重慶市第四十九中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號、在試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別確定集合、，再求.
【詳解】由.
所以.又
所以.
故選：B
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】必要性：若，則可得，所以可得，必要性成立；
若，則，而，故充分性不成立，
“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3. 已知角的終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函數(shù)定義求出，，再利用兩角和的正弦公式求出的值即可.
【詳解】由角的終邊上一點(diǎn)，
則，，
則，
故選：C.
4. 已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先確定當(dāng)時函數(shù)的解析式，再求導(dǎo)，確定的值.
【詳解】方法一：設(shè)，則.
所以，又，
所以（）.
所以當(dāng)時，，所以.
故選：D
方法二：因?yàn)楫?dāng)時，，則，所以.
由因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以為上的偶函數(shù)，所以.
故選：D
5. 已知函數(shù)的最小正周期為，則在的最小值為（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)的最小正周期為，求出的值，再結(jié)合給定范圍求最值即可.
【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?br>所以的最小正周期，即得，
所以，
，
所以，
當(dāng)時，取的最小值0，
所以在上的最小值為.
故選：C.
6. 已知函數(shù)過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先得出函數(shù)所過定點(diǎn)，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】因?yàn)?，令可得，?br>所以該函數(shù)過定點(diǎn)；
又該定點(diǎn)在直線上，所以，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為8.
故選：B.
7. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理及兩角和正弦公式化簡可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合面積公式即可求解.
【詳解】由，
根據(jù)正弦定理得，，
即，
即，
即，
因?yàn)?，則，
所以，即，
所以，
又，
則，即，
又，
所以的面積為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)的最大值是，為的一個極大值點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，可得其解析式，進(jìn)而可得，，求解即可.
【詳解】，
因?yàn)楹瘮?shù)的最大值是，
所以，又，解得，
所以，，
因?yàn)闉榈囊粋€極大值點(diǎn)，所以，
所以，.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為B. 的一條對稱軸是
C. 在區(qū)間上為增函數(shù)D. 的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到，從而判斷ABC，利用平方法與三角函數(shù)的倍角公式、性質(zhì)求得的最大值，從而判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>對于A，，
所以的最小正周期不可能為，故A錯誤；
對于BC，，
所以是的一條對稱軸，故B正確，C錯誤；
對于D，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，取值最大值，則的最大值是，故D正確.
故選：BD.
10. 若，且，則下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先由題意得到，進(jìn)而分析得與，從而判斷BC，再舉反例排除AD，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
又由于，所以，，，則，故B正確；
因?yàn)?，所以，故C正確；
當(dāng)，，時，可，故A錯誤；
當(dāng)，，時，，故D錯誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，舉反例排除AD，從而得解.
11. 若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，（）則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，令得，構(gòu)造，，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和圖象走勢，得到，解得；BC選項(xiàng)，，數(shù)形結(jié)合得到的單調(diào)性，從而得到，；D選項(xiàng)，證明對數(shù)平均不等式，結(jié)合，得到，故.
【詳解】A選項(xiàng)，，令得，
令，，則與有兩個不同的交點(diǎn)，
，
令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，
當(dāng)時，恒成立，
要想與有兩個不同的交點(diǎn)，則，解得，A正確；
BC選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>畫出與的圖象如下：
令得，
令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，B錯誤，C正確；
D選項(xiàng)，，故，
先證明，理由如下：
因?yàn)?，不等式變形為?br>即，令，
則，令，，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
故，所以，結(jié)論得證，
故，
結(jié)合A選項(xiàng)，，D正確.
故選：
【點(diǎn)睛】對數(shù)平均不等式為，在處理函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題上經(jīng)常用到，可先證明，再利用對數(shù)平均不等式解決相關(guān)問題，證明的方法是結(jié)合，換元后將二元問題一元化，利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行證明
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若函數(shù)，則________.
【答案】
【解析】
【分析】首先由，代入解析式即可求解.
【詳解】由，則，
故答案為：.
13. 在中三個內(nèi)角分別A，B，C且，，則角________
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)正切和角公式得到，由誘導(dǎo)公式得到，故，求出答案.
【詳解】，
又，故，
所以，
又，所以.
故答案為：
14. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到，進(jìn)而分析得在恒成立，從而利用一次函數(shù)的性質(zhì)列式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
令，，在上恒成立，
所以，即在恒成立，
則，即，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從而得解.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，
（1）求
（2）設(shè)的面積為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知，由倍角公式和正弦定理，可得，可得；
（2）余弦定理結(jié)合基本不等式有，面積公式可求的最大值.
