三角形證明（1）之等腰三角形和直角三角形 知識點鏈接等腰三角形--------------------------------直角三角形        性質        判定                性質        判定  【等腰三角形】例題1．求角度(1). 等腰三角形的一個角是65°，則它的頂角的度數(shù)是　    　度．(2). 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則底角的度數(shù)為（　　）A．60°   B．120°    C．60°或120°    D．60°或30°(3). 如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一點，E是AC上一點，連接AD、DE，若∠ADE=∠AED，∠EDC=15°，則∠BAD=　  　．鞏固訓練：1．等腰三角形一邊上的高等于一邊的一半，則它的頂角度數(shù)為　        　．2．如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=40°，則∠CDE的度數(shù)為　   　．                          第2題圖                        第3題圖3．（2017?鄞州）如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點B、C，連接AC、BC．若∠ABC=67°，則∠1=（　?。?/span>A．23°       B．46°        C．67°         D．78°4．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，則∠1的度數(shù)為（　?。?/span>A．36°      B．60°      C．72°      D．108°                           第4題圖                     第5題圖5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（　　）A．15°       B．17.5°       C．20°       D．22.5°6．已知等腰三角形的一個外角等于140°，則這個三角形的三個內角的度數(shù)分別是（　?。?/span>A．20°、20°、140°               B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°                D．40°、40°、100°或70°、70°、40°例題2．求長度或面積（1）如圖，△ABC中，AB=AC，點D為AB的中點，DE⊥AB于D，交AC于E，AD=7，△EBC的周長為24，則BC=　　．                    （2）．如圖所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，則點D到AB的距離是（　?。?/span>A．9     B．8      C．7       D．6鞏固訓練：1. 已知等腰三角形一腰的中線長為7.5，頂角平分線長為9，那么這個三角形的面積是（　?。?/span>A．31.5      B．36      C．54       D．67.52．△ABC的三邊長分別a，b，c，且a+2ab=c+2bc，則△ABC是（　?。?/span>A．等邊三角形  B．等腰三角形  C．直角三角形 D．等腰直角三角形例題4．動點問題如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有（　?。?/span>A．4個        B．5個        C．6個        D．7個                第1題圖                   第2題圖            鞏固練習第1題2．如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出（　　）A．7個         B．6個     C．4個      D．3個鞏固練習：1．如圖，∠MAN=16°，A1點在AM上，在AN上取一點A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一點A3使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作為止．那么作出的最后一點是（　?。?/span>A．A5         B．A6         C．A7          D．A8例題5．證明題型如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，BE=AC．（1）求證：AD⊥BC． （2）若∠BAC=75°，求∠B的度數(shù)．                                                    2．如圖，已知BD平分∠ABC，AB=AD，DE⊥AB，垂足為E．（1）求證：AD∥BC；（2） ①若DE=6cm，求點D到BC的距離；②當∠ABD=35°，∠DAC=2∠ABD時，求∠BAC的度數(shù)．                                                    鞏固練習：1．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．（1）求∠BEC的度數(shù)．（2）若CE=5，求BC的長．                                      2．如圖，△ABC中，∠ABC=45°，P為BC邊長一點，且PC=2PB，∠APC=60°．（1）求∠BAP的大??；    （2）求∠ACB的大小．                                  3．如圖，△ABC中，AC=BC，點D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分線CF于點F．（1）求證：CF∥AB；（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度數(shù)．                                                ★★★如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且∠ADE=∠AED，連接DE．（1）如圖①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當點D在直線BC上（不與點B、C重合）運動時，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系，并說明理由．       【直角三角形】例題1．定義及性質判定對于條件：①兩條直角邊對應相等；②斜邊和一銳角對應相等；③斜邊和一直角邊對應相等；④直角邊和一銳角對應相等；以上能斷定兩直角三角形全等的有（　?。?/span>A．1個        B．2個       C．3個       D．4個鞏固練習：1．下列說法中，正確的個數(shù)是（　?。?/span>①斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；②有兩邊和它們的對應夾角相等的兩個直角三角形全等；③一銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；④兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等．A．1個        B．2個         C．3個        D．4個例題2．求邊長及判定應用1．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=4cm，則AC的長為（　?。?/span>A．7cm        B．10cm      C．12cm        D．22cm                 第1題圖                      第2題圖 2．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，且∠B=2∠A，則△BCD是（　?。?/span>A．等腰三角形  B．等邊三角形 C．直角三角形   D．任意三角形    鞏固練習：1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=30°，AD=2BC，則∠A=（　?。?/span>A．15°       B．20°      C．16°     D．18°                     第1題圖                         第2題圖2．已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，則△ADE的面積為（　?。?/span>A．1        B．2       C．5          D．無法確定 例題3．證明題型已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB邊上的中線．（1）CD=AB；（2）若CG=EG，求證：DG⊥CE．                                           2．如圖，下午2時一艘輪船從A處向正北方向航行，5時達到B處，繼續(xù)航行到達D處時發(fā)現(xiàn)，燈塔C恰好在正西方向，從A處、B處望燈塔C的角度分別是∠A=30°，∠DBC=60°，已知輪船的航行速度為24海里/時，求AD的長度．                                                    鞏固練習：1．已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，AH是高．（1）求證：DH=EF；（2）求證：∠DHF=∠DEF．                                             如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點的坐標；（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP﹣DE的值．                          ★★★ 課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1，已知四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B與∠D互補，求證：AB+AD=AC．小敏反復探索，不得其解．她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題．（1）特殊情況入手添加條件：“∠B=∠D”，如圖2，可證AB+AD=AC；（請你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3，過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F．（請你補全證明）            

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