一、選擇題
點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)eq \(BG,\s\up6(→))＝a，eq \(GC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A.b﹣2a B.eq \f(3,2)a﹣eq \f(1,2)b C.eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D.2a＋b
【答案解析】答案為：A
解析：如圖所示，由題意可知eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(GC,\s\up6(→))，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))﹣2eq \(BG,\s\up6(→))＝b﹣2a.
若a，b為非零向量，則“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
【答案解析】答案為：B
解析：eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分別表示與a，b同方向的單位向量，eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，則有a，b共線，而a，b共線，則eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)是相等向量或相反向量，所以“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的充分不必要條件.
設(shè)a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是( )
A.a∥b B.a＋b＝a C.a＋b＝b D.|a＋b|＝|a|＋|b|
【答案解析】答案為：B
解析：由題意得，a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，且b是一個(gè)非零向量，所以a∥b成立，所以A正確；由a＋b＝b，所以B不正確，C正確；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正確.
下列命題中正確的是( )
A.若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使得a＝λb
B.若a∥b，b∥c，則a∥c
C.若a·b＝0，則a＝0或b＝0
D.|a|﹣|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
【答案解析】答案為：D
解析：若a∥b，且b＝0，則可有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)λ使得a＝λb，故A錯(cuò)誤；
若a∥b，b∥c(b≠0)，則a∥c，若b＝0，則a，c不一定平行，故B錯(cuò)誤；
若a·b＝0，也可以為a⊥b，故C錯(cuò)誤；根據(jù)向量加法的三角形法則和向量減法的幾何意義知，|a|﹣|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正確.
在平行四邊形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(BD,\s\up6(→))交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn).若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，則eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
【答案解析】答案為：C
解析：如圖所示，
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))﹣eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b﹣eq \f(1,4)b＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b.
下列說(shuō)法正確的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等
B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反
D.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)
【答案解析】答案為：A
解析：A項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等，方向相反，正確；
B項(xiàng)，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點(diǎn)相同，故錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，向量a與b平行時(shí)，若a或b為零向量，不滿足條件，故錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤.
如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，則x等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【答案解析】答案為：C
解析：連接AE(圖略)，因?yàn)镕為DE的中點(diǎn)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))，而eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，又eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2).
若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝a﹣2b，eq \(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a﹣b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于( )
A.﹣1 B.1 C.eq \f(3,2) D.2
【答案解析】答案為：B
解析：由題意知，eq \(NQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))﹣eq \(PN,\s\up6(→))＝a﹣(k＋1)b，因?yàn)镸，N，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(MN,\s\up6(→))＝λeq \(NQ,\s\up6(→))，即a﹣2b＝λ[a﹣(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，則△ABC的面積為( )
A.eq \r(3) B.2eq \r(3) C.3eq \r(3) D.4eq \r(3)
【答案解析】答案為：B
解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AC的中點(diǎn)為M，連接PD，MD，BM，如圖所示，
則有eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→)).由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣2eq \(PD,\s\up6(→))，又D為BC的中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣2eq \(DM,\s\up6(→))，則eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(DM,\s\up6(→))，則P，D，M三點(diǎn)共線且D為PM的中點(diǎn)，又D為BC的中點(diǎn)，所以四邊形CPBM為平行四邊形.又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，所以|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(BP,\s\up6(→))|＝2，則|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，且|eq \(BM,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，所以△AMB為等邊三角形，∠BAC＝60°，則S△ABC＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).
如圖，已知A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(1，＋∞) C.(1，eq \r(2)] D.(﹣1,0)
【答案解析】答案為：B
解析：因?yàn)榫€段CO與線段AB交于點(diǎn)D，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線，所以eq \(OC,\s\up6(→))與eq \(OD,\s\up6(→))共線，設(shè)eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，則m>1，因?yàn)閑q \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，可得eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，可得λ＋μ＝m>1，所以λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞).
二、多選題
(多選)給出下列命題，不正確的有( )
A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同
B.若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形
C.a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
D.已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線
【答案解析】答案為：ACD
解析：A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；
B正確，因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線.
(多選)下列命題正確的是( )
A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
B.零向量的長(zhǎng)度等于0
C.若a，b都為非零向量，則使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線
D.若a＝b，b＝c，則a＝c
【答案解析】答案為：BCD
解析：A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；
C項(xiàng)，因?yàn)閑q \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)才成立，故C正確；
D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.
(多選)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC邊上一點(diǎn)，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式正確的是( )
A.eq \(BC,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(BF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
【答案解析】答案為：ABD
解析：因?yàn)閑q \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝﹣eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以選項(xiàng)A正確；
因?yàn)閑q \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)))，而eq \(BC,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，代入可得eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以選項(xiàng)B正確；
因?yàn)閑q \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))﹣eq \(AB,\s\up6(→))，而eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，代入得eq \(BF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，所以選項(xiàng)C不正確；
因?yàn)閑q \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，而eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，代入得eq \(CF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以選項(xiàng)D正確.
