一、選擇題
如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°方向上，與燈塔S相距20 n mile，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30 min后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為( )
A.20(eq \r(2)＋eq \r(6))n mile/h
B.20(eq \r(6)﹣eq \r(2))n mile/h
C.20(eq \r(3)＋eq \r(6))n mile/h
D.20(eq \r(6)﹣eq \r(3))n mile/h
【答案解析】答案為：B
解析：由題意知SM＝20 n mile，∠NMS＝45°，∴SM與正東方向的夾角為75°，MN與正東方向的夾角為60°，∴∠SNM＝105°∴∠MSN＝30°，在△MNS中，利用正弦定理可得，eq \f(MN,sin 30°)＝eq \f(20,sin 105°) ，MN＝eq \f(10,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq \r(6)﹣eq \r(2))n mile, ∴貨輪航行的速度v＝20(eq \r(6)﹣eq \r(2))n mile/h.
已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為( )
A.10 km B.10eq \r(3) km C.10eq \r(5) km D.10eq \r(7) km
【答案解析】答案為：D.
解析：如圖所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cs 120°＝700，
∴AC＝10eq \r(7)(km).
一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是( )
A.10eq \r(2) 海里 B.10eq \r(3) 海里 C.20eq \r(3) 海里 D.20eq \r(2) 海里
【答案解析】答案為：A.
解析：畫出示意圖如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，解得BC＝10eq \r(2)(海里).
如圖，某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75°方向上，距離為12eq \r(6)海里，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為8eq \r(3)海里，游輪由A處向正北方向航行到D處時再看燈塔B，B在南偏東60°方向上，則C與D的距離為( )
A.20海里 B.8eq \r(3) 海里 C.23eq \r(2) 海里 D.24海里
【答案解析】答案為：B.
解析：在△ABD中，因為燈塔B在A的北偏東75°方向上，距離為12eq \r(6)海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時，再看燈塔B，B在南偏東60°方向上，所以B＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理eq \f(AD,sin B)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，可得AD＝eq \f(ABsin B,sin∠ADB)＝24海里.
在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8eq \r(3) 海里，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2﹣2AD·ACcs 30°＝242＋(8eq \r(3))2﹣2×24×8eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝192.
所以CD＝8eq \r(3) 海里.故選B.
如圖，無人機在離地面高200 m的A處，觀測到山頂M處的仰角為15°，山腳C處的俯角為45°，已知∠MCN＝60°，則山的高度MN為( )
A.300 m B.300eq \r(3) m C.200eq \r(3) m D.275 m
【答案解析】答案為：A
解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，∴AC＝eq \r(2)AB＝200eq \r(2)(m)，又∠MCA＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，在△AMC中，eq \f(MC,sin∠MAC)＝eq \f(AC,sin∠AMC)，∴MC＝eq \f(200\r(2)sin 60°,sin 45°)＝200eq \r(3) (m)，∴MN＝MCsin∠MCN＝200eq \r(3)sin 60°＝300 (m).
一艘海輪從A處出發(fā)，以40 n mile/h的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30 min后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是( )
A.10eq \r(2) n mile B.10eq \r(3) n mile C.20eq \r(3) n mile D.20eq \r(2) n mile
【答案解析】答案為：A
解析：如圖所示，
由已知條件得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，∴∠BCA＝45°.又AB＝40×eq \f(1,2)＝20(n mile)，∴由正弦定理可得eq \f(AB,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，解得BC＝10eq \r(2)(n mile).
如圖，地面上四個5G中繼站A，B，C，D.已知CD＝(eq \r(6)＋eq \r(2))km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，則A，B兩個中繼站的距離是( )
A.4eq \r(3) km B.2eq \r(10) km C.eq \r(10) km D.6eq \r(2) km
【答案解析】答案為：C.
