山東省煙臺市牟平區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先將兩個(gè)集合化簡求其交集，然后根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)與真子集個(gè)數(shù)關(guān)系求出真子集個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，
的真子集個(gè)數(shù)為.
故選：B.
2. 已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）
A. B. C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意列方程，解出和q即可.
【詳解】解：設(shè)遞增的等比數(shù)列{an}的公比為，且q1，
∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，
解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
則＝＝8．
故選：C．
3. 已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處有極值”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得a、再檢驗(yàn)，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>所以，解得或；
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足函數(shù)在處取得極值，
所以，
所以由推不出函數(shù)在處有極值，即充分性不成立；
由函數(shù)在處有極值推得出，即必要性成立；
故“”是“函數(shù)在處有極值”的必要不充分條件；
故選：B
4. 已知圓C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，則直線x＝－1與圓C的位置關(guān)系是（）
A. 相切B. 相交
C. 相離D. 不能確定
【答案】A
【解析】
【分析】
把圓方程配方得圓心坐標(biāo)和半徑，由圓關(guān)于直線對稱，說明圓心在此直線上，求得參數(shù)m，再求出圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系．
【詳解】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圓心C(1，m)，半徑r＝2，因?yàn)閳AC關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以圓心(1，m)在直線l：x－y＋1＝0上，所以m＝2．由圓心C(1，2)到直線x＝－1的距離d＝1＋1＝2＝r知，直線x＝－1與圓C相切．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．圓的一般方程可通過配方法變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，從而得出圓心坐標(biāo)和半徑．
5. 為了廣大人民群眾的食品健康，國家倡導(dǎo)農(nóng)戶種植綠色蔬菜．綠色蔬菜生產(chǎn)單位按照特定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行生產(chǎn)，并要經(jīng)過專門機(jī)構(gòu)認(rèn)定，獲得許可使用綠色蔬菜商標(biāo)標(biāo)志資格．農(nóng)藥的安全殘留量是其很重要的一項(xiàng)指標(biāo)，安全殘留量是指某蔬菜使用農(nóng)藥后的殘留量達(dá)到可以免洗入口且對人體無害的殘留量標(biāo)準(zhǔn)．為了防止一種變異的蚜蟲，某農(nóng)科院研發(fā)了一種新的農(nóng)藥“蚜清三號”，經(jīng)過大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該農(nóng)藥的安全殘留量為0.001mg/kg，且該農(nóng)藥噴灑后會逐漸自動降解，其殘留按照y＝ae﹣x的函數(shù)關(guān)系降解，其中x的單位為小時(shí)，y的單位為mg/kg．該農(nóng)藥的噴灑濃度為2mg/kg，則該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少需要（）小時(shí)．（參考數(shù)據(jù)ln10≈2.3）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先由可得a的值，再根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算法則，解不等式2≤0.001，即可．
【詳解】解：由題意知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
所以2＝a?e﹣0，解得a＝2，
所以y＝2e﹣x，
要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，則2e﹣x≤0.001，
解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，
因?yàn)閘n＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，
所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），
所以要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少需要8小時(shí)．
故選：D．
6. 若兩個(gè)非零向量，滿足|+|＝|﹣|＝||，則向量﹣與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】|+|＝|﹣|＝||平方，得到關(guān)系，以及與關(guān)系，求出與的關(guān)系，根據(jù)向量夾角公式，即可求解.
【詳解】解：∵，
∴，
∴，∴，
∴，，
∴，
且，
∴與的夾角為．
故選：B ．
7. 已知，，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得在上恒成立，進(jìn)而可得，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即得.
【詳解】設(shè)，，
在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，
，即在上恒成立，
，
，
設(shè)，，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，
則在上單調(diào)遞增，且，
.
故選：A.
8. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對稱性可得函數(shù)的周期性以及，再利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推出的周期以及，進(jìn)而可求解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，即函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
則，
所以，則，所以函數(shù)以4為周期，
，
因?yàn)?，所以?br>即，即，
也即，
令，則有，所以，
由得，所以以4為周期，
所以，
所以，C正確，
對于其余選項(xiàng)，根據(jù)題意可假設(shè)滿足周期為4，
且關(guān)于點(diǎn)對稱，
，故A錯(cuò)誤；
，B錯(cuò)誤；
，D錯(cuò)誤，
故選:C.