(多選)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \(PC,\s\up6(→))|﹣|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))﹣2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，則△ABC不可能是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形
【答案解析】答案為：AD
解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \(PC,\s\up6(→))|﹣|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))﹣2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，所以|eq \(CB,\s\up6(→))|﹣|(eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \(PA,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))﹣eq \(PA,\s\up6(→)))|＝0，即|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，所以|eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，則△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是鈍角三角形和等邊三角形.
三、填空題
已知不共線向量a，b，eq \(AB,\s\up6(→))＝ta﹣b(t∈R)，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋3b，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)t＝__________.
【答案解析】答案為：﹣eq \f(2,3).
解析：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，所以ta﹣b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t﹣2k)a＝(3k＋1)b.因?yàn)閍，b不共線，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－2k＝0，,3k＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,3)，,t＝－\f(2,3).))
若正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，中心為O，則|eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝________.
【答案解析】答案為：2eq \r(3).
解析：正六邊形ABCDEF中，eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))，在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，∴|eq \(EA,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22－2×2×2×cs 120°)＝2eq \r(3)，即|eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.
【答案解析】答案為：eq \f(5,3).
解析：eq \(AC,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)))＋μ(eq \(AD,\s\up6(→))﹣eq \(AB,\s\up6(→)))＝(λ﹣μ)eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \f(1,2)λ＋μ)eq \(AD,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3).
在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ＝________，AD的長(zhǎng)為________.
【答案解析】答案為：eq \f(3,4),3eq \r(3).
解析：∵B，D，C三點(diǎn)共線，∴eq \f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(3,4).如圖，過(guò)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于D，∴四邊形AMDN是菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，∴AD＝3eq \r(3).
四、解答題
如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))=a，eq \(AC,\s\up6(→))=b，試用a，b表示向量eq \(AO,\s\up6(→)).
【答案解析】解：由D，O，C三點(diǎn)共線，可設(shè)
eq \(DO,\s\up6(→))=k1eq \(DC,\s\up6(→))=k1(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))=k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))=－eq \f(1,2)k1a＋k1b(k1為實(shí)數(shù))，
同理，可設(shè)eq \(BO,\s\up6(→))=k2eq \(BF,\s\up6(→))=k2(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))=k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－a))=－k2a＋eq \f(1,2)k2b(k2為實(shí)數(shù))，①
又eq \(BO,\s\up6(→))=eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))=－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)k1a＋k1b))=－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②
所以由①②，得－k2a＋eq \f(1,2)k2b=－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，
即eq \f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)k2－k1))b=0.
又a，b不共線，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)?1＋k1－2k2?＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))
所以eq \(BO,\s\up6(→))=－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)B.所以eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))=a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))=eq \f(1,3)(a＋b).
如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(AB,\s\up15(→))=a，eq \(AC,\s\up15(→))=b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(AF,\s\up15(→))，eq \(BE,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))；
(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.
【答案解析】解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))，
連接BG，CG，得到?ABGC，如圖，
所以eq \(AG,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))=a＋b，
eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))=eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AF,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b，
eq \(BE,\s\up15(→))=eq \(AE,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a＋b)－a=eq \f(1,3)(b－2a)，
eq \(BF,\s\up15(→))=eq \(AF,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b－a=eq \f(1,2)(b－2a).
(2)證明：由(1)可知eq \(BE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up15(→))，
又因?yàn)閑q \(BE,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.
設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線.
(1)如果eq \(AB,\s\up6(→))=e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))=3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up6(→))=－8e1－2e2，
求證：A，C，D三點(diǎn)共線；
(2)如果eq \(AB,\s\up6(→))=e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))=2e1－3e2，eq \(CD,\s\up6(→))=2e1－ke2，且A，C，D三點(diǎn)共線，求k的值.
【答案解析】 (1)證明：∵eq \(AB,\s\up6(→))=e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))=3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up6(→))=－8e1－2e2，
∴eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))=4e1＋e2=－eq \f(1,2)(－8e1－2e2)=－eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))共線.
又∵eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線.
(2)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))=(e1＋e2)＋(2e1－3e2)=3e1－2e2.
∵A，C，D三點(diǎn)共線，
∴eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實(shí)數(shù)λ使得eq \(AC,\s\up6(→))=λeq \(CD,\s\up6(→))，
即3e1－2e2=λ(2e1－ke2)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ=eq \f(3,2)，k=eq \f(4,3).
設(shè)兩向量a與b不共線.
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a﹣b).求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.
【答案解析】 (1)證明：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a﹣b).
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a﹣b)＝2a＋8b＋3a﹣3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，
又它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線.
(2)解：∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k﹣λ)a＝(λk﹣1)b.
∵a，b是不共線的兩個(gè)向量，
∴k﹣λ＝λk﹣1＝0，
∴k2﹣1＝0，
∴k＝±1.

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