專(zhuān)題1.1 冪的運(yùn)算【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc22279" 【題型1 冪的基本運(yùn)算】  PAGEREF _Toc22279 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc15989" 【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大小）】  PAGEREF _Toc15989 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc25941" 【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】  PAGEREF _Toc25941 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc21033" 【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】  PAGEREF _Toc21033 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc15490" 【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】  PAGEREF _Toc15490 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc11111" 【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】  PAGEREF _Toc11111 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc21401" 【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】  PAGEREF _Toc21401 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc16467" 【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】  PAGEREF _Toc16467 \h 4  【知識(shí)點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】 ①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 ②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 ③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。 ④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。 【題型1 冪的基本運(yùn)算】 【例1】（2022?谷城縣二模）下列各選項(xiàng)中計(jì)算正確的是（　　） A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6 C．（﹣m）2m4＝m8 D．x6yx2=x3y 【變式1-1】（2022秋?南陵縣期末）(512)2005×(225)2004=（　?。?A．1 B．512 C．225 D．(512)2003 【變式1-2】（2022秋?孝南區(qū)月考）計(jì)算x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2的結(jié)果是（　　） A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1 【變式1-3】（2022秋?溫江區(qū)校級(jí)期末）下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?①a5+a5＝a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a＝a10；③﹣a4?（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?【例2】（2022春?宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（　　） A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b 【變式2-1】（2022春?晉州市期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，根據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題． （1）比較大小：520　　420，961　　2741；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）比較233與322的大?。?（3）比較312×510與310×512的大?。甗注（2），（3）寫(xiě)出比較的具體過(guò)程] 【變式2-2】（2022秋?濱城區(qū)月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　） A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＞a＞c 【變式2-3】（2022春?泰興市校級(jí)月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，試比較a、b、c、d的大?。▽?xiě)出過(guò)程） 【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】 【例3】（2022春?巨野縣期中）已知：52n＝a，9n＝b，則154n＝　　　． 【變式3-1】（2022秋?西青區(qū)期末）若2x＝a，16y＝b，則22x+4y的值為 　　　?。?【變式3-2】（2022春?蕭山區(qū)期中）若xm＝5，xn=14，則x2m﹣n＝（　　） A．52 B．40 C．254 D．100 【變式3-3】（2022春?高新區(qū)校級(jí)月考）已知32m＝a，27n＝b．求： （1）34m的值； （2）33n的值； （3）34m﹣6n的值． 【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】 【例4】（2022?鐵嶺模擬）若a+3b﹣2＝0，則3a?27b＝　　　?。?【變式4-1】（2022秋?淇濱區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)3m+2n﹣3＝0時(shí)，則8m?4n＝　8?。?【變式4-2】（2022春?東臺(tái)市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，則2a÷4b×(18)c的值是　　?。?【變式4-3】（2022春?昌平區(qū)期末）若5x﹣2y﹣2＝0，則105x÷102y＝　　?。?【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】 【例5】（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）若a5?（ay）3＝a17，則y＝　　　　，若3×9m×27m＝311，則m的值為 　　?。?【變式5-1】（2022春?