1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有 的個(gè)數(shù)，用符號(hào) 表示.(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有 的個(gè)數(shù)，用符號(hào)____表示.
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
1.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式
2.解決排列、組合問(wèn)題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問(wèn)題要先選后排.(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理.(5)不相鄰問(wèn)題插空處理.(6)定序問(wèn)題倍縮法處理.
(7)分排問(wèn)題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(　　)(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(　　)
A.35 B.47 C.45 D.57
2.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男、女生都有的選法種數(shù)是A.18 B.24 C.30 D.36
3.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有_____種.
例1　(1)中國(guó)國(guó)家滑雪隊(duì)將開(kāi)展自由式滑雪項(xiàng)目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場(chǎng)地技巧四個(gè)項(xiàng)目表演，現(xiàn)安排兩名男隊(duì)員和兩名女隊(duì)員組隊(duì)參演，參演選手每人展示其中一個(gè)不同的項(xiàng)目，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，則所有不同出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案種數(shù)為A.576 B.288 C.144 D.48
(2)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成_____個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且不大于4 310的四位偶數(shù).
對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)，有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·武漢模擬)源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展.太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn).在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過(guò)5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有A.18種 B.36種 C.72種 D.108種
(2)8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有________種排法.
例2　(1)(多選)從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說(shuō)法正確的有A.如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法C.如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的 選法
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有210－70＝140(種)，故D正確.
(2)在某場(chǎng)新聞發(fā)布會(huì)上，主持人要從5名國(guó)內(nèi)記者與4名國(guó)外記者中依次選出3名來(lái)提問(wèn)，要求3人中既有國(guó)內(nèi)記者又有國(guó)外記者，且不能連續(xù)選國(guó)內(nèi)記者，則不同的選法有A.80種 B.180種 C.260種 D.420種
根據(jù)題意，分2種情況討論，①選出的3人中有1名國(guó)外記者、2名國(guó)內(nèi)記者，
②選出的3人中有2名國(guó)外記者、1名國(guó)內(nèi)記者，
由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有80＋180＝260(種)選法.
組合問(wèn)題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“最多”問(wèn)題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)從4名男生和3名女生中選派4人去參加課外活動(dòng)，要求至少有一名女生參加，則不同的選派種數(shù)為A.12 B.24 C.34 D.60
(2)如圖，從上往下讀(不能跳讀，即念完標(biāo)號(hào)為②的國(guó)字后只能念下一行標(biāo)號(hào)為③或④的榮字，又如標(biāo)號(hào)為⑤的校字只能接在標(biāo)號(hào)為④的榮字后念)，構(gòu)成句子“愛(ài)國(guó)榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法總數(shù)為_(kāi)_____.
命題點(diǎn)1　相鄰、相間問(wèn)題例3　(多選)有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是A.全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法B.全體站成一排，男生互不相鄰有1 440種排法C.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有 70種D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3 720種排法
命題點(diǎn)2　定序問(wèn)題例4　有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列(不一定相鄰)，不同的排法共有________種.
命題點(diǎn)3　分組、分配問(wèn)題例5　(1)(2023·岳陽(yáng)模擬)中國(guó)書法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開(kāi)漢字，漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨(dú)特的藝術(shù)，我國(guó)書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國(guó)”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛(ài)好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為A.60 B.90 C.120 D.150
滿足條件的分法可分為兩類，
由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為150.
(2)中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中每個(gè)艙安排2人.若甲、乙兩人不被安排在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有A.20種 B.36種C.72種 D.84種
求解排列、組合應(yīng)用問(wèn)題的常用方法
跟蹤訓(xùn)練3　(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有A.若A，B不相鄰，共有72種排法B.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C.若A在B右邊有60種排法D.若A，B兩人站在一起有48種排法
(2)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A.72 B.120 C.144 D.168
先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品，小品，相聲”、“小品，相聲，小品”和“相聲，小品，小品”.
同理，第三種情況也有36種安排方法；對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品□相聲□小品□”，
(3)將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有______種.(用數(shù)字作答)
2.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為A.10 B.20 C.30 D.40
3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有A.1 440種 B.960種C.720種 D.480種
4.由0,1,2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的有A.98個(gè)　　　B.105個(gè)　　　C.112個(gè)　　　D.210個(gè)
5.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)為1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為A.15 B.20 C.30 D.42
6.(2023·濟(jì)寧模擬)2022年7月19日，亞奧理事會(huì)宣布將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運(yùn)會(huì)，為了辦好這屆體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽前志愿者招募，此舉得到在杭大學(xué)生的積極參與.某高校3位男同學(xué)和2位女同學(xué)通過(guò)篩選加入志愿者服務(wù)，通過(guò)培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排在一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開(kāi)，則不同的安排方法種數(shù)為A.144 B.150 C.168 D.192
由題可得，參與志愿者服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為2,1,1,1，
所以按題設(shè)要求不同的安排方法種數(shù)為240－24－24＝192.
7.如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為一組.其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為A.208　　　B.204　　　C.200　　　D.196
8.(多選)現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的不同的球和4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi).則下列說(shuō)法正確的是A.恰有1個(gè)盒子不放球，共有72種放法B.每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，且球的編號(hào)和盒子的編號(hào)不同的放法有9種C.有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，另外兩個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)球的放法有36種D.恰有2個(gè)盒子不放球，共有84種放法
即3×3＝9(種)，故B正確；
對(duì)于A，恰有1個(gè)盒子不放球，先選1個(gè)空盒子，再選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，
9.(2022·大同模擬)在5G，AI，MR等技術(shù)的支持下，新聞媒體推出諸多創(chuàng)新融媒產(chǎn)品，將5G技術(shù)引入新聞生產(chǎn)，有效擴(kuò)展了新聞的應(yīng)用場(chǎng)景，云采訪、云訪談、云直播等云端對(duì)話成為報(bào)道的新常態(tài).現(xiàn)有4名新聞媒體記者采用云采訪、云訪談、云直播三種方式進(jìn)行報(bào)道，每種方式至少有一名記者采用，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_______.
10.某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是______.
11.(2023·蘇州模擬)陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見(jiàn)，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男孩打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法共有A.144種 B.216種C.288種 D.432種
先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào).在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有 ＝4(種)分法，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有＝24(種)分法，則共有4×24＝96(種)分法.
12.把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為_(kāi)_____(用數(shù)字作答).
13.(2022·濟(jì)南模擬)某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有A.36種 B.44種 C.48種 D.54種
由題意知任務(wù)A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成：(1)當(dāng)AE排第一、二位置時(shí)，用○表示其他任務(wù)，則順序?yàn)锳E○○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)，先全排D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)，然后將任務(wù)B，C插入D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)形成的三個(gè)空隙中，(2)當(dāng)AE排第二、三位置時(shí)，順序?yàn)椤餉E○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)又分為兩類：①B，C兩項(xiàng)任務(wù)中一項(xiàng)排在第一個(gè)位置，剩余三項(xiàng)任務(wù)排在后三個(gè)位置，
②D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)中一項(xiàng)排在第一個(gè)位置，剩余三項(xiàng)任務(wù)排在后三個(gè)位置，且任務(wù)B，C不相鄰，
14.某共享汽車停放點(diǎn)的停車位成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的排法與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的排法相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為_(kāi)____.

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