第I卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出準(zhǔn)線方程.
【詳解】由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：A.
2. 在正數(shù)等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前10項和（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出首項和公比，即可利用求和公式求出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
∵，∴，∵，∴.
∵，∴，∴.
故選：B.
3. 已知直線，若，則實數(shù) （ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行公式求出參數(shù)m的值，驗證是否重合.
【詳解】因為，所以，
解得：或，
當(dāng)時，，，兩直線平行，滿足題意，
當(dāng)時，，，兩直線重合，舍，
所以.
故選：A.
4. 已知點，則以為直徑的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知圓心為，半徑為，進(jìn)而可得圓的方程.
【詳解】因為，可知線段的中點為，且，
即圓心為，半徑為，
所以所求圓的方程為.
故選：D.
5. 若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得右焦點為，則，即可求得.
【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，即，所以右焦點為，
又拋物線的焦點與重合，
所以，所以.
故選：D.
6. 已知點、在圓上，點在直線上，點為中點，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)垂徑定理可得點在以為圓心，為半徑的圓上，再利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)圓心為，半徑為，則，，
,所以由垂徑定理可得，
故點在以為圓心，為半徑的圓上，
因為點到直線的距離，
所以的最小值為，
故選：B.
7. 已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，畫出圖像，根據(jù)，可令，然后表示出，，然后利用橢圓定義找到與之間的關(guān)系，然后用分別表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出與之間的關(guān)系，從而求解離心率.
【詳解】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：
因為，令，
所以，，由橢圓的定義可知，
所以，所以，，，，
由橢圓的定義可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的離心率是.
故選：D.
8. 在四棱臺中，平面，，，，且，動點滿足，則直線與平面所成角正弦值的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法表示線面角的正弦值，根據(jù)的范圍求解即可.
【詳解】
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，
，，，
，
因為平面，所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以,
因為，所以當(dāng)時，正弦值最大，且最大值為.
故選：.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）
9. 已知直線，圓，則（ ）
A. 經(jīng)過定點
B. 圓與圓：外離
C. 當(dāng)與圓相切時，.
D. 圓心到直線距離的最大值為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)方程的形式，聯(lián)立方程，即可求定點，判斷A，根據(jù)兩圓位置關(guān)系判斷B；根據(jù)相切結(jié)合點到直線的距離公式運算判斷C；求出圓心到動直線的最大距離即可判斷D.
【詳解】對于選項A：因為，
令，解得，所以l過定點，故A正確；
對于選項B：圓可化為，可知其圓心為，半徑，
圓：的圓心為，半徑，
因為，即，可知兩圓相交，故B錯誤；
對于選項C：若與圓相切，
則圓心到直線的距離，解得，故C錯誤；
對于選項D：當(dāng)時，圓心到直線距離的最大，
此時最大值為，故D正確.
故選：AD.
10. 記為等差數(shù)列的前項和.若，則以下結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. 的最大值為
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式得到，借助通項公式、求和公式、等差中項性質(zhì)依次分析，即得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，則，故，
所以，所以，故A正確；
由于的正負(fù)不清楚，故可能為最大值或最小值，故B錯誤；
因為，則，故C正確；
因為，所以，即，故D錯誤．
故選：AC.
11. 拋物線的準(zhǔn)線為l，P為上的動點，過作圓的一條切線，切點為，過作的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與圓相切B. 當(dāng)時，
C. 的最小值為D. 滿足的點有且僅有2個
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，再借助切線的性質(zhì)計算即可得；C選項，結(jié)合拋物線定義可得三點共線時，最小，計算即可得；D選項，直接設(shè)點坐標(biāo)進(jìn)行求解即可得.
【詳解】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，
圓的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準(zhǔn)線和圓相切，A選項正確；
B選項，當(dāng)時，，此時，故或，
當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，，；
故或，B選項錯誤；
C選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，故 的最小值為，C選項錯誤；
D選項， 設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，
，則關(guān)于的方程有兩個解，
即存在兩個這樣的點，D選項正確.
故選：AD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，現(xiàn)兩人各自獨立射擊一次，則至少一人中靶的概率為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式，結(jié)合對立事件公式，即可求解.
