一、選擇題
已知定點(diǎn)F1(﹣2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
【答案解析】答案為：B
解析：如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，
所以|MF2|＝2.因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|﹣|PF1||＝||PF2|﹣|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.
已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x﹣3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )
A.x2﹣eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,8)﹣y2＝1 C.x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1) D.x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
【答案解析】答案為：C
解析：設(shè)圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|﹣|MC1|＝2＜6，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(﹣3,0)和C2(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，則b2＝c2﹣a2＝8，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1).
已知雙曲線C的離心率為eq \r(3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面積為eq \r(2)，則雙曲線C的實(shí)軸長為( )
A.1 B.2 C.3 D.6
【答案解析】答案為：B
解析：由題意知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，又離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(3)a，所以cs∠F1PF2＝eq \f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)＝eq \f(－2a2,6a2)＝﹣eq \f(1,3)，sin∠F1PF2＝eq \f(2\r(2),3)，所以S＝eq \f(1,2)·a·3a·eq \f(2\r(2),3)＝eq \r(2)a2＝eq \r(2)，所以a＝1，實(shí)軸長2a＝2.
雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1過點(diǎn)(eq \r(2)，eq \r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x2﹣eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣y2＝1 C.x2﹣eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)﹣y2＝1
【答案解析】答案為：A
解析：∵e＝eq \f(c,a)＝2，則c＝2a，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)a，則雙曲線的方程為eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,3a2)＝1，將點(diǎn)(eq \r(2)，eq \r(3))的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得eq \f(2,a2)﹣eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq \r(3)，因此，雙曲線的方程為x2﹣eq \f(y2,3)＝1.
已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長為2eq \r(2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1 D.x2﹣eq \f(y2,2)＝1
【答案解析】答案為：D
解析：由題意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，由雙曲線的定義可得eq \f(4\r(3)c,3)﹣eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣eq \f(y2,2)＝1.
已知雙曲線eq \f(x2,m＋1)﹣eq \f(y2,m)＝1(m＞0)的漸近線方程為x±eq \r(3)y＝0，則m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)﹣1 C.eq \f(\r(3)＋1,2) D.2
【答案解析】答案為：A
解析：由漸近線方程y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(3),3)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，則eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即eq \f(m,m＋1)＝eq \f(1,3)，m＝eq \f(1,2).
若雙曲線E：eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
【答案解析】答案為：B
解析：方法一 依題意知，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|﹣|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.
方法二 根據(jù)雙曲線的定義，得||PF2|﹣|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|﹣3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝﹣3(舍去).
已知雙曲線E：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，則雙曲線E的離心率為( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C.eq \r(7) D.7
【答案解析】答案為：C
解析：點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由雙曲線定義得|AF2|﹣|AF1|＝2m﹣m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2﹣2|AF1||AF2|cs 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2eq \r(7)a，又|F1F2|＝2c，∴2eq \r(7)a＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7).
設(shè)F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn).若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
【答案解析】答案為：A
解析：令雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0)，則c＝eq \r(a2＋b2).
如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，
且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得(eq \f(c,2))2＋(eq \f(c,2))2＝a2，∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即離心率e＝eq \r(2).
已知雙曲線C: eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)，以C的焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A.(1，eq \f(3,2)) B.(1，eq \f(\r(13),2)) C.(eq \f(3,2)，eq \f(\r(13),2)) D.(1，eq \r(13))
【答案解析】答案為：B
解析：由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為y＝eq \f(b,2)x，即bx﹣2y＝0，又該圓的圓心為(c，0)，
故圓心到漸近線的距離為eq \f(bc,\r(b2＋4))，則由題意可得eq \f(bc,\r(b2＋4))＜3，即b2c2＜9(b2＋4)，又b2＝c2﹣a2＝c2﹣4，則(c2﹣4)c2＜9c2，解得c2＜13，即c＜eq \r(13)，則e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)＜eq \f(\r(13),2)，又e＞1，故離心率的取值范圍是(1，eq \f(\r(13),2)).
二、多選題
(多選)已知雙曲線C的方程為eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1，則下列說法正確的是( )
A.雙曲線C的實(shí)軸長為8
B.雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x
C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3
D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為eq \f(9,4)
【答案解析】答案為：ABC
解析：因?yàn)閍2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正確；
因?yàn)閍＝4，b＝3，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(3,4)x，故B正確；
因?yàn)閏＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(16＋9)＝5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5,0)，(5,0)，焦點(diǎn)(5,0)到漸近線3x﹣4y＝0的距離為eq \f(|15|,\r(32＋?－4?2))＝3，故C正確；
雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c﹣a＝1，故D錯誤.
