考法一 條件概率
【例1-1】（2023·云南）某校有7名同學獲省數(shù)學競賽一等獎，其中男生4名，女生3名．現(xiàn)隨機選取2名學生作“我愛數(shù)學”主題演講．假設事件為“選取的兩名學生性別相同”，事件為“選取的兩名學生為男生”，則（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2024·陜西漢中）袋中有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（ ）
A．0.25B．0.4C．0.5D．0.6
【一隅三反】
1．（2024·遼寧）小張?小王兩家計劃國慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）現(xiàn)有若干大小、質地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中裝有3個白球、2個黑球，現(xiàn)從袋中隨機依次摸出2個球，若第一次摸出的是白球，則放回袋中；若第一次摸出的是黑球，則把黑球換作白球，放回袋中.記事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京）俗話說“斜風細雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風.已知某地8月份刮風的概率為，下雨的概率為，既刮風又下雨的概率為.記事件為“8月份某天刮風”，事件為“8月份某天下雨”，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西）我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，旅游的人越來越多．現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩．記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件為“兩位游客選擇的景點相同”，則等于（ ）
A．B．C．D．
考法二 條件概率性質
【例2-1】（2024·湖北）已知，是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，則等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【例2-2】（2023上·高二課時練習）下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（2023·云南保山）（多選）為隨機事件，已知，，下列結論中正確的是（ ）
A．若為互斥事件，則
B．若為互斥事件，則
C．若相互獨立，則
D．若，則相互獨立
【一隅三反】
1．（2024·廣西）（多選）設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列結論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·福建）（多選）已知隨機事件滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A．不可能事件與事件互斥
B．必然事件與事件相互獨立
C．
D．若，則
3．（2024下·全國·高二隨堂練習）（多選）玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南平頂山）（多選）一個口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，每次從中隨機取出一個球，若取到紅球，則往口袋里再放入一個白球，若取到白球，則往口袋里再放入一個紅球，取出的球不放回.像這樣取兩次球，設事件為“第i次取到紅球”，事件為“第j次取到白球”，事件C為“兩次取到的球顏色相同”，則（ ）
A．與相互獨立B．
C．D．
考法三 全概率公式
【例3-1】（2024·黑龍江）某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的概率為0.1.若鄰居澆水的概率為，該人回來盆栽沒有枯萎的概率為0.83，則實數(shù)的值為（ ）
A．0.9B．0.85C．0.8D．0.75
【例3-2】（2024·河南南陽）長時間玩手機可能影響視力.據(jù)調查，某校學生大約的人近視，而該校大約有的學生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2024·黑龍江）小明參加答題闖關游戲，答題時小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個進行答題，答對則闖關成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關失敗的概率是（ ）
A．0.24B．0.14C．0.077D．0.067
2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某批麥種中，一等麥種占80%，二等麥種占20%等麥種種植后所結麥含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率為（ ）
A．0.48B．0.52C．0.56D．0.65
3．（2023·湖北）某卡車為鄉(xiāng)村小學運送書籍，共裝有個紙箱，其中箱英語書、箱數(shù)學書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下箱中任意打開兩箱，結果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北）（多選）某兒童樂園有甲，乙兩個游樂場，小王同學第一天去甲、乙兩家游樂場游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他第一天去甲游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.7；如果第一天去乙游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.6，則王同學（ ）
A．第二天去甲游樂場的概率為0.63
B．第二天去乙游樂場的概率為0.42
C．第二天去了甲游樂場，則第一天去乙游樂場的概率為
D．第二天去了乙游樂場，則第一天去甲游樂場的概率為
5．（2024·陜西漢中）某電子設備廠所用的元件由甲、乙兩家元件廠提供，根據(jù)以往的記錄，這兩個廠家的次品率分別為0.01，0.03，提供元件的份額分別為0.90，0.10．設這兩個廠家的產(chǎn)品在倉庫里是均勻混合的，且無任何區(qū)分的標志，現(xiàn)從倉庫中隨機取出一個元件，取到的元件是次品的概率為 ．
考法四 貝葉斯公式
【例4】（2024·福建）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識別支付系統(tǒng)后臺數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級小孔同學一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2024湖南）設有5個袋子中放有白球，黑球，其中1號袋中白球占，另外2，3，4，5號4個袋子中白球都占，今從中隨機取1個袋子，從所取的袋子中隨機取1個球，結果是白球，則這個球是來自1號袋子中的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高二課堂例題）張宇去某地參加會議，他乘汽車或飛機去的概率分別為、．如果他乘汽車或飛機前去，遲到的概率如圖所示．結果他遲到了，求張宇乘的是汽車的概率．

3．（2023·湖南）某一地區(qū)患有某疾病的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是患者的概率有多大？（保留小數(shù)點后四位）
考法五 綜合運用
【例5-1】（2024·吉林）中國傳統(tǒng)文化中，過春節(jié)吃餃子，餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”,乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個三鮮餡的“餃子”和4個青菜餡的“餃子”.問：
(1)從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？
(2)若依次從甲箱中取出兩盒“餃子”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；
(3)若先從甲箱中隨機取出一盒“餃子”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率.