【詳解】設(shè)甲中靶為事件，乙中靶為事件，
則至少有一人中靶的對立事件為兩人都沒有中靶，
則至少有一人中靶的概率.
故答案為：
13. 在數(shù)列中，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法求出通項公式.
【詳解】在數(shù)列中，，
當(dāng)時，
，而滿足上式，
所以.
故答案為：
14. 已知正四面體ABCD的棱長為6，P是空間一點，若，則點P到平面BCD的距離的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】若的中點分別為，且的中點為，應(yīng)用向量加法的幾何意義可得，進(jìn)而確定的軌跡及的位置，結(jié)合已知求點P到平面BCD的距離的最大值.
【詳解】由，即，
若的中點分別為，且的中點為，則，
所以，即在以為球心，為半徑的球面上，
由題設(shè)，易知都在面內(nèi)，則面，
又面，即面，即，同理，
而，，易知，故為正四面體外接球球心，
到面BCD的距離，
到面BCD的距離，則，所以，
綜上，點P到平面BCD的距離的最大值為.
故答案為：
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
（1）求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率；
（2）求“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法概率公式計算即可；
（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對，分四種情況計算可得答案.
小問1詳解】
設(shè)甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞為事件，
.
【小問2詳解】
設(shè)事A＝“甲第一輪猜對”，B＝“乙第一輪猜對”，C＝“甲第二輪猜對”，D＝“乙第二輪猜對”，E＝““九章隊”猜對三個數(shù)學(xué)名詞”，
所以，
則，
由事件的獨立性與互斥性，得
，
故“九章隊”在兩輪活動中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率為．
16. 已知圓C是以點為圓心，且過點的圓．
（1）求圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點A的坐標(biāo)為，求過點A的圓C的切線方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由兩點間的距離公式求出，即可寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可知A在圓外，就切線斜率是否存在分類討論，再根據(jù)點到直線的距離等于半徑，列式即可解出．
【小問1詳解】
因，所以圓．
【小問2詳解】
由已知得，A在圓外，
當(dāng)斜率不存在時，直線方程為，與圓相切，
當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為，
，解得，
所以切線方程為，
綜上，切線方程為或．
17. 已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；
（2）證明見解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用求出通項公式.
（2）利用給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列定義推理并求出通項公式.
（3）由（1）（2）求出，再利用錯位相減法求和即得.
【小問1詳解】
在數(shù)列中，，
當(dāng)時，，
而滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式是.
【小問2詳解】
數(shù)列中，，，顯然，則，
所以是首項，公差為2的等差數(shù)列，
故，.
【小問3詳解】
由（1）（2）得，
，
則，
兩式相減得
，
所以.
18. 在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，其中是棱的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面夾角的正弦值；
（3）求點到平面的距離；
【答案】（1）證明見解析
（2） （3）1
【解析】
【分析】（1）連接交于點，連接，則由三角形的中位線定理可得，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；
（2）由已知可證得，且，所以以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式即可求解；
（3）利用空間向量中的距離公式可求點到平面的距離.
【小問1詳解】
連接交于點，連接，
因為分別為的中點，所以，
又平面，平面，
則平面；
【小問2詳解】
直線平面平面，
所以，且，
則以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系；
，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
令，得，且，
所以，
直線與平面夾角的正弦值為；
【小問3詳解】
因為，
且平面的法向量為，
則點到平面的距離.
19. 已知橢圓，點，在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求橢圓C上點到直線距離的最大值；
（3）過橢圓C右焦點F的直線l與C相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所過點得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）利用三角換元法，結(jié)合點線距離公式與三角函數(shù)恒等變化即可得解；
（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)條件得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.
【小問1詳解】
由題意得，解得，，
故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
因為點在橢圓上，不妨設(shè)，
則點到直線距離為
，其中，
所以當(dāng)，即時，取得最大值，為，
即橢圓C上點到直線距離的最大值為.
【小問3詳解】
假設(shè)存在，由于，
當(dāng)直線斜率為0時，l方程為，點P在x軸上任意點都符合題意，
當(dāng)直線斜率不為0時，可設(shè)直線l方程為，，，
聯(lián)立方程組，得，
易知，則，故，
則，
即，
則，即，
所以，因此，
此時，顯然直線斜率0時也符合題意，
即存在點使得．
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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