【小問1詳解】
由，得，
銳角中，，所以，
正弦定理得，為銳角，則.
【小問2詳解】
，當(dāng)時等號成立，
則，所以.
即面積的最大值為.
16. 如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面面ABCD，M是PD的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面PCD
（2）求BM與平面所成角的正弦值
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明，再根據(jù)面面垂直判定定理即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
由平面平面，平面平面，
底面ABCD是邊長為2的正方形，則，平面，
可知面，平面，，
正三角形，為中點(diǎn)，
可得，平面，平面，
平面，平面平面.
【小問2詳解】
取AD的中點(diǎn)為O，連接，側(cè)面PAD是正三角形，
則，平面平面，平面平面，
平面，可知面，
設(shè)BC中點(diǎn)N，連接ON，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：
則，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，
設(shè)BM與平面所成角為，則.
17. 已知函數(shù)
（1）若，求在處的切線方程；
（2）試討論的單調(diào)性.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；
（2）討論、、，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可求出答案.
【小問1詳解】
由題意得，
由于，則，，
故切線方程.
【小問2詳解】
令，則，
①當(dāng)時，令，則；令，則或；
故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，令，則；令，則或；
在，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上：①當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，在，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
18. （1）2015年到2025年我國把全民健身上升為國家戰(zhàn)略，提出力爭在2025年實(shí)現(xiàn)全民健身與競技體育的協(xié)調(diào)發(fā)展.某高校積極響應(yīng)此號召，首先以身示范，開展了以“塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：
若該大學(xué)體重超重人數(shù)與月份變量（月份變量依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？
（2）在該校組織的一次趣味網(wǎng)球比賽中，甲，乙兩人比賽對決.比賽規(guī)定：一局中贏球一方作為下一局的開球方.若甲開球，則本局甲贏的概率為.若乙開球，則本局甲贏的概率為，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且沒有平局，經(jīng)抽簽決定，第一局甲開球
（i）求第4局甲開球的概率；
（ii）設(shè)前4局中，甲開球的次數(shù)為X，求X的概率分布列和均值.
附1：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：；，
附2：參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】（1）第7月份；（2）（i）；（ii）分布列見解析，均值為
【解析】
【分析】（1）最小二乘求回歸方程，由回歸方程進(jìn)行預(yù)測；
（2）（i）由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算；
（ii）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算X的各種取值對應(yīng)的概率，得分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
【詳解】（1），，，
，
所以，
當(dāng)時，解得，
從第7月份開始，大學(xué)生體重超重人數(shù)降至10人以下.
（2）記第局甲勝為事件，
（i）第4局甲開球?yàn)槭录嗀，
；
（ii）的取值可能為，
，
，
，
，
X的概率分布列為：
.
19. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，長軸長為，直線的傾斜角為
（1）求直線的方程及橢圓的方程.
（2）若橢圓上的兩動點(diǎn)A，B均在軸上方，且，求證：的值為定值.
（3）在（2）的條件下求四邊形的的面積的取值范圍.
【答案】（1），
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由長軸長的長度可求的值，又利用點(diǎn)和直線的傾斜角可得，進(jìn)而用可求，從而可得直線方程和橢圓的方程；
（2）設(shè)，，則關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即，由的斜率可得三點(diǎn)共線，進(jìn)而得，設(shè)代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，，從而計(jì)算可得結(jié)果；
（3）由題意可知四邊形為梯形，由點(diǎn)到直線的距離可得高，進(jìn)而結(jié)合梯形的面積公式利用基本不等式可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由長軸長為，可得，.
因?yàn)辄c(diǎn)上頂點(diǎn)，直線的傾斜角為，
所以中，，則，
又，則.
因?yàn)?，?br>所以直線的方程為.
橢圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，，
則關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即，
由，
三點(diǎn)共線，又，.
設(shè)代入橢圓方程得
，，，.
，
，
.
【小問3詳解】
四邊形為梯形，
令，則
（當(dāng)即時等號成立）.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即，進(jìn)而由平行關(guān)系判斷三點(diǎn)共線，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，從而計(jì)算可得結(jié)果；
在求的范圍的時候，通過變形利用基本不等式可求最大值即可.月份
1
2
3
4
5
體重超重的人數(shù)
640
540
420
300
200
X
1
2
3
4
P