第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)（八大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc179385622" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc179385622 \h 2
\l "_Tc179385623" 02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc179385623 \h 3
\l "_Tc179385624" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc179385624 \h 4
\l "_Tc179385625" 知識(shí)點(diǎn)1：古典概型 PAGEREF _Tc179385625 \h 4
\l "_Tc179385626" 知識(shí)點(diǎn)2：概率的基本性質(zhì) PAGEREF _Tc179385626 \h 4
\l "_Tc179385627" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc179385627 \h 5
\l "_Tc179385628" 題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題 PAGEREF _Tc179385628 \h 5
\l "_Tc179385629" 題型二：古典概型與向量的交匯問(wèn)題 PAGEREF _Tc179385629 \h 6
\l "_Tc179385630" 題型三：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題 PAGEREF _Tc179385630 \h 7
\l "_Tc179385631" 題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題 PAGEREF _Tc179385631 \h 8
\l "_Tc179385632" 題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題 PAGEREF _Tc179385632 \h 9
\l "_Tc179385633" 題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合 PAGEREF _Tc179385633 \h 10
\l "_Tc179385634" 題型七：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率 PAGEREF _Tc179385634 \h 11
\l "_Tc179385635" 題型八：概率的基本性質(zhì) PAGEREF _Tc179385635 \h 12
\l "_Tc179385636" 04真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) PAGEREF _Tc179385636 \h 13
\l "_Tc179385637" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc179385637 \h 13
\l "_Tc179385638" 06易錯(cuò)分析·答題模板 PAGEREF _Tc179385638 \h 15
\l "_Tc179385639" 易錯(cuò)點(diǎn)：混淆等可能與非等可能 PAGEREF _Tc179385639 \h 15
\l "_Tc179385640" 答題模板：古典概型的概率問(wèn)題 PAGEREF _Tc179385640 \h 15
知識(shí)點(diǎn)1：古典概型
（1）定義
一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．
（2）古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率．
【診斷自測(cè)】下列關(guān)于古典概率模型的說(shuō)法中正確的是（）
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則．
A．②④B．③④C．①④D．①③④
知識(shí)點(diǎn)2：概率的基本性質(zhì)
（1）對(duì)于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．
（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．
推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．
（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．
（5）概率的單調(diào)性：若，則．
（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．
【診斷自測(cè)】若隨機(jī)事件A、B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
解題方法總結(jié)
1、解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．
因此要注意清楚以下三個(gè)方面：
（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；
（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；
（3）事件是什么．
2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：
（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；
（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；
（4）利用公式求出事件的概率．
3、解題方法技巧：
（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和．
②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法．

題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題
【典例1-1】下列試驗(yàn)是古典概型的是（）
A．口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球?yàn)榘浊?br>B．在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，使
C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講
D．某人射擊中靶或不中靶
【典例1-2】下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（）
A．某人射擊中靶或不中靶
B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)
C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議
D．從區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率
【變式1-1】下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）
①?gòu)膮^(qū)間內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；③在正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
【變式1-2】下列關(guān)于古典概型的說(shuō)法正確的是（）
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；
③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則.
A．②④B．②③④C．①②④D．①③④
【變式1-3】以下試驗(yàn)不是古典概型的有（）
A．從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性大小
B．同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率
題型二：古典概型與向量的交匯問(wèn)題
【典例2-1】（2024·高三·上?！ふn堂例題）已知向量，，從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼的卡片中，有放回地抽取兩張，、分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足的概率是（）
A．B．C．D．
【典例2-2】從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為 .