【例5-2】（2023·河北保定）某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，小明作為選手參加.除小明外的其他參賽選手中，一、二、三類棋手的人數(shù)之比為5：7：8，小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.6、0.5、0.4.
(1)從參賽選手中隨機抽取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；
(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手分別為一、二、三類棋手的概率.
【一隅三反】
1．（2023下·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）（多選）一個不透明的袋子里，裝有大小相同的個紅球和個白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出個球，則下列說法正確的是（ ）
A．兩個都是紅球的概率為
B．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為
C．第二次取到紅球的概率為
D．第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為
2．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）（多選）已知編號為的三個盒子，其中1號盒子內裝有一個1號球，一個2號球和兩個3號球；2號盒子內裝有一個1號球，兩個3號球；3號盒子內裝有兩個1號球，三個2號球.若第一次先從1號盒子內隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到2號球的概率為
B．第一次抽到3號球且第二次抽到2號球的概率為
C．第二次抽到2號球的概率為
D．如果第二次抽到的是2號球，則它來自1號盒子的概率最大
3．（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）某中學籃球隊根據(jù)以往比賽統(tǒng)計：甲球員能夠勝任前鋒，中鋒，后衛(wèi)三個位置，且出場概率分別為0.1，0.5，0.4.在甲球員出任前鋒，中鋒，后衛(wèi)的條件下，籃球隊輸球的概率依次為0.2，0.2，0.7.
(1)當甲球員參加比賽時，求該籃球隊某場比賽輸球的概率；
(2)當甲球員參加比賽時，在該籃球隊輸了某場比賽的條件下，求甲球員在這一場出任中鋒的概率；
(3)如果你是教練員，應用概率統(tǒng)計的有關知識該如何使用甲球員？
單選題
1．（2024·北京昌平）已知某班級中，喜歡文學閱讀的學生占75%，喜歡文學閱讀而且喜歡科普閱讀的學生占30%.若從這個班級的學生中任意抽取一人、則在抽到的學生喜歡文學閱讀的條件下，該學生也喜歡科普閱讀的概率為（ ）
A．22.5%B．30%C．40%D．75%
2．（2023·廣東肇慶）已知，，，求（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·山東德州）擲一個均勻的骰子．記為“擲得點數(shù)大于”，為“擲得點數(shù)為奇數(shù)”，則為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·遼寧·高二遼寧實驗中學?？茧A段練習）某貨車為某書店運送書籍，共箱，其中箱語文書、箱數(shù)學書、箱英語書．到達目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下的箱書中隨機打開箱，結果是箱語文書、箱數(shù)學書，則丟失的一箱是英語書的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024下·全國·高二隨堂練習）袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W?？茧A段練習）下列各式中不能判斷事件與事件獨立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀┫铝杏嘘P事件的說法正確的是（ ）
A．事件，中至少有一個發(fā)生的概率一定比，中恰有一個發(fā)生的概率大
B．若，則事件，為對立事件
C．若，為互斥事件，則
D．若事件，，滿足條件，和為互斥事件，則
8．（2023下·浙江臺州·高二統(tǒng)考期末）已知，，，，，均大于0，則下列說法不正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．
多選題
9．（2023·吉林長春·）盒子中有12個乒乓球，其中8個白球4個黃球，白球中有6個正品2個次品，黃球中有3個正品1個次品．依次不放回取出兩個球，記事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·全國·高二假期作業(yè)）口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，對其編號紅球1，2，白球3，4，從中不放回的依次取出兩個球，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的兩球不同色”，則（ ）
A．與互斥B．與互為對立事件
C．與相互獨立D．
11．（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）若、分別為隨機事件、的對立事件，，，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．若，則
12．（2024·河南）深圳某中學社團招新活動開展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學計劃籃球社、足球社、羽毛球社三個社團中各自任選一個，每人選擇各社團的概率均為 ，且每人選擇相互獨立，則（ ）
A．三人選擇社團一樣的概率為
B．三人選擇社團各不相同的概率為
C．至少有兩人選擇籃球社的概率為
D．在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為
填空題
13．（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中?？计谀┮阎车貐^(qū)內狗的壽命超過15歲的概率是0.6，超過20歲的概率是0.2.那么該地區(qū)內，一只壽命超過15歲的狗，壽命能超過20歲的概率是 .
