注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將案寫在題卡上，寫在試卷上無效．
3．考試結束后，本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設，分別是空間中的直線，的方向向量，，.記甲：，，不共面，乙：與異面，則（ ）
A. 甲是乙充分不必要條件B. 甲是乙的必要不充分條件
C. 甲是乙的充要條件D. 甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】從充分性和必要性的角度，結合異面直線的定義，即可判斷和選擇.
【詳解】對空間中的任意兩條直線，
若，，不共面，顯然不可能平行或相交，兩直線異面，充分性成立；
若是異面直線，根據異面直線的定義，定有，，不共面，必要性成立；
故甲是乙的充要條件.
故選：C.
2. 設是由正數組成的等比數列，公比，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據等比數列的性質，設，，，
則A，B，C成等比數列，然后利用等比中項的性質可求得答案
【詳解】設，，，
則A，B，C成等比數列，公比為，且,
由條件得，
所以，所以，所以.
故選：B
3. 已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A,B（不重合），且A,B在以點為圓心的圓上，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求點的坐標，以及中點坐標，結合圓的幾何性質，列式求解.
【詳解】聯(lián)立，得；
聯(lián)立，得；
不妨設，，
則線段的中點為，
由題意可知，，整理，
所以雙曲線為等軸雙曲線，離心率.
故選：B
4. 已知函數在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A. B. eC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
5. 已知，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據導數的運算求導函數，由解方程，即可求得的值.
【詳解】，
因為，所以，
解得.
故選：B.
6. 貝塞爾曲線（Beziercurve）是應用于二維圖形應用程序的數學曲線，一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數的圖象是可由，，，四點確定的貝塞爾曲線，其中，在的圖象上，在點，處的切線分別過點，.若，，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意設出函數表達式，結合函數值、切線斜率建立方程組，待定系數即可得解.
【詳解】設，則，
由題意，解得，所以.
故選：C
7. 函數的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷函數的奇偶性排除選項，然后利用特殊點的函數值，以及利用導數研究函數的單調性，即可判斷．
【詳解】解：因為，所以，
所以為偶函數，即圖象關于軸對稱，則排除，
當時，，故排除C，
，當時，，所以，即在上單調遞增，故排除D；
故選：．
8. 已知直線與圓相交于兩點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】先求得弦的中點的軌跡方程，則的幾何意義為兩點到直線的距離之和，即點到直線距離的2倍，結合點到直線的距離公式求解即可.
【詳解】由題設知，直線與軸的交點為，設弦的中點為，
連接，則，即，所以，
即，
所以點的軌跡方程為，
即的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
設直線為，則到的最小距離為，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，
則四邊形是直角梯形，且是的中點，
則是直角梯形的中位線，所以，即
，
即，
所以的最小值為.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9. 下列關于空間向量的命題中，正確的有（ ）
A. 直線的方向向量，平面的法向量是，則；
B. 若非零向量滿足，則有；
C. 若是空間的一組基底，且，則四點共面；
D. 若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底；
【答案】CD
【解析】
【分析】利用空間向量基底的概念與向量和向量間的位置關系逐項判斷即可．
【詳解】對于A：因為，所以，又因為為直線的方向向量，為平面的法向量，所以，故A錯誤；
對于B：若非零向量滿足，則和的關系不確定，故B錯誤；
對于C：若，，是空間的一組基底，且，則，即,可得A，B，C，D四點共面，故C正確；
對于D：因為，，是空間的一組基底，所以對于空間中的任意一個向量，存在唯一的實數組，使，所以向量，，也是空間一組基底，故D正確，
故選：CD．
10. 已知函數，則（ ）
A. 有兩個極值點B. 有三個零點
C. 點是曲線的對稱中心D. 直線是曲線的切線
【答案】AC
【解析】
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數在上有一個零點，
當時，，即函數在上無零點，
綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；
令，該函數的定義域為，，
則是奇函數，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
11. 已知三棱柱的側棱與底面垂直，，分別為的中點，點P在直線上，且，下列說法中正確的有（ ）
A. 直線MN與所成角的大小為
B.
C. PN與平面ABC所成最大角的正切值為2
D. 點N到平面AMP距離的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求線線、線面、點面距離，結合參數范圍求最值判斷A、C、D；坐標法求的值判斷B.
【詳解】由題設，構建如下圖示空間直角坐標系，則，
所以，，，，
則，顯然直線MN與所成角不為，A錯；
又，故，B對；
由面的一個法向量為，則，
所以時，PN與平面ABC所成最大角的正弦值為，則正切值為，C對；
由，，若為面AMP的一個法向量，
則，令，則，
又，則點N到平面AMP距離為，
令，則，故，D對.
故選：BCD
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分．
12. 正四面體的棱長為，點M為平面內的動點，且滿足，則直線PM與直線AB的所成角的余弦值的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】結合正四面體的結構特征求出相關線段長，確定M軌跡，建立空間直角坐標系，設，從而表示出的坐標，利用向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知正四面體的棱長為，
設P在底面上的射影為O，則O為正三角形的中心，
設D為的中點，連接，則O在上，，
且，
則，而，
故，故點M軌跡為平面內以O為圓心半徑為1的圓，
以O為坐標原點，以為x軸，過點O作的垂線為y軸，為z軸，建立平面直角坐標系，
設，，
，
故，，
設直線PM與直線AB的所成角為，
則，
故答案為：
13. 已知圓：與圓：相交于、兩點，則圓：的動點到直線距離的最大值為__________ .
【答案】
【解析】
【分析】借助數形結合思想，結合直線與圓的位置關系可得答案.
【詳解】圓：與圓：的方程相減，
可得，即直線的方程為.
圓：的圓心為，半徑，
點到直線距離，
則圓上的動點到直線距離的最大值為，
故答案為：.