二．多選題（每小題6分，部分選對得部分分，共18分）
9. 已知圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）
A. 圓的方程為
B. 直線的方程為
C. 均與圓相切
D. 四邊形的面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】A．將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求解出圓心的坐標(biāo)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求，最后化為一般方程并判斷；
B．聯(lián)立兩個(gè)圓的一般方程，通過相減消去得到直線的方程并判斷；
C．根據(jù)切線的定義進(jìn)行判斷；
D．根據(jù)結(jié)合線段長度求解出結(jié)果并判斷.
【詳解】解：由圓，得，
則圓心，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則以為直徑的圓的方程為，
整理得：，
即圓的方程為，故A正確；
聯(lián)立，兩式作差可得：，
即直線的方程為，故B錯(cuò)誤；
∵在以為直徑的圓上，∴，
由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，可得均與圓相切，故C正確；
∵，且，∴，
∴四邊形的面積為，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
10. 如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為，則（）
A. 圓錐的表面積為
B. 圓柱的體積最大值為
C. 圓錐的外接球體積為323π27
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的截面確定底面半徑和母線，代入圓錐表面積公式計(jì)算可判斷A，利用相似找到圓柱的底面半徑和高的關(guān)系，求出圓柱體積的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法求解最大值可判斷B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半徑，求出體積即可判斷C，作差變形，判斷符號即可判斷D.
【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，
所以圓錐母線長為2，底面圓的半徑為1，圓錐的高，
所以圓錐的表面積為，故選項(xiàng)A正確；
設(shè)圓柱的高為h，如圖
則，解得，
則圓柱的體積為，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以圓柱的體積最大值為，故選項(xiàng)B正確；
如圖，
設(shè)圓錐的外接球球的半徑為，則由是正三角形可得，,
在中，，解得，所以圓錐外接球體積為，故選項(xiàng)C正確；
因?yàn)椋?br>所以，
，
所以
，
由于與1的關(guān)系無法判斷，所以與大小關(guān)系不確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)
C. 若為單調(diào)遞減函數(shù)，則
D. 若與軸相切，則.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義可得的零點(diǎn)即方程的根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象可判斷A，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求的范圍，由此可判斷C，結(jié)合單調(diào)性與極值的定義可判斷B.
【詳解】，令可得，化簡可得，
設(shè)，則，
當(dāng)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，
當(dāng)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
又，，由此可得函數(shù)圖象如下：
所以當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
所以當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，A對，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
若與軸相切，設(shè)與軸相切與點(diǎn)，
則，，
所以，，
所以，，故D正確；
若為單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立，
所以在上恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
且，，當(dāng)時(shí)，，
由此可得函數(shù)的圖象如下：
所以若為單調(diào)遞減函數(shù)，則，C錯(cuò)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有極值點(diǎn)，B錯(cuò)，
故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象解決問題，本題為函數(shù)綜合性問題，涉及函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，函數(shù)的極值，考查的知識點(diǎn)較多，要求具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，較強(qiáng)的解題能力.
三．填空題（每小題5分，共15分）
12. 已知，則的值為______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的和差公式將展開,再整理得到,再利用二倍角公式求出的值.
【詳解】解：由于,
則
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的和差公式、二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．
13. 雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為雙曲線右支上的動點(diǎn)，且周長的最小值為14，則雙曲線的離心率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)化為，然后利用三點(diǎn)共線時(shí)取最小值求解即可.
【詳解】∵，，
∵周長的最小值為14，
∴的最小值為14，即的最小值為，
設(shè)右焦點(diǎn)為，則，即，
則，即三點(diǎn)共線時(shí)最小，
此時(shí)，即最小值為，得，
∵，∴離心率.
故答案為：
14. 在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異.若離散型隨機(jī)變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知公式得出，根據(jù)二次函數(shù)最值與不等式性質(zhì)得出，即可根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)已知公式，
得，
，
令，開口向下，對稱軸為，
在上，，
則，
則，
故答案為：
四．解答題
15. 已知，其圖象相鄰對稱軸間的距離為，若將其圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.
（1）求函數(shù)的解析式及圖象的對稱中心；
（2）在鈍角中，內(nèi)角的對邊分別是，若，求的取值范圍.
