數(shù)學(xué)試題
本試卷共 4 頁， 共 19 題．滿分 150 分， 考試用時(shí) 120 分鐘．
注意事項(xiàng)：
1． 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上的指定位置．
2． 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3． 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要 求的．
1．已知集合 ，則 （ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)滿足 (為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．為了得到曲線的圖象，可以將曲線上所有的點(diǎn)（ ）
A．橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度
B．橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度
C．橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度
D．橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度
5．在中，是直線上一點(diǎn)且，則（ ）
A．-2B．C．D．0
6．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列恒單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．四面體 中， ，點(diǎn) 在三角形 內(nèi)部 (包含邊界) 且 ，則三棱錐 的體積最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知實(shí)數(shù) 滿足，則 的值為（ ）
A．B．C．D．3
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部 選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯(cuò)的得 0 分．
9．下列說法正確的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)的樣本方差為9，則數(shù)據(jù)的方差為16
B．若一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)
C．已知隨機(jī)變量 ，若 ，則
D．運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.7 ，則在11次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是8次．
10．若函數(shù)在上恒成立，且，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．B．的最大值為
C．若的最小值為D．的最大值為
11．設(shè) 為非負(fù)整數(shù)， 為正整數(shù)，若 和 被 除得的余數(shù)相同，則稱 和 對模 同余，記為A ． 若 是素?cái)?shù)， 為不能被 整除的正整數(shù)，則 ，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理． 下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C． 為素?cái)?shù)，存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)D．已知實(shí)數(shù) ，則方程 的解只有 10 個(gè)
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12．現(xiàn)有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在兩端且 3 位男生中有且只有 2 位相鄰，則不同的站法有
13． ． (請用最簡數(shù)值作答)
14．已知雙曲線的離心率為 ，若雙曲線上不存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．已知的內(nèi)角，，的對邊分別是 ，，，已知 ．
(1)求角;
(2)若為外一點(diǎn)，在四邊形中，邊長 ， 求邊的最小值．
17．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，記.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；
(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 ；
(3)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
18．繼 2023 年電子競技首次作為正式競賽項(xiàng)目登上杭州亞運(yùn)會舞臺后，2024 年國際奧委會宣布首屆奧林匹克電子競技運(yùn)動會將于 2025 年在沙特阿拉伯王國舉辦．這意味著電子競技作為虛擬體育正式成為奧運(yùn)會項(xiàng)目的一部分．為迎接電子競技行業(yè)這一里程碑式的時(shí)刻， 甲、乙兩俱樂部計(jì)劃按照現(xiàn)今體育比賽中的賽制舉辦友誼賽．在體育比賽中有兩種常見賽制：一種是局勝制，例如一場比賽有5局， 率先勝3局一方獲勝，本場比賽結(jié)束; 另一種是局勝制，例如一場比賽有7局，率先勝4局一方獲勝， 本場比賽結(jié)束．
(1)若采用5局3勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率為0.9．已知甲、乙俱樂部采用這兩種賽制各進(jìn)行了場比賽，試自行繪制列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來推斷賽制是否對甲隊(duì)獲勝的場數(shù)有影響;
(2)設(shè)甲俱樂部每局比賽獲勝的概率均為，且每局比賽都能決出勝負(fù)，沒有平同： ①若兩俱樂部采用5局3勝制比賽，記事件： “甲俱樂部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件： “兩俱樂部賽滿5局，甲俱樂部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：;
②若甲、乙兩俱樂部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進(jìn)行局，贏得局?jǐn)?shù)大于 局的俱樂部獲勝．若甲俱樂部每局比賽獲勝的概率，試判斷進(jìn)行幾局比賽時(shí)，甲俱樂部獲勝的概率最大，并說明理由．
附：，其中 ．
19．在直角坐標(biāo)系中，為橢圓的左、右焦點(diǎn)．直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)． 其中點(diǎn)在軸上方，的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)將平面沿軸翻折，使軸正半軸和軸所確定的半平面與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面所成二面角的平面角為，且，
① 在取得最大值的情況下，若，求翻折后異面直線與所成角的正弦值;
②若在平面上存在點(diǎn)滿足，，且，求銳二面角的余弦值的最小值．
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
1．C
【分析】解不等式化簡集合，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解.