14．（2023上·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，對其編號紅球1，2，白球3，4，從中不放回的依次取出兩個球，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的兩球不同色”，則以下命題所有正確的序號是 .
①A與B互斥 ②C與D互為對立事件
③A與C相互獨立 ④
15．（2024下·全國·高二隨堂練習）甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個景點中隨機選一個．事件甲和乙選擇的景點不同，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝．則條件概率 ；
16．（2023下·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機事件A，B發(fā)生的概率，，若，事件，，分別表示A，B不發(fā)生和至少有一個發(fā)生，則 ， .
解答題
17．（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┈F(xiàn)有10個球，其中5個球由甲工廠生產(chǎn)，3個球由乙工廠生產(chǎn)，2個球由丙工廠生產(chǎn)．這三個工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個球中任取1個球，設事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”．
(1)求；
(2)求．
18．（2024上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件，第1臺車床加工的零件次品率為6%，第2臺車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺車床加工的零件數(shù)與第2臺車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個.
(1)求這個零件是次品的概率；
(2)已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.
19．（2023下·福建泉州·高二校考期末）在三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有的人患了流感，假設這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人
(1)求這個人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.
20．（2023上·重慶北碚·高二西南大學附中?？计谥校榱丝疾鞂W生對高中數(shù)學知識的掌握程度，準備了甲、乙兩個不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個同學來抽題回答；每個同學在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機抽取兩道題作答．每個同學先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結束后，再將這兩道題目放回原紙箱．
(1)如果A同學從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；
(2)如果A同學從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個題目抽取概念敘述題的概率．
21．（2024·全國·高二假期作業(yè)）2023年FIBA世界杯屆時在印度尼西亞、日本以及菲律賓進行小組賽的角逐，而決賽階段的比賽將集中在菲律賓首都馬尼拉進行，這屆世界杯是首次在多個國家舉辦的世界杯，也為我們呈現(xiàn)了許多扣人心弦的比賽．
(1)球員甲每次投籃，選擇投兩分球的概率為，命中率為；投三分球的概率為，命中率為，求球員甲每次投籃命中的概率；
(2)“大心臟”通常形容籃球員在最后時刻有良好的心理素質，以高命中率進行得分．在比賽最后幾分鐘內，乙有三次投籃機會，第一投籃的命中率為，從第二次開始，每次投中的命中率會發(fā)生改變，若前一次投中，則該次投中的概率比前一次成功的概率增加；若前一次未投中，則該次投中的概率比前一次成功的概率增加，求乙在第三次投中的概率．
22．（2023上·山東日照·高二日照一中?？茧A段練習）如圖，有三個外形相同的箱子，分別編號為1，2，3，其中1號箱裝有1個黑球和3個白球，2號箱裝有2個黑球和2個白球，3號箱裝有3個黑球，這些球除顏色外完全相同．小明先從三個箱子中任取一箱，再從取出的箱中任意摸出一球，記事件（）表示“球取自第i號箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)求的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判斷該黑球來自幾號箱的概率最大？請說明理由．

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7.1 條件概率與全概率公式

版本： 人教A版 (2019)

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