【變式2-1】設(shè)、分別為連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)，且向量，，則與的夾角為銳角的概率是．
【變式2-2】將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n，向量=（m，n），=（2，6），則向量與共線的概率為
【變式2-3】連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量與向量的夾角為，則的概率是 .(用數(shù)字作答)
【變式2-4】在平行四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線和的交點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，在中任意取一點(diǎn)，在中任意取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)滿足向量，則在上述點(diǎn)組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形外（不含邊界）的概率為．
題型三：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題
【典例3-1】（2024·江西·二模）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1，3，6，10，15，…，，稱為三角形數(shù)；將1，4，9，16，25，…，，稱為正方形數(shù)．現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個(gè)，則其中至少有1個(gè)也是三角形數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
【典例3-2】傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1，3，6，10，15，…，，稱為三角形數(shù)；將1，4，9，16，25，…，，稱為正方形數(shù)．現(xiàn)從1到50的自然數(shù)中任取1個(gè)，既不是正方形數(shù)，也不是三角形數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
【變式3-1】（2024·江西·二模）圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，任意選這8個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則四邊形為梯形的概率是（）
A．B．C．D．
【變式3-2】（2024·四川達(dá)州·二模）把腰底比為（比值約為，稱為黃金比）的等腰三角形叫黃金三角形，長(zhǎng)寬比為（比值約為，稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹(shù)葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國(guó)唐、宋時(shí)期的單檐建筑中存在較多的的比例關(guān)系，常用的紙的長(zhǎng)寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對(duì)角線構(gòu)成的圖形），.圖二是長(zhǎng)方體，，.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個(gè)圖形，恰好一個(gè)是黃金三角形一個(gè)是和美矩形的概率為（）
A．B．C．D．
【變式3-3】七巧板，又稱七巧圖、智慧板．某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形．若該同學(xué)從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和的概率是（）
A．B．C．D．
【變式3-4】以正方體的個(gè)頂點(diǎn)中的某個(gè)為頂點(diǎn)可組成一個(gè)三棱錐，在所有這些三棱錐中任取一個(gè)，則該三棱錐各個(gè)面都不為直角三角形的概率為（）
A．B．C．D．
題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題
【典例4-1】（2024·高三·上?！て谥校┮粋€(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)函數(shù)：，，，，，．從中任意拿取2張卡片，則兩張卡片上寫(xiě)著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率是．
【典例4-2】（2024·高三·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互素(兩個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是 .
【變式4-1】（2024·四川遂寧·三模）已知，從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為 .
【變式4-2】已知、，則使函數(shù)有兩不相等的零點(diǎn)的概率為．
【變式4-3】已知函數(shù)，若從集合中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)的概率是．
【變式4-4】已知四個(gè)函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個(gè)，則事件“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為 .
題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題
【典例5-1】斐波那契數(shù)列(Fibnacci sequence)由數(shù)學(xué)家萊昂納多-斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖為例子而引入，又稱為“兔子數(shù)列”．斐波那契數(shù)列有如下遞推公式：，通項(xiàng)公式為，故又稱黃金分割數(shù)列．若且，則中所有元素之和為偶數(shù)的概率為．(結(jié)果用含的代數(shù)式表達(dá))
【典例5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”．現(xiàn)在從該數(shù)列前21項(xiàng)中，按照奇數(shù)與偶數(shù)這兩種類(lèi)型進(jìn)行分層抽樣抽取6項(xiàng)，再?gòu)倪@6項(xiàng)中抽出2項(xiàng)，則至少含有一項(xiàng)是偶數(shù)的概率為．
【變式5-1】（2024·浙江溫州·二模）若數(shù)列滿足，則稱此數(shù)列為“準(zhǔn)等差數(shù)列”．現(xiàn)從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)，則這4個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)呐帕泻罂梢詷?gòu)成"準(zhǔn)等差數(shù)列"的概率是．
【變式5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列（Fibnacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Lenard Fibnacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞推的方法定義，，定義集合，?且，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．
【變式5-3】對(duì)于數(shù)列，若，則稱數(shù)列為“廣義遞增數(shù)列”，若，則稱數(shù)列為“廣義遞減數(shù)列”，否則稱數(shù)列為“擺動(dòng)數(shù)列”.已知數(shù)列共4項(xiàng)，且，則數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列的概率為 .
題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合
【典例6-1】（2024·安徽蕪湖·二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個(gè)，其尺寸值為43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（單位：mm），現(xiàn)從這11個(gè)零件中任取3個(gè)，則3個(gè)零件的尺寸剛好為這11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為．
【典例6-2】將寫(xiě)有1、2、…、9這9個(gè)數(shù)的卡片（6不可視作9）隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人三張，則“每人手中卡片上的三個(gè)數(shù)都能滿足：其中一個(gè)數(shù)為其他兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)”的概率為
【變式6-1】（2024·湖南永州·三模）從“1，2，3，4”這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，則這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)恰為3的概率是 .