建湖縣期中）規(guī)定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，則x的值為 　?。?【變式5-2】（2022秋?衛(wèi)輝市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，則n﹣m＝　　　?。?【變式5-3】（2022春?興化市期中）若（2m）2?23n＝84，其中m、n都是自然數(shù)，則符合條件m、n的值有____組． 【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】 【例6】（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）若a2m+3y=am+1x=1． （1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y； （2）如果x＝4，求此時(shí)y的值． 【變式6-1】（2022?高新區(qū)校級(jí)三模）已知m＝89，n＝98，試用含m，n的式子表示7272． 【變式6-2】（2022?高新區(qū)校級(jí)三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y． 【變式6-3】（2022春?新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題： （1）如果2x?23＝32，求x的值； （2）如果2÷8x?16x＝25，求x的值； （3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y． 【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】 【例7】（2022春?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）計(jì)算： （1）（﹣a）2?a3 （2）（﹣8）2013?（18）2014 （3）xn?xn+1+x2n?x（n是正整數(shù)） （ 4 ）（a2?a3）4． 【變式7-1】（2022秋?道外區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算： （1）y3?y2?y （2）（x3）4?x2 （3）（ a4?a2）3?（﹣a）5 （4）（﹣3a2）3﹣a?a5+（4a3）2． 【變式7-2】（2022春?太倉(cāng)市期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題 （1）（45）2015×（﹣1.25）2016． （2）（318）12×（825）11×（﹣2）3． 【變式7-3】（2022春?漳浦縣期中）計(jì)算 （1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4 （2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1 （3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2； （4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]． 【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】 【例8】（2022春?大竹縣校級(jí)期中）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am?an＝am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類(lèi)似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運(yùn)算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；比如h（2）＝3，則h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2022）的結(jié)果是（　?。?A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k 【變式8-1】（2022?蘭山區(qū)二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN．例如：由于23＝8，所以3是以2為底8的對(duì)數(shù)，記作log28＝3；由于a1＝a，所以1是以a為底a的對(duì)數(shù)，記作logaa＝1．對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算，有如下的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）loga（M?N）＝logaM+logaN；（2）logaMN=logaM﹣logaN；（3）logaMn＝nlogaM．根據(jù)上面的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算log2（23×8）﹣log2165?log210的結(jié)果是 　　?。?【變式8-2】（2022春?泰興市期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2 （1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝　　，　　※136=?2， （2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明： 設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 專(zhuān)題1.1 冪的運(yùn)算【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc22279" 【題型1 冪的基本運(yùn)算】  PAGEREF _Toc22279 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc15989" 【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大?。? PAGEREF _Toc15989 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc25941" 【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】  PAGEREF _Toc25941 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc21033" 【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】  PAGEREF _Toc21033 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc15490" 【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】  PAGEREF _Toc15490 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc11111" 【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】  PAGEREF _Toc11111 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc21401" 【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】  PAGEREF _Toc21401 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc16467" 【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】  PAGEREF _Toc16467 \h 13  【知識(shí)點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】 ①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 ②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 ③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。 ④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。 【題型1 冪的基本運(yùn)算】 【例1】（2022?谷城縣二模）下列各選項(xiàng)中計(jì)算正確的是（　?。?A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6 C．（﹣m）2m4＝m8 D．x6yx2=x3y 【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)論即可． 【解答】解：A．m2n﹣n＝n（m2﹣1），故A選項(xiàng)不符合題意； B.2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6，故B選項(xiàng)符合題意； C．（﹣m）2m4＝m6，故C選項(xiàng)不符合題意； D.x6yx2=x4y，故D選項(xiàng)不符合題意； 【變式1-1】（2022秋?南陵縣期末）(512)2005×(225)2004=（　　） A．1 B．512 C．225 D．(512)2003 【分析】根據(jù)xa?ya＝（xy）a，進(jìn)行運(yùn)算即可． 【解答】解：原式＝（512×125）2004×512 =512． 【變式1-2】（2022秋?孝南區(qū)月考）計(jì)算x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2的結(jié)果是（　　） A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1 【分析】利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法的知識(shí)求解即可求得答案． 【解答】解：x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2＝x5m+3n+1÷x2n?x2m＝x5m+3n+1﹣2n+2m＝x7m+n+1． 【變式1-3】（2022秋?溫江區(qū)校級(jí)期末）下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a＝a10；③﹣a4?（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【分析】①和④利用合并同類(lèi)項(xiàng)來(lái)做；②③都是利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則做（注意一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)）． 【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正確； ②∵（﹣a）6?（﹣a）3?a＝﹣a10 故②的答案不正確； ③∵﹣a4?（﹣a）5＝a9，故③的答案不正確； ④25+25＝2×25＝26．故④的答案正確； 所以正確的個(gè)數(shù)是1， 【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大小）】 【例2】（2022春?宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（　?。?A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b 【分析】將a、b、c轉(zhuǎn)化為同底數(shù)形式，即可比較大小． 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124； b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122； ∴3124＞3123＞3122， 即a＞b＞c． 【變式2-1】（2022春?晉州市期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，根據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題． （1）比較大?。?20　＞　420，961　＜　2741；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）比較233與322的大小； （3）比較312×510與310×512的大小．[注（2），（3）寫(xiě)出比較的具體過(guò)程] 【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，”即可比較520，420的大??；根據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)暴ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac”，即可比較961，2741的大小； （2）據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)暴ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac”，即可比較233與322的大?。?（3）利用作商法，即可比較312×510與310×512的大小． 【解答】解：（1）∵5＞4， ∴520＞420， ∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123， ∴961＜2741， 故答案為：＞，＜； （2））∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9， ∴233＜322； （3）∵312×510310×512=3252=925， ∴312×510＜310×512． 【變式2-2】（2022秋?濱城區(qū)月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　） A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＞a＞c 【分析】把a(bǔ)，b，c化成以2為底數(shù)的冪的形式，再進(jìn)行大小比較即可． 【解答】解：∵a＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，c＝821＝（23）21＝263， ∴c＜a＜b． 故選：D． 【變式2-3】（2022春?