解析：由題意可得∠DAC＝75°，∠DBC＝45°.在△ADC中，由正弦定理得AC＝eq \f(CD·sin∠ADC,sin∠DAC)＝2eq \r(3).在△BDC中，由正弦定理得BC＝eq \f(CD·sin∠BDC,sin∠DBC)＝eq \r(3)＋1.在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2﹣2×AC×BC×cs∠ACB＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(3)＋1)2﹣2×2eq \r(3)×(eq \r(3)＋1)×eq \f(1,2)＝10，所以AB＝eq \r(10) km.
如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為( )
A.a km B.eq \r(3)a km C.eq \r(2)a km D.2a km
【答案解析】答案為：B；
解析：由題圖可知，∠ACB=120°，由余弦定理，得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB
=a2＋a2－2·a·a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))=3a2，解得AB=eq \r(3)a(km).
如圖所示，一座建筑物AB的高為(30－10eq \r(3))m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為( )
A.30 m B.60 m C.30eq \r(3) m D.40eq \r(3) m
【答案解析】答案為：B；
解析：在Rt△ABM中，AM=eq \f(AB,sin∠AMB)=eq \f(30－10\r(3),sin15°)=eq \f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))=20eq \r(6)(m).
過點A作AN⊥CD于點N，如圖所示.易知∠MAN=∠AMB=15°，
所以∠MAC=30°＋15°=45°.
又∠AMC=180°－15°－60°=105°，所以∠ACM=30°.
在△AMC中，由正弦定理得eq \f(MC,sin45°)=eq \f(20\r(6),sin30°)，解得MC=40eq \r(3)(m).
在Rt△CMD中，CD=40eq \r(3)×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高為60 m.
如圖所示，為了了解某海域海底構(gòu)造，在海平面上取一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知AB=50 m，BC=120 m，于A處測得水深A(yù)D=80 m，于B處測得水深BE=200 m，于C處測得水深CF=110 m，則∠DEF的余弦值為( )
A.eq \f(16,65) B.eq \f(19,65) C.eq \f(16,57) D.eq \f(17,57)
【答案解析】答案為：A；
解析：如圖所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
則DF=eq \r(MF2＋DM2)=eq \r(302＋1702)=10eq \r(298)(m)，DE=eq \r(DN2＋EN2)=eq \r(502＋1202)=130(m)，
EF=eq \r(?BE－FC?2＋BC2)=eq \r(902＋1202)=150(m).
在△DEF中，由余弦定理，得cs∠DEF=eq \f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)=eq \f(1302＋1502－102×298,2×130×150)=eq \f(16,65).
如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于( )
A.5eq \r(6) B.15eq \r(3) C.5eq \r(2) D.15eq \r(6)
【答案解析】答案為：D；
解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.
由正弦定理得eq \f(BC,sin30°)=eq \f(30,sin135°)，所以BC=15eq \r(2).
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15eq \r(2)×eq \r(3)=15eq \r(6).
如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B與∠D互補，則AC的長為( )
A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km
【答案解析】答案為：D；
解析：在△ACD中，由余弦定理得：csD=eq \f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)=eq \f(34－AC2,30).
在△ABC中，由余弦定理得：csB=eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)=eq \f(89－AC2,80).
因為∠B＋∠D=180°，所以csB＋csD=0，即eq \f(34－AC2,30)＋eq \f(89－AC2,80)=0，解得AC=7.
二、填空題
海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為 小時.
【答案解析】答案為：eq \f(2,3)；
解析：設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為x小時，如圖，
則由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°.
由余弦定理得：(21x)2=100＋(9x)2－2×10×9x×cs120°，
整理，得36x2－9x－10=0，解得x=eq \f(2,3)或x=－eq \f(5,12)(舍).
所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為eq \f(2,3)小時.
如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點A，B，并測得在四邊形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,3)，∠BAD＝eq \f(2π,3)，AB＝BC＝400 m，AD＝250 m，則應(yīng)開鑿的隧道CD的長為________ m.
【答案解析】答案為：350.
