注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，即可得答案.
【詳解】設(shè)直線的的傾斜角為，且，
直線的斜率，所以，
故選：C
2. 平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.
【詳解】由題意，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，
故根據(jù)橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，
故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B
3. 以點(diǎn)為圓心，且過原點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圓心到原點(diǎn)的距離即可求解.
【詳解】由題意，圓心坐標(biāo)為點(diǎn)，半徑為，
則圓的方程為.
故選：D.
4. 已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓的公共弦所在直線的特點(diǎn)，兩圓方程相減即可得解.
【詳解】圓：，圓：
兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：.
故選：B
5. 直線過點(diǎn)，且與圓：相交所形成的長度為的弦的條數(shù)為（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)過圓內(nèi)的弦長最長為直徑，最短時(shí)點(diǎn)與圓心連線為弦心距求出范圍即可判斷.
【詳解】由題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，
而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，且圓心到該點(diǎn)的距離，
當(dāng)直線與、的連線垂直時(shí)，弦長最短為，
故長度為的弦的條數(shù)為1條.
故選：C
6. 若點(diǎn)關(guān)于直線：（，）的對稱點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，利用斜率關(guān)系求直線斜率，再由中點(diǎn)在直線上得解.
【詳解】直線的斜率為，直線為線段的中垂線，從而，
又線段的中點(diǎn)在上，故，解得.
故選：D.
7. 已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為3直線交于，兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線的方程與橢圓聯(lián)立可以兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及三角形面積公式可求的半徑.
【詳解】依題意，直線的方程為即，
聯(lián)立解得，所以，從而，
的周長為，面積為，
又，所以.
故選：A
8. 點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圓M與x軸相切與焦點(diǎn)F，設(shè)，則，所以圓的半徑為，利用是直角三角形，即可求出橢圓的離心率．
【詳解】圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，
在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；
作軸，垂足為，
，，
為直角三角形，，，
，即，又，所以，
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.
9. 以下四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的倍的直線的方程為
B. 向量是直線的一個(gè)方向向量
C. 直線與直線之間的距離是
D. 直線的傾斜角的范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)直線截距式及其適用條件可判斷A選項(xiàng)，根直線方向向量的概念可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)平行線間距離公式可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，
綜上，所求直線方程為或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：由方向向量的定義知正確；
C選項(xiàng)：直線，即為，
故直線與直線之間的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：直線的斜率，
所以傾斜角的范圍是，故D選項(xiàng)正確；
故選：BD.
10. 已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 若，則的面積為
B. 使為直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)
C. 的最大值為
D. 若，則的最大、最小值分別為和
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積的相關(guān)結(jié)論即可判斷A；結(jié)合橢圓性質(zhì)可判斷B；結(jié)合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD.
【詳解】A選項(xiàng)：由橢圓方程，所以，，所以，
所以的面積為，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：當(dāng)或時(shí)為直角三角形，這樣的點(diǎn)有4個(gè)，
設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，則,同理，
知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)也為直角三角形，
其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)有6個(gè)，故B正確；
C選項(xiàng)：由于，
所以當(dāng)最小即時(shí)，取得最大值，故C正確；
D選項(xiàng)：因?yàn)椋?br>又，則的最大、最小值分別為和，
當(dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號，故D正確.
故選：BCD
11. 已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)是直線：上一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，則（ ）
A. 曲線方程為
B. 點(diǎn)到直線距離的最小值為
C. 的最小值為
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)條件化簡即可得圓的方程判斷A，根據(jù)圓心到直線的距離及圓的性質(zhì)判斷B，根據(jù)切線及圓的幾何性質(zhì)判斷C，利用求最小值判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)Mx,y，則由得，化簡得：，
故曲線的方程為，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：：的圓心到直線的距離為，
所以直線與相離，從而圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為，從而B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：中，，故C正確；
D選項(xiàng)：對直線：，令，可得，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 圓：在點(diǎn)處切線方程為______；
【答案】
【解析】
【分析】由切線與圓心和切點(diǎn)連線的垂直關(guān)系得切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得答案.
【詳解】由題意知圓心，
，，又過點(diǎn)，
所以切線方程為，即，
故答案為：.
13. 已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為4，則的值為______；
【答案】或
【解析】
【分析】代入點(diǎn)求出，再由焦距得出，根據(jù)分類討論求解.
【詳解】將代入橢圓方程：，解得；
故橢圓方程為，
由焦距為4，得，.
由題意知，且，方程可化為，
若橢圓焦點(diǎn)在軸上，故，，則有，解得；
若橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，則有，解得；
綜上所述，或.
故答案為：或
14. 已知為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】化簡曲線方程，三角換元，利用三角恒等變換化簡后求最值即可.
【詳解】曲線即，
由于在曲線上，令，
則，
（其中，，不妨設(shè)），
，又，，
當(dāng)時(shí)取得最大值.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知直線：，：.
（1）若，求的值.
（2）設(shè)直線過的定點(diǎn)為，直線過的定點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)直線與的交點(diǎn)為，求中邊上的高所在直線的方程.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）兩直線平行可得，解方程再檢驗(yàn)即可得解；
（2）求出兩點(diǎn)，再由直線方程聯(lián)立求出，根據(jù)直線垂直得斜率，即可求出直線方程.
【小問1詳解】
，解得或
當(dāng)時(shí)，：，：滿足；
當(dāng)時(shí)，：，：,
即滿足；
故或.
【小問2詳解】
由直線：可知過定點(diǎn)，
由：可知過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立與的方程得，
解得，
，從而，
又直線過點(diǎn)，
故直線的方程為，即.
16. 橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）、為橢圓上的兩點(diǎn)，且為的重心，求直線的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.
（2）根據(jù)重心坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率.
【小問1詳解】
由題.：.
【小問2詳解】
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，線段中點(diǎn)，而，
則為的重心，
，從而，
所以，即，
，均在橢圓上，
，作差并化簡得可得，即，
代入點(diǎn)坐標(biāo)得，
，
在橢圓內(nèi)部，所求直線存在，
故直線的斜率為.
【點(diǎn)睛】本題通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定和直線斜率的求解，考查了學(xué)生對橢圓的基本性質(zhì)、重心的計(jì)算以及斜率公式的熟練掌握．解題過程中，橢圓的參數(shù)求解和直線的斜率計(jì)算環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合．通過兩點(diǎn)間坐標(biāo)的差值計(jì)算直線的斜率（點(diǎn)差法），體現(xiàn)了解析幾何中的代數(shù)計(jì)算方法．
17. 如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證，再根據(jù)線面平行的判定定理證明；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【小問1詳解】
如圖所示，連接.