(多選)雙曲線C：eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A.雙曲線C的離心率為eq \f(\r(6),2)
B.雙曲線eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1與雙曲線C的漸近線相同
C.若PO⊥PF，則△PFO的面積為eq \r(2)
D.|PF|的最小值為2
【答案解析】答案為：ABC
解析：因?yàn)閍＝2，b＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(6)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，故A正確；
雙曲線eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(2),2)x，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(2),2)x，故B正確；
因?yàn)镻O⊥PF，點(diǎn)F(eq \r(6)，0)到漸近線eq \r(2)x﹣2y＝0的距離d＝eq \f(|\r(2)×\r(6)|,\r(6))＝eq \r(2)，所以|PF|＝eq \r(2)，所以|PO|＝eq \r(?\r(6)?2－?\r(2)?2)＝2，所以△PFO的面積為eq \f(1,2)×eq \r(2)×2＝eq \r(2)，故C正確；
|PF|的最小值即為點(diǎn)F到漸近線的距離，即|PF|＝eq \r(2)，故D不正確.
三、填空題
已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2﹣y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為______.
【答案解析】答案為：2eq \r(3).
解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴ SKIPIF 1 < 0 錯誤！未找到引用源。＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
經(jīng)過點(diǎn)P(3,2eq \r(7))，Q(﹣6eq \r(2)，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
【答案解析】答案為：eq \f(y2,25)﹣eq \f(x2,75)＝1.
解析：設(shè)雙曲線方程為mx2﹣ny2＝1(mn＞0).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,25)﹣eq \f(x2,75)＝1.
設(shè)雙曲線eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________.
【答案解析】答案為：eq \f(32,15).
解析：因?yàn)閍2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，不妨設(shè)直線BF的方程為y＝eq \f(4,3)(x﹣5)，代入雙曲線方程解得B(eq \f(17,5)，﹣eq \f(32,15)).所以S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝2，則該雙曲線C的漸近線方程為________.
【答案解析】答案為：y＝±eq \r(3)x.
解析：因?yàn)殡p曲線eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.
已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，若以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個交點(diǎn)為P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，則C的漸近線方程為________.
【答案解析】答案為：y＝±eq \r(3)x.
解析：根據(jù)雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個交點(diǎn)為P，如圖所示，
則|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq \r(3)|OP|＝eq \r(3)c，所以在△POF1中，由余弦定理可得cs∠POF1＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP|·|OF1|)＝eq \f(c2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)c))2,2×c×c)＝﹣eq \f(1,2).所以∠POF1＝eq \f(2π,3)，則∠POF2＝eq \f(π,3)，所以tan∠POF2＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，則漸近線方程為y＝±eq \r(3)x.
已知F是雙曲線eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________.
【答案解析】答案為：9
解析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以當(dāng)|PF1|＋|PA|最小時滿足|PF|＋|PA|最小.由雙曲線的圖象，可知當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)1共線時，滿足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值為9.
四、解答題
已知雙曲線eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.
(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且eq \(MF1,\s\up6(－→))·eq \(MF2,\s\up6(－→))＝0，求M點(diǎn)到x軸的距離；
(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3eq \r(2)，2)，求雙曲線C的方程.
【答案解析】解：(1)不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，
∵eq \(MF1,\s\up6(－→))·eq \(MF2,\s\up6(－→))＝0，∴MF1⊥MF2.
設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由雙曲線的定義知m﹣n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S＝eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)×2ch，∴h＝eq \f(2\r(5),5).
即M點(diǎn)到x軸的距離為eq \f(2\r(5),5).
(2)設(shè)雙曲線C的方程為eq \f(x2,16－λ)﹣eq \f(y2,4＋λ)＝1(﹣4＜λ＜16).
∵雙曲線C過點(diǎn)(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,16－λ)﹣eq \f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝﹣14(舍去)，
∴雙曲線C的方程為eq \f(x2,12)﹣eq \f(y2,8)＝1.
已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，漸近線方程是y＝±eq \f(2\r(5),5)x，點(diǎn)A(0，b)，且△AF1F2的面積為6.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若|AP|＝|AQ|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案解析】解:(1)由題意得eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(5),5)，①
S＝eq \f(1,2)×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,4)＝1.
(2)由題意知直線l不過點(diǎn)A.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為D(x0，y0)，連接AD(圖略).
將y＝kx＋m與eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,4)＝1聯(lián)立，消去y，
整理得(4﹣5k2)x2﹣10kmx﹣5m2﹣20＝0，
由4﹣5k2≠0且Δ＞0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－5k2≠0，,80?m2－5k2＋4?>0，))④
∴x1＋x2＝eq \f(10km,4－5k2)，x1x2＝﹣eq \f(5m2＋20,4－5k2)，
∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5km,4－5k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(4m,4－5k2).
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
∴kAD＝eq \f(y0－2,x0)＝eq \f(\f(4m,4－5k2)－2,\f(5km,4－5k2))＝﹣eq \f(1,k)，化簡得10k2＝8﹣9m，⑤
由④⑤，得m＜﹣eq \f(9,2)或m＞0. 由10k2＝8﹣9m＞0，得m＜eq \f(8,9).
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜﹣eq \f(9,2)或0＜m＜eq \f(8,9).

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