解析：在△ABC中，因為AB＝BC＝400 m，∠ABC＝eq \f(π,3)，所以△ABC為等邊三角形，即AC＝400 m，∠ACB＝eq \f(π,3).又∠BAC＝eq \f(π,3)，∠BAD＝eq \f(2π,3)，所以∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝eq \f(π,3).在△ADC中，AD＝250 m，AC＝400 m，∠DAC＝eq \f(π,3)，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2﹣2AD·AC·cs∠DAC，即CD2＝2502＋4002﹣2×250×400×cs eq \f(π,3)，解得CD＝350 m.
如圖，某工程中要將一長為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長 .
【答案解析】答案為：100eq \r(2).
解析：設(shè)坡底需加長x m，由正弦定理得eq \f(100,sin30°)=eq \f(x,sin45°)，解得x=100eq \r(2).
如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq \r(3) m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得∠PAB=90°，∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°，則P，Q兩點間的距離為 m.
【答案解析】答案為：900；
解析：由已知，得∠QAB=∠PAB－∠PAQ=30°.
又∠PBA=∠PBQ=60°，∴∠AQB=30°，∴AB=BQ.
又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，∴PQ=PA.
在Rt△PAB中，AP=AB·tan60°=900，故PQ=900，
∴P，Q兩點間的距離為900 m.
如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=________m.
【答案解析】答案為：100eq \r(6).
解析：在△ABC中，∵∠BAC=30°，∠CBA=105°，∴∠ACB=45°.
又∵AB=600 m，∴由正弦定理eq \f(BC,sin∠BAC)=eq \f(AB,sin∠BCA)，得BC=300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，BC=300eq \r(2) m，tan∠DBC=eq \f(DC,BC)=eq \f(\r(3),3)，∴DC=100eq \r(6) m.
如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，
則BC的長為________.
【答案解析】答案為：8eq \r(2)
解析：在△ABD中，設(shè)BD=x，則BA2=BD2＋AD2－2BD·AD·cs∠BDA，
即142=x2＋102－2·10x·cs 60°，整理得x2－10x－96=0，解得x1=16，x2=－6(舍去).
在△BCD中，由正弦定理：eq \f(BC,sin∠CDB)=eq \f(BD,sin∠BCD)，所以BC=eq \f(16,sin 135°)·sin 30°=8eq \r(2).
三、解答題
如圖所示，在一條海防警戒線上的點A，B，C處各有一個水聲監(jiān)測點，B，C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻，B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s后A，C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.
(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
(2)求靜止目標P到海防警戒線AC的距離.
【答案解析】解：(1)依題意，有PA=PC=x，PB=x－1.5×8=x－12.
在△PAB中，AB=20，cs∠PAB=eq \f(PA2＋AB2－PB2,2PA·AB)=eq \f(x2＋202－?x－12?2,2x·20)=eq \f(3x＋32,5x).
同理，在△PAC中，AC=50，cs∠PAC=eq \f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)=eq \f(x2＋502－x2,2x·50)=eq \f(25,x).
因為cs∠PAB=cs∠PAC，所以eq \f(3x＋32,5x)=eq \f(25,x)，解得x=31.
(2)作PD⊥AC于點D，在△ADP中，
由cs∠PAD=eq \f(25,31)，得sin∠PAD=eq \r(1－cs2∠PAD)=eq \f(4\r(21),31)，
所以PD=PAsin∠PAD=31×eq \f(4\r(21),31)=4eq \r(21)(km).
故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4eq \r(21) km.
已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
且滿足cs2B－cs2C－sin2A=－sinAsinB，sin(A－B)=cs(A＋B).
(1)求角A，B，C；
(2)若a=eq \r(2)，求三角形ABC的邊長b的值及三角形ABC的面積.
【答案解析】解：(1)∵cs2B－cs2C－sin2A=－sinAsinB，
∴sin2C＋sinAsinB=sin2A＋sin2B，
∴由正弦定理得c2＋ab=a2＋b2，
∴csC=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(ab,2ab)=eq \f(1,2)，
∵0

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