因?yàn)?，分別是棱，中點(diǎn)，所以，.
因?yàn)?，，所以，?br>所以四邊形是平行四邊形，則.
因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫妫⑵矫?，所以，?br>又因?yàn)?，所以，，兩兩垂直?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題中數(shù)據(jù)可得A0,0,0，，，，，，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則
令，得.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則.
即平面與平面的夾角的余弦值為.
18. 已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）過點(diǎn)直線與（1）中曲線交于不同的兩點(diǎn)，（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），
（i）求直線斜率的取值范圍；
（ii）直線，的斜率分別為、，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）是，5
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求出軌跡方程；
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線和曲線的方程，消去后，利用韋達(dá)定理及可求出斜率的取值范圍，利用斜率公式及韋達(dá)定理可求出.
【小問1詳解】
設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
因?yàn)辄c(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，
所以，
所以，
整理得曲線的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立直線和曲線的方程：，
消去得：，
（i）因?yàn)橹本€與曲線交于異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，
所以，
解得.
（ii）,
代入韋達(dá)得：，
所以是定值5.

19. 法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個(gè)圓被稱為蒙日圓.已知橢圓：，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的蒙日圓為圓.
（1）求圓的方程；
（2）已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求證：；
（3）過點(diǎn)作互相垂直的直線、，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析； （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)蒙日圓定義及橢圓方程直接得解；
（2）設(shè)Ax0,y0，根據(jù)橢圓方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)直接計(jì)算，再由圓的幾何性質(zhì)計(jì)算即可得證；
（3）分類討論，當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，根據(jù)可得，分別求出，利用換元法求出的取值范圍即可.
【小問1詳解】
橢圓：中，，
所以所求圓的方程為；
【小問2詳解】
如圖，
設(shè)Ax0,y0，則，
又、，
，
同理，
，
.
【小問3詳解】
①當(dāng)斜率不存在，斜率為0時(shí)，方程為，原點(diǎn)到的距離為，
所以，，
所以四邊形面積；
②當(dāng)斜率存在，斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，
則的方程為即，
則原點(diǎn)到的距離為，
所以，
設(shè)Mx1,y1、Nx2,y2，聯(lián)立與的方程，即，
消去得，
由于在橢圓內(nèi)部，所以直線與必相交且，
所以
，
因?yàn)?
所以四邊形面積，
令，則，
故
，
，， 令，則，
則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，所以.
綜上：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：表示出四邊形的面積后，能夠恰當(dāng)經(jīng)過兩次換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是解題的關(guān)鍵，對運(yùn)算能力要求較高.

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