【變式6-2】某市衛(wèi)生防疫部門(mén)為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的，，三個(gè)區(qū)市民接種，每個(gè)區(qū)均能從中任選一個(gè)批號(hào)的疫苗接種，則三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率是；記，，三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為，則的期望是 .
【變式6-3】（2024·高三·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）編號(hào)為的四個(gè)小球，有放回地取三次，每次取一個(gè)，記表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記表示三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則與之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.2的概率是 .
【變式6-4】泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中，即．現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個(gè)該種元件，則抽到的次品的個(gè)數(shù)小于2的概率約為．（參考數(shù)據(jù)：）
題型七：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率
【典例7-1】（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（）
A．B．C．D．
【典例7-2】（2024·湖南常德·一模）將三個(gè)分別標(biāo)注有，x，的三個(gè)質(zhì)地均勻的小球放入一個(gè)不透明的小盒中.無(wú)放回的隨機(jī)取出2個(gè)小球（每次取一球），分別記錄下小球的標(biāo)注為.若，則在上單調(diào)遞減的概率為（）
A．B．C．D．
【變式7-1】已知集合，從集合中有放回地任取兩元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在軸上的概率為（）
A．B．C．D．
【變式7-2】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（）
A．B．C．D．
【變式7-3】敏感性問(wèn)題多屬個(gè)人隱私．對(duì)敏感性問(wèn)題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密．例如為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級(jí)，被調(diào)查者在沒(méi)有旁人的情況下，獨(dú)自一人回答問(wèn)題．被調(diào)查者從一個(gè)罐子中隨機(jī)抽一只球，看過(guò)顏色后即放回，若抽到白球，則回答問(wèn)題A；若抽到紅球，則回答問(wèn)題B．且罐中只有白球和紅球．
問(wèn)題A：你的生日是否在7月1日之前?（本次調(diào)查中假設(shè)生日在7月1日之前的概率為）
問(wèn)題B：你是否有早戀現(xiàn)象？
已知一次實(shí)際調(diào)查中，罐中放有白球2個(gè)，紅球3個(gè)，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張回答“是”，如果以頻率替代概率，則該校該年級(jí)學(xué)生有早戀現(xiàn)象的概率是（）（精確到0.01）
A．0.08B．0.07C．0.06D．0.05
【變式7-4】已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個(gè)白球與7個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球并不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（）
A．B．
C．D．
【變式7-5】從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（）
A．，B．，C．，D．，
【變式7-6】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）袋子中裝有5個(gè)形狀和大小相同的球，其中3個(gè)標(biāo)有字母?jìng)€(gè)標(biāo)有字母.甲先從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，若甲?乙兩人摸到標(biāo)有字母的球的概率分別為，則（）
A．B．
C．D．
【變式7-7】甲袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙袋中，充分混合后，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一個(gè)球放回甲袋中，則甲袋中白球沒(méi)有減少的概率為（）
A．B．C．D．
題型八：概率的基本性質(zhì)
【典例8-1】設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記為事件A，B的對(duì)立事件，且，則=
【典例8-2】事件、是相互獨(dú)立事件，若，，則實(shí)數(shù)的值等于 .
【變式8-1】已知，，，則．
【變式8-2】對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，其中，，則 .
【變式8-3】若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
1．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）
A．B．C．D．
2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）
A．B．C．D．
4．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
5．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）
A．B．C．D．
1．某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
如果這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，以頻率作為概率，求下列事件的概率；
（1）命中10環(huán)；
（2）命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)；
（3）命中的環(huán)數(shù)小于9環(huán)；
（4）命中的環(huán)數(shù)不超過(guò)5環(huán).
2．假設(shè)有5個(gè)條件類(lèi)似的女孩（把她們分別記為A，B，C，D， E）應(yīng)聘秘書(shū)工作，但只有2個(gè)秘書(shū)職位，因此5個(gè)人中只有2人能被錄用.如果5個(gè)人被錄用的機(jī)會(huì)相等，分別計(jì)算下列事件的概率；
（1）女孩A得到一個(gè)職位；
（2）女孩A和B各得到一個(gè)職位；
（3）女孩A或B得到一個(gè)職位.