泰興市校級(jí)月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，試比較a、b、c、d的大小．（寫(xiě)出過(guò)程） 【分析】首先原式變形為a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111，根據(jù)指數(shù)相同，由底數(shù)的大小就可以確定數(shù)的大小． 【解答】解：∵a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222， ∴a＝（25）111，b＝（34）111，c＝（43）111，d＝（52）111， ∴a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111． ∵81＞64＞32＞25， ∴81111＞64111＞32111＞25111， ∴b＞c＞a＞d． 【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】 【例3】（2022春?巨野縣期中）已知：52n＝a，9n＝b，則154n＝　a2b2?。?【分析】將15寫(xiě)成3×5，根據(jù)積的乘方得到154n＝（3×5）4n＝34n×54n，再根據(jù)冪的乘方變形即可得出答案． 【解答】解：∵9n＝b， ∴（32）n＝b， ∴32n＝b， ∴154n ＝（3×5）4n ＝34n×54n ＝（32n）2×（52n）2 ＝b2a2 ＝a2b2． 故答案為：a2b2． 【變式3-1】（2022秋?西青區(qū)期末）若2x＝a，16y＝b，則22x+4y的值為 　a2b?。?【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，冪的乘方的逆運(yùn)算可進(jìn)行求解． 【解答】解：∵22x+4y＝22x?24y， ＝（2x）2?（24）y． ＝（2x）2?16y， 將2x＝a，16y＝b代入， ∴原式＝a2b， 故答案為：a2b． 【變式3-2】（2022春?蕭山區(qū)期中）若xm＝5，xn=14，則x2m﹣n＝（　　） A．52 B．40 C．254 D．100 【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案． 【解答】解：∵xm＝5，xn=14， ∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn ＝25÷14 ＝100． 故選：D． 【變式3-3】（2022春?高新區(qū)校級(jí)月考）已知32m＝a，27n＝b．求： （1）34m的值； （2）33n的值； （3）34m﹣6n的值． 【分析】（1）34m＝（32m）2，然后代入計(jì)算即可； （2）27n變形為底數(shù)為3的冪的形式即可； （3）逆用同底數(shù)冪的除法公式進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：（1）34m＝（32m）2＝a2． （2）∵27n＝b， ∴33n＝b． （3）34m﹣6n＝34m÷36n＝a2÷b2=a2b2． 【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】 【例4】（2022?鐵嶺模擬）若a+3b﹣2＝0，則3a?27b＝　9?。?【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則得出即可． 【解答】解：∵a+3b﹣2＝0， ∴a+3b＝2， 則3a?27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9． 故答案為：9 【變式4-1】（2022秋?淇濱區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)3m+2n﹣3＝0時(shí)，則8m?4n＝　8　． 【分析】先變成同底數(shù)冪的乘法，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出即可． 【解答】解：∵3m+2n﹣3＝0， ∴3m+2n＝3， ∴8m?4n ＝（23）m×（22）n ＝23m×22n ＝23m+2n ＝23 ＝8， 故答案為：8． 【變式4-2】（2022春?東臺(tái)市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，則2a÷4b×(18)c的值是　4?。?【分析】先將原式變形為同底數(shù)冪的形式，然后再依據(jù)同底數(shù)冪的除法和乘法法則計(jì)算即可． 【解答】解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4． 故答案為：4． 【變式4-3】（2022春?昌平區(qū)期末）若5x﹣2y﹣2＝0，則105x÷102y＝　100　． 【分析】根據(jù)移項(xiàng)，可得（5x﹣2y）的值，根據(jù)同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，可得答案． 【解答】解：移項(xiàng)，得 5x﹣2y＝2． 105x÷102y＝105x﹣2y＝102＝100， 故答案為：100． 【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】 【例5】（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）若a5?（ay）3＝a17，則y＝　4　，若3×9m×27m＝311，則m的值為 　2　． 【分析】先利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算a5?（ay）3、3×9m×27m，再根據(jù)底數(shù)與指數(shù)分別相等時(shí)冪也相等得方程，求解即可． 【解答】解：∵a5?（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y， ∴a5+3y＝a17． ∴5+3y＝17． ∴y＝4． ∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m， ∴31+5m＝311． ∴1+5m＝11． ∴m＝2． 故答案為：4；2． 【變式5-1】（2022春?建湖縣期中）規(guī)定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，則x的值為 　3　． 【分析】把相應(yīng)的值代入新定義的運(yùn)算，利用同底數(shù)冪的乘法的法則進(jìn)行求解即可． 【解答】解：∵2*（x+1）＝64， ∴22×2x+1＝26， 則22+x+1＝26， ∴2+x+1＝6， 解得：x＝3． 故答案為：3． 【變式5-2】（2022秋?衛(wèi)輝市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，則n﹣m＝　5　． 【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出m，n的值即可． 【解答】解：∵2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1， ∴2m＝22n﹣2，33n＝3m﹣1， 故m=2n?23n=m?1， 解得：m=?8n=?3， 故n﹣m＝5． 故答案為：5． 【變式5-3】（2022春?興化市期中）若（2m）2?23n＝84，其中m、n都是自然數(shù)，則符合條件m、n的值有 　3　組． 【分析】先根據(jù)冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算，求出2m+3n＝12，再求出二元一次方程的正整數(shù)解即可． 