14. 設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】采用構造函數法，設，，則原問題轉化為存在唯一的整數，使得在直線的下方，對求導可判斷函數在處取到最小值，再結合兩函數位置關系，建立不等式且，即可求解
【詳解】設，，由題設可知存在唯一的整數，使得在直線的下方，因為，故當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；故，而當時，，，故當且，解之得
故答案為：．
【點睛】本題考查由導數研究函數的極值點，構造函數法求解參數取值范圍，數形結合思想，屬于難題
四、解答題：本題共2小題，共24分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. （1）已知函數,求解集；
（2）設曲線在點（0，e）處的切線與直線垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由題可得，然后解不等式即得；
（2）根據復合函數的導數可得，然后根據導數的幾何意義及直線的位置關系即得.
【詳解】（1）由題可得 ，
由可得或，
又因為，
故不等式的解集為；
（2）由題可得 ，
依題意：，
所以.
16. 已知直線過橢圓的右焦點，且交于兩點．
（1）求的離心率；
（2）設點，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，結合題目所給信息以及，，之間的關系，可得橢圓的方程，再根據離心率公式即可求解；
（2）先得到直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式進行求解即可．
【小問1詳解】
由題，，
且在上有，
解得．
故橢圓的標準方程為，
離心率．
【小問2詳解】
因為直線經過，兩點，
可得直線的方程為，
聯(lián)立，
解得或，
所以直線與橢圓的另一交點為，
則，
又點到直線的距離．
故的面積．
17. 已知數列是等差數列，公差，Sn為前n項和，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）記數列的前n項和為Tn，且，求Tn．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據已知條件求得首項和公差，從而求得.
（2）利用裂項求和法來求得.
【小問1詳解】
∵，
∴，，，∴，，
若，則，與已知矛盾；
若，則，，，即，，符合題意.
∴.
【小問2詳解】
由（1）知，，，
∴，
∴
.
18. 茶起源于中國，盛行于世界，是承載歷史文化的中國名片．武夷山，素有茶葉種類王國之稱，茶文化歷史久遠，茶產業(yè)生機勃勃．2021年3月22日下午，習近平總書記來到福建武夷山星村鎮(zhèn)燕子窠生態(tài)茶園考察．總書記強調，過去茶產業(yè)是你們這里脫貧攻堅的支柱產業(yè)，今后要成為鄉(xiāng)村振興的支柱產業(yè)．3月25日，人民論壇網調研組一行循著習總書記此次來閩考察的足跡，走訪了福建武夷山．調研組了解到某茶葉文化推廣企業(yè)研發(fā)出一種茶文化的衍生產品，十分的暢銷．據了解，該企業(yè)年固定成本為50萬元，每生產百件產品需增加投入7萬元．在2021年該企業(yè)年內生產的產品為x百件，并能全部銷售完．據統(tǒng)計，每百件產品的銷售收入為萬元，且滿足．
（1）寫出該企業(yè)今年利潤關于該產品年銷售量x百件的函數關系式；
（2）今年產量為多少百件時，該企業(yè)在這種茶文化衍生產品中獲利最大？最大利潤多少？
【答案】（1）；（2）當年產量為1百件，最大利潤為25萬元.
【解析】
【分析】（1）由題意得可得，代入化簡，即可得答案.
（2）由（1）得，，利用導數求得的單調性及最值，分析整理，即可得答案.
【詳解】解：（1）依題意得：
（2）由（1）得，，
則，
令，得或（舍去）
當時，，則單調遞增，
當時，，則單調遞減，
所以當時，有
答：當年產量為1百件時，該企業(yè)在這種茶文化衍生產品中獲利最大且最大利潤為25萬元．
19. 已知函數（為自然對數的底數）．
（1）求的圖象在x=1處的切線方程；
（2）求的單調區(qū)間和極值；
（3）若，滿足，求證：．
【答案】（1）y＝（3e﹣3）x+2；（2）f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（﹣∞，0），極小值f（0）＝6，無極大值；（3）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）根據導數的幾何意義先求出切線斜率，進而可求切線方程；
（2）根據導數與單調性的關系及極值存在條件即可求解；
（3）要證x1+x2＜0，等價于證明f（x2）＝f（x1）＜f（﹣x1），結合函數f（x）在（0，+∞）上單調性即可證明．
【詳解】（1）∵f'（x）＝3x2ex﹣3x2＝3x2（ex﹣1），
∴f'（1）＝3（e﹣1），即在x＝1處的切線斜率為k＝3（e﹣1）．
又∵f（1）＝3e﹣1，
∴函數f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為y﹣（3e﹣1）＝3（e﹣1）（x﹣1），
整理得y＝（3e﹣3）x+2．
（2）∵f'（x）＝3x2ex﹣3x2＝3x2（ex﹣1），
∴當x＞0時，f'（x）＞0；當x＜0時，f'（x）＜0．
則f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（﹣∞，0），
所以f（x）在x＝0處取得極小值f（0）＝6，無極大值．
（3）∵f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，由（1）可知x1，x2異號．
不妨設x1＜0，x2＞0，則﹣x1＞0．
令g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝（3x2﹣6x+6）ex﹣（3x2+6x+6）e﹣x﹣2x3，
則g'（x）＝3x2ex+3x2e﹣x﹣6x2＝3x2（ex+e﹣x﹣2）≥0，
所以g（x）在R上是增函數．
又g（x1）＝f（x1）﹣f（﹣x1）＜g（0）＝0，
∴f（x2）＝f（x1）＜f（﹣x1），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴x2＜﹣x1，即x1+x2＜0．
【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義及單調性，極值關系的綜合應用及利用導數證明不等式，屬于中檔題．

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