【答案】（1），對稱中心為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出，再根據(jù)圖像平移得到，由對稱中心公式求得結(jié)果；
（2）由得出三角的關(guān)系，利用正弦定理及角度關(guān)系化簡，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間得出結(jié)果.
【小問1詳解】
已知圖象相鄰對稱軸間的距離為，則.
由周期公式得，，
所以，
，
令，所以，
故函數(shù)的對稱中心為
【小問2詳解】
由題意得，，，
所以.
所以或（舍），
所以.
因?yàn)樵阝g角中，所以，
所以，
則
令，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值；
，所以
故.
16. 如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．
（1）求證：平面BDEF；
（2）求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合菱形性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理求解即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求線面角即可.
【小問1詳解】
設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接FO，
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
且O為AC中點(diǎn)，，，
又，平面BDEF，∴平面BDEF．
【小問2詳解】
連接DF，∵四邊形BDEF為菱形，且，
為等邊三角形，
∵O為BD中點(diǎn)，∴，又，平面ABCD，
平面ABCD．故OA，OB，OF兩兩垂直，
∴建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示，
設(shè)，∵四邊形ABCD為菱形，，．
等邊三角形，∴．
，
∴，，
設(shè)平面ABF的法向量為，則
令，解得，
設(shè)AD與平面ABF所成角為，則AD與平面ABF所成角的正弦值為：．
17. 記焦點(diǎn)在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”．已知橢圓E：，橢圓E的相似橢圓M經(jīng)過（2，1）點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)（A，B，C，D四點(diǎn)位置如圖），若|CD|＝2|AB|，點(diǎn)N在直線l上，ON⊥直線l，求|ON|的取值范圍．
【答案】（1）+＝1；（2）．
【解析】
【分析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入，求解即可；
（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出，，由，求解即可．
【詳解】（1）由條件可知，橢圓M的離心率e＝，
設(shè)橢圓M的方程為+y2＝λ（λ≠0），代入點(diǎn)（2，1），
得λ＝3，
所以橢圓M的方程為+＝1．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝t（﹣＜t＜），
|AB|＝2，|CD|＝2，
由|CD|＝2|AB|，可得2＝4，解得t＝±，此時(shí)|ON|＝；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（1+2k2﹣m2）＞0，即1+2k2＞m2，
x1+x2＝，x1x2＝，
由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＝8（3+6k2﹣m2）＞0，即3+6k2＞m2，
所以x3+x4＝，x3x4＝，
所以|AB|＝＝?，
|CD|＝＝?，
由|CD|＝2|AB|，可得1+2k2＝3m2，
所以|ON|2＝＝＝﹣，
所以|ON|2∈，
即|ON|∈．
綜上可得，|ON|的取值范圍是
【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若且，證明：，．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，比較導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用二次導(dǎo)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為證明恒成立，再利用，可證明，只需證，化簡后，構(gòu)造函數(shù)，證明不等式.
【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，
∵，∴
∴由得或
由得；
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）欲證，，即證，，
令，，則，
令，則，
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以欲證，，只需證，①
因?yàn)椋裕?br>即，②
令，則，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以，故②式可等價(jià)變形為：
所以，欲證①式成立，只需證成立
所以僅需證，
令，（），則，
∴在上單調(diào)遞增，
故，即，
∴結(jié)論得證．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，本題的關(guān)鍵是利用，變形，計(jì)算求得，從而轉(zhuǎn)化為證明成立.
19. 混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中，假設(shè)在一個(gè)混沌系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)值滿足，已知初始狀態(tài)值，其中，這樣每一時(shí)刻的狀態(tài)值構(gòu)成數(shù)列.
（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，證明：
①；
②.
【答案】（1）；
（2）①證明見解析；②證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義，結(jié)合求解即得.
（2）①把代入，變形得，再探討的符號及數(shù)列的單調(diào)性推理得證；②由已知結(jié)合累加法得，再由①結(jié)合累加法求得即可推理得證.
【小問1詳解】
由是等比數(shù)列，得，且，
依題意，，則，
于是，即，整理得，
因此，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
①由知，，則，
由，得數(shù)列是遞減數(shù)列，則；
又，則同號，有與同號，即，于是，
所以．
②由，得，
由①知，，則，又，因此，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問0
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