【解答】解：（2m）2?23n＝84， 22m?23n＝（23）4， 22m+3n＝212， 2m+3n＝12， m＝6?32n， ∵m，n都是自然數(shù)， ∴6?32n≥0，n≥0， ∴0≤n≤4， ∴整數(shù)n為0，1，2，3，4， 當(dāng)n＝0時(shí)，m＝6， 當(dāng)n＝1時(shí)，m=92， 當(dāng)n＝2時(shí)，m＝3， 當(dāng)n＝3時(shí)，m=32， 當(dāng)n＝4時(shí)，m＝0， 即符合條件的m，n的值有3組， 故答案為：3． 【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】 【例6】（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）若a2m+3y=am+1x=1． （1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y； （2）如果x＝4，求此時(shí)y的值． 【分析】（1）由已知等式得出x＝am+1，y＝a2m+3，再將am＝x﹣1代入y＝a2m+3＝（am）2+3，整理即可得； （2）將x＝4代入整理后的y關(guān)于x的代數(shù)式即可得． 【解答】解：（1）∵a2m+3y=am+1x=1， ∴x＝am+1，y＝a2m+3， 則am＝x﹣1， ∴y＝a2m+3 ＝（am）2+3 ＝（x﹣1）2+3 ＝x2﹣2x+4， 即y＝x2﹣2x+4； （2）當(dāng)x＝4時(shí)，y＝16﹣2×4+4 ＝16﹣8+4 ＝12． 【變式6-1】（2022?高新區(qū)校級(jí)三模）已知m＝89，n＝98，試用含m，n的式子表示7272． 【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則把7272變形為（89）8×（98）9，再把m＝89，n＝98代入即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵m＝89，n＝98， ∴7272 ＝（8×9）72 ＝872×972 ＝（89）8×（98）9 ＝m8n9． 【變式6-2】（2022?高新區(qū)校級(jí)三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y． 【分析】（1）根據(jù)冪的乘方以及完全平方公式解答即可； （2）根據(jù)冪的乘方法則解答即可． 【解答】解：（1）∵x＝2m+1， ∴2m＝x﹣1 ∴y＝3+4m＝3+（2m）2＝3+（x﹣1）2＝3+x2﹣2x+1＝x2﹣2x+4； （2）∵x＝2m+1， ∴2m=x2， y＝3+4m=3+(2m)2=3+(x2)2=3+x24=12+x24． 【變式6-3】（2022春?新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題： （1）如果2x?23＝32，求x的值； （2）如果2÷8x?16x＝25，求x的值； （3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y． 【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：（1）∵2x?23＝32， ∴2x+3＝25， ∴x+3＝5， ∴x＝2； （2）∵2÷8x?16x＝25， ∴2÷23x?24x＝25， ∴21﹣3x+4x＝25， ∴1+x＝5， ∴x＝4； （3）∵x＝5m﹣2， ∴5m＝x+2， ∵y＝3﹣25m， ∴y＝3﹣（5m）2， ∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1． 【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】 【例7】（2022春?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）計(jì)算： （1）（﹣a）2?a3 （2）（﹣8）2013?（18）2014 （3）xn?xn+1+x2n?x（n是正整數(shù)） （ 4 ）（a2?a3）4． 【分析】結(jié)合冪的乘方與積的乘方的概念和運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可． 【解答】解：（1）原式＝a2?a3 ＝a2+3 ＝a5． （2）原式＝[（﹣8）×18]2013?18 ＝（﹣1）2013?18 =?18． （3）原式＝x2n+1+x2n+1 ＝2x2n+1． （4）原式＝（a5）4 ＝a20． 【變式7-1】（2022秋?道外區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算： （1）y3?y2?y （2）（x3）4?x2 （3）（ a4?a2）3?（﹣a）5 （4）（﹣3a2）3﹣a?a5+（4a3）2． 【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法求出即可； （2）先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法求出即可； （3）先算乘方，再算乘法即可； （4）先算乘方和乘法，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可． 【解答】解：（1）y3?y2?y＝y(tǒng)6； （2）（x3）4?x2＝x12?x2＝x14； （3）（ a4?a2）3?（﹣a）5 ＝a12?a6?（﹣a5） ＝﹣a23； （4）（﹣3a2）3﹣a?a5+（4a3）2 ＝﹣27a6﹣a6+16a6 ＝﹣12a6． 【變式7-2】（2022春?太倉(cāng)市期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題 （1）（45）2015×（﹣1.25）2016． （2）（318）12×（825）11×（﹣2）3． 【分析】（1）將（﹣1.25）2016寫(xiě)成（?54）2015×(?54)，再利用積的乘方計(jì)算即可； （2）將（318）12寫(xiě)成（258）11×258，再運(yùn)用乘法結(jié)合律與積的乘方計(jì)算即可． 【解答】解：（1）(45)2015×(?1.25)2016 =(45)2015×(?54)2015×(?54) ＝[45×(?54)]2015×（?54） ＝﹣1×（?54） =54； （2）原式=258×（258）11×（825）11×（﹣8） ＝﹣25×(258×825)11 ＝﹣25． 【變式7-3】（2022春?漳浦縣期中）計(jì)算 （1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4 （2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1 （3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2； （4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]． 【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可； （2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的除法計(jì)算即可； （3）根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和合并同類(lèi)項(xiàng)解答即可； （4）根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的除法計(jì)算即可． 