【詳解】依題意，，則，
，所以.
故選：C
2．B
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出，進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù)的虛部.
【詳解】依題意，，
所以的虛部是.
故選：B
3．D
【分析】利用奇函數(shù)排除AB；再求出函數(shù)值域即可判斷.
【詳解】對于A，是非奇非偶函數(shù)，A不是；
對于B，函數(shù)值域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，B不是；
對于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，
而當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域不是R，C不是；
對于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，是奇函?shù)；
當(dāng)時(shí)，都遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上值域?yàn)椋谏现涤驗(yàn)?，因此函?shù)在上的值域是R，
同理函數(shù)在上的值域是R，D是.
故選：D
4．C
【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.
【詳解】因?yàn)?br>，
所以將曲線的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，
再將向右平移個(gè)單位長度得到.
故選：C
5．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推論求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算得解.
【詳解】由，，得，由共線，
得，解得，則，，
所以.
故選：B
6．D
【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和，再利用遞減數(shù)列列式求得范圍.
【詳解】在等差數(shù)列中，，，由公差，得，
解得，，，
，，
由數(shù)列恒單調(diào)遞減，得恒成立，
整理得恒成立，而，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
7．D
【分析】通過構(gòu)建平面得到點(diǎn)為上的點(diǎn)，然后結(jié)合圖形得到點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大，然后利用余弦定理、三角形面積公式和棱錐的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)椋矫?，所以平面?br>因?yàn)辄c(diǎn)在三角形內(nèi)部，所以點(diǎn)為上的點(diǎn)，
由圖可知當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，
又，所以點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大，
在中，，，
則，，
在中，，
則，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到的距離，
在和中，
，
解得，
在中，則，
，即，
解得，
所以.
故選：D.
8．A
【分析】構(gòu)造函數(shù)和即可求導(dǎo)，得函數(shù)的最值，進(jìn)而根據(jù)得，求解.
【詳解】由題意可得，
設(shè)則，
故，即，
令，則
當(dāng)時(shí)，，，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，
令則，
故當(dāng)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故，
由題意可知故，，
此時(shí)且解得，故，
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．
9．ACD
【分析】利用方差的性質(zhì)計(jì)算判斷A；利用平均數(shù)、中位數(shù)的意義判斷B；利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算判斷C；利用二項(xiàng)分布的概率最大求解判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)樣本數(shù)據(jù)為，則，解得，
數(shù)據(jù)的方差為，A正確；
對于B，一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于中位數(shù)，B錯(cuò)誤；
對于C，隨機(jī)變量，由，得，C正確；
對于D，依題意，運(yùn)動員擊中次數(shù)，擊中次的概率為，
由，解得，因此最有可能擊中的次數(shù)是8，D正確.
故選：ACD
10．ABD
【分析】由給定的不等式恒成立可得，利用三角代換求解判斷BC；利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解判斷D.
【詳解】由，得或，
解得或，
當(dāng)時(shí)，則有或；當(dāng)時(shí)，則有或，
而對恒成立，因此，即，A正確；
對于B，令，則，
其中銳角由確定，，因此時(shí)，，B正確；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，
因此的最小值為0，C錯(cuò)誤；
對于D，滿足的點(diǎn)的軌跡是單位圓夾在軸正方向間的圓弧，
表示點(diǎn)與定點(diǎn)確定的直線的斜率，，過點(diǎn)作圓弧的切線，切點(diǎn)為，
連接，，則，直線的傾斜角為，因此切線的傾斜角為，
過點(diǎn)的直線與圓弧有公共點(diǎn)時(shí)，直線斜率最大值為切線的斜率，D正確.