3．某人有4把鑰匙，其中2把能打開(kāi)門(mén)，如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開(kāi)門(mén)，把不能開(kāi)門(mén)的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開(kāi)門(mén)的概率有多大？如果試過(guò)的鑰匙又混進(jìn)去，第二次能打開(kāi)門(mén)的概率又有多大？
4．拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（x，y）表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于8”，B=“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為5”，C=“紅色骰子上的點(diǎn)數(shù)大于4”
（1）求事件A，B，C的概率；
（2）求的概率.
5．一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若從中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1支一等品”；
（2）B=“兩支都是一等品”；
（3）C=“沒(méi)有三等品”.
6．從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，求這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.
7．一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽，隨機(jī)地依次選取兩張標(biāo)簽，根據(jù)下列條件求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相等整數(shù)的概率；
（1）標(biāo)簽的選取是不放回的；
（2）標(biāo)簽的選取是有放回的.
易錯(cuò)點(diǎn)：混淆等可能與非等可能
易錯(cuò)分析：不能理解“等可能”與“非等可能”的含義，在解題的過(guò)程中，不能準(zhǔn)確的找出符合題意的情況導(dǎo)致最后結(jié)果錯(cuò)誤.
【易錯(cuò)題1】如圖，數(shù)軸上一質(zhì)點(diǎn)受隨機(jī)外力的作用從原點(diǎn)O出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)、等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后，最終質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸上的位置4的概率為．
【易錯(cuò)題2】在一個(gè)不透明的密封盒子中裝有8只昆蟲(chóng)，其中蜜蜂和蝴蝶的數(shù)量各占一半.現(xiàn)在盒子上開(kāi)一小孔，每次只能飛出一只昆蟲(chóng)，且任意一只昆蟲(chóng)都等可能地飛出.則“從盒子中任意飛出2只昆蟲(chóng)，至少有1只是蝴蝶”的概率是 .
答題模板：古典概型的概率問(wèn)題
1、模板解決思路
在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首要步驟是確認(rèn)試驗(yàn)是否符合古典概型的特征。隨后，關(guān)鍵在于構(gòu)建樣本空間，這一過(guò)程中需特別注意兩點(diǎn)：一是樣本中的元素是否存在順序性，因?yàn)轫樞虻牟煌瑫?huì)構(gòu)成不同的樣本空間；二是取樣時(shí)是否允許元素重復(fù)，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復(fù)出現(xiàn)。明確了這兩點(diǎn)后，就可以計(jì)算出樣本空間的總樣本點(diǎn)數(shù)量，以及所求事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)量，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式，得出所求事件的概率。
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)題意,判斷試驗(yàn)是否是古典概型，并寫(xiě)出樣本空間，求出樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).
第二步：求出事件A 包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).
第三步：代入公式，求出P(A).
【經(jīng)典例題1】甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是 .
【經(jīng)典例題2】在某次國(guó)際商貿(mào)交流會(huì)展期間，舉辦城市為了提升安保級(jí)別，在平時(shí)正常安保的基礎(chǔ)上再將甲、乙等6名特警人員分配到展區(qū)附近的4個(gè)不同的路口進(jìn)行執(zhí)勤，若每個(gè)特警只能分配去1個(gè)路口且每個(gè)路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率是．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）古典概型
（2）概率的基本性質(zhì)
2024年甲卷（理）第16題，5分
2024年甲卷（文）第4題，5分
2023年乙卷（文）第9題，5分
2023年甲卷（文）第4題，5分
2022年I卷第5題，5分
2020年II卷第4題，5分
本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．經(jīng)常出應(yīng)用型題目，與生活實(shí)際相結(jié)合，要善于尋找合理的數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)化語(yǔ)言描述，凸顯數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)分析隨機(jī)事件的關(guān)系，找到適合的公式計(jì)算概率．但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于中等偏易．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式．
（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率．
命中環(huán)數(shù)
6
7
8
9
10
頻率
0.1
0.15
0.25
0.3
0.2

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