【解答】解：（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4 ＝（n﹣m）2+3+4， ＝（n﹣m）9； （2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1 ＝b6n?b12n÷b5n+5 ＝b6n+12n﹣5n﹣5 ＝b13n﹣5； （3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2 ＝a6﹣a6+4a6 ＝4a6； （4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a] ＝﹣64a3m+3÷8a2m+1 ＝﹣8am+2 【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】 【例8】（2022春?大竹縣校級(jí)期中）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am?an＝am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類(lèi)似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運(yùn)算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；比如h（2）＝3，則h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2022）的結(jié)果是（　　） A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k 【分析】根據(jù)h（m+n）＝h（m）?h（n），通過(guò)對(duì)所求式子變形，然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可解答本題． 【解答】解：∵h(yuǎn)（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）?h（n）， ∴h（2n）?h（2022） ＝h(2+2+...+2)︸n個(gè)?h(2+2+...+2)︸1010個(gè) =?(2)??(2)?...??(2)︸n個(gè)??(2)??(2)?...??(2)︸1010個(gè) ＝kn?k1010 ＝kn+1010， 【變式8-1】（2022?蘭山區(qū)二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN．例如：由于23＝8，所以3是以2為底8的對(duì)數(shù)，記作log28＝3；由于a1＝a，所以1是以a為底a的對(duì)數(shù)，記作logaa＝1．對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算，有如下的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）loga（M?N）＝logaM+logaN；（2）logaMN=logaM﹣logaN；（3）logaMn＝nlogaM．根據(jù)上面的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算log2（23×8）﹣log2165?log210的結(jié)果是 　1　． 【分析】根據(jù)所給的運(yùn)算進(jìn)行求解即可． 【解答】解：log2（23×8）﹣log2165?log210 ＝log223+log28﹣（log216﹣log25）﹣log210 ＝3+3﹣（4﹣log25）﹣log210 ＝6﹣4+log25﹣log210 ＝2+log2510 ＝2+log22﹣1 ＝2+（﹣1） ＝1． 故答案為：1． 【變式8-2】（2022春?泰興市期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2 （1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝　4　，　±6　※136=?2， （2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明： 設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問(wèn)題： ①證明：6※7+6※9＝6※63； ②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝　（x﹣1）　※?。▂2﹣y﹣2）　（結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）． 【分析】（1）規(guī)定：如果ac＝b，那么a※b＝c．即可進(jìn)行求解． （2）①設(shè)6※7＝x，6※9＝y(tǒng)，則6x+y＝63，易得6※63＝x+y，即可得證． ②根據(jù)①中的結(jié)論：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴2※16＝4， ∵6?2=136，(?6)?2=136 ∴6※136=?2，（﹣6）※136=?2， 故答案為：4，±6． （2）①設(shè)6※7＝x，6※9＝y(tǒng)， ∴6x＝7，6y＝9， ∴6x?6y＝6x+y＝7×9＝63， ∴6x+y＝63， ∴6※63＝x+y， ∵6※7+6※9＝6※63． ②根據(jù)①中的結(jié)論， 得（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）． 故答案為：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）． 【變式8-3】（2022秋?南寧期末）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我們叫（a，b）為“雅對(duì)”． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我們還可以利用“雅對(duì)”定義證明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．證明如下： 設(shè)（3，3）＝m，（3，5）＝n，則3m＝3，3n＝5． ∴3m?3n＝3m+n＝3×5＝15． ∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，4）＝　2?。?（5，25）＝　2　； （3，27）＝　3?。?（2）計(jì)算：（5，2）+（5，7）＝?。?，14）　，并說(shuō)明理由． （3）記（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求證：a+b＝c． 【分析】（1）根據(jù)上述規(guī)定即可得到結(jié)論； （2）設(shè)（5，2）＝x，（5，7）＝y(tǒng)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解； （3）根據(jù)新定義可得3a×3b＝3c，由此可得答案．

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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