知識點1：排列與組合的概念
知識點2：排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有 的個數(shù)，用符號 表示.(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有 的個數(shù)，用符號 表示.
知識點3：排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算
【典例2-1】（2024·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（????）種．A．16B．20C．96D．120
【典例2-2】（2024·四川成都·高三統(tǒng)考）某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開展志愿服務(wù)活動，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（????）A．81B．72C．48D．36
【變式2-1】4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（????）A．288B．336C．368D．412
【典例3-1】甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（????）A．65B．73C．70D．60．
【典例3-2】以一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體共有（????）A．6個B．12個C．18個D．30個
【變式3-1】（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點中取若干個，依次連接，構(gòu)成的正多邊形的個數(shù)為（????）A．360B．630C．1170D．840
【典例4-1】春節(jié)是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（????）A．240種B．188種C．144種D．120種
【典例4-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（ ）A．6種B．12種C．24種D．48種
【變式4-1】（2024·高三·山東德州·開學(xué)考試）為積極落實“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈?攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（????）A．48B．36C．24D．12
【典例5-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（????）A．120種B．24種C．36種D．12種
【變式5-1】（2024·高三·山東濟南·開學(xué)考試）由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為（????）A．60B．108C．132D．144
題型六：定序問題（先選后排）
【典例6-2】甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必須站在甲的右邊（甲乙可以不相鄰），那么不同的排法共有（?????）種．A．120B．60C．50D．30
【變式6-1】習(xí)近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計．哈九中落實講話內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí)．在研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有A、B、C、D、E、F共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A、C、D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（????）A．100B．120C．300D．600
【變式7-1】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為（ ）A．20B．18C．16D．11
【典例8-2】某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（????）種不同的選法A．225B．185C．145D．110
【變式8-1】“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（????）A．26種B．30種C．37種D．42種
【典例9-1】編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（????）A．10種B．20種C．30種D．60種
【變式9-1】將編號為1?2?3?4?5?6的六個小球放入編號為1?2?3?4?5?6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數(shù)是（????）A．20B．40C．120D．240
【典例10-2】提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種．
【變式10-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）重慶位于中國西南部、長江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標注6個省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
【典例11-1】有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（????）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；
【變式11-1】有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3）分成每組都是2本的三組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本．
【典例12-1】6名大學(xué)生分配到4所學(xué)校實習(xí)，每名大學(xué)生只分配到一所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1名大學(xué)生，則不同的分配方案共有（????）A．65B．1560C．2640D．4560
【典例12-2】（2024·高三·河北邯鄲·開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當(dāng)天A，B，C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（????）A．32B．24C．18D．12
【變式12-1】（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（????）A．12B．24C．28D．36
【典例13-2】各數(shù)位數(shù)字之和等于8（數(shù)字可以重復(fù)） 的四位數(shù)個數(shù)為 ．
【典例14-1】（2024·高三·上海·開學(xué)考試）若從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取2個偶數(shù)和2個奇數(shù)，組成一個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個數(shù)是 ．
【變式14-1】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）袋子中有數(shù)字“7”的卡片3張和數(shù)字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成 個不同的四位數(shù)（用數(shù)字回答）．
【典例15-1】如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（　?。〢．48B．18C．24D．36
【典例16-1】有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6B．8C．10D．12
【答案】B【解析】如圖，①從入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②從入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③從入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④從入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤從入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥從入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦從入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧從入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8種，故選：B．
題型十六：分解法模型與最短路徑問題
【典例17-1】現(xiàn)有10人排隊，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法 種．
【典例17-2】隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國．現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型
【典例19-1】21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)．那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為（?????）A．19B．38C．51D．57
【典例19-2】A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（???）A．60種B．48種C．30種D．24種
1．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況？
3．如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？

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