車(chē)在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車(chē)以速度（單位：）緊急剎車(chē)至停止.求：
①求火車(chē)在剎車(chē)4秒時(shí)速度的瞬時(shí)變化率（即4秒時(shí)的瞬時(shí)加速度）；
②緊急剎車(chē)后至停止火車(chē)運(yùn)行的路程.
【解析】（1）
，
當(dāng)時(shí)，由曲線圍成的圖形面積最?。?br>（2）①，則，
故火車(chē)在剎車(chē)4秒時(shí)速度的瞬時(shí)變化率為；
②當(dāng)火車(chē)的速度時(shí)火車(chē)完全停止，即，
，解得或（舍去）；
即從開(kāi)始緊急剎車(chē)至火車(chē)完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為．
根據(jù)定積分的物理意義，緊急剎車(chē)后火車(chē)運(yùn)行的路程就是從0到10對(duì)應(yīng)函數(shù)
的定積分，
，
即緊急剎車(chē)后火車(chē)運(yùn)行的路程為．

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