故選：ABD
11．AC
【分析】根據(jù)模的定義，結(jié)合費(fèi)馬小定理判斷各選項(xiàng)．
【詳解】選項(xiàng)A，，，A正確；
選項(xiàng)B，，
，則，
，，顯然，
所以，
記，則有，，
設(shè)，，，
設(shè)，由得，因此，
設(shè)，可得，
所以，而，
所以，B錯(cuò)；
選項(xiàng)C，若，取所有正奇數(shù)，都有，若，取，滿足，
當(dāng)且為素?cái)?shù)時(shí)，由費(fèi)馬小定理知只要不整除，則有，
取，，使得為正整數(shù)，顯然不能被整除，
所以，
而，
所以，這樣的有無數(shù)個(gè)，即有無數(shù)個(gè)，C正確；
選項(xiàng)D，，
當(dāng)時(shí)有，
當(dāng)時(shí)也有，D錯(cuò)．
故選：AC．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查整數(shù)的整除知識，有高中階段屬于難點(diǎn)，判斷時(shí)，AD首先需要利用整除知識，而BC選項(xiàng)，需要利用中國剩余定理，費(fèi)馬小定理，需要學(xué)生在極短時(shí)間內(nèi)想到求解方法，難度較大．
12．24
【分析】根據(jù)甲在第一位以及第五位，即可分類求解.
【詳解】若甲在第一位，則兩個(gè)相鄰的男生必須站在23位或者45位，此時(shí)有,
同理可得甲在第五位，，
因此共有種方法，
故答案位：
13．
【分析】利用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換公式化簡即可.
【詳解】
.
故答案為：
14．
【分析】由題意知點(diǎn)必在雙曲線外部或在雙曲線上.若存在以為中點(diǎn)的弦，根據(jù)點(diǎn)差法可得弦的斜率為，要使弦不存在，則弦與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)，弦的斜率小于等于漸近線斜率，如此即可得到的取值范圍，進(jìn)而求出離心率的范圍﹒
【詳解】依題意，點(diǎn)在雙曲線外部或在雙曲線上，則，得，
假設(shè)存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)弦與雙曲線交于點(diǎn)，
則，
則，兩式作差得，
直線的斜率.
由不存在該中點(diǎn)弦，得直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)，則，，，
因此，所以的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于分析出點(diǎn)在雙曲線外部或在雙曲線上，在這個(gè)前提下確定當(dāng)直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)時(shí)直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系即可得到結(jié)果.
15．(1)，；
(2).
【分析】（1）分析奇函數(shù)的定義域求出，由求出，再根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證得解.
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值即可得解.
【詳解】（1）由在處無意義，且函數(shù)是奇函數(shù)，
則在處也無意義，于是，解得，
又奇函數(shù)在處有意義，
則，解得，，
其定義域?yàn)?，?br>因此函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可得解；
（2）設(shè)，，再表示其他角，兩個(gè)三角形中根據(jù)正弦定理表示，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，以及三角函數(shù)性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理，
所以，即，
由正弦定理可得，
即，所以，
又，所以，所以，即，
又，所以；
（2）在和中，由正弦定理可得，，
設(shè)，，則，，，
故兩式相除可得，
即，
因此，
故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)取最大值1，故取最小值.
17．(1)
(2)
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用賦值法求出，進(jìn)而可得，再利用等差數(shù)列定義求解.
（2）由（1）的結(jié)論，利用組合數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，再利用錯(cuò)位相減求和.
（3）求出并放縮，利用不等式的性質(zhì)及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.
【詳解】（1）令，得，解得，
令，得，顯然，則，
即，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，，
而，
當(dāng)時(shí)，，
而滿足上式，則，
，，
兩式相減得，
所以.
（3）由（1）知，，而，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以.
18．(1)列聯(lián)表見解析，答案見解析；
(2)①證明見解析；②4局.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出列聯(lián)表，求出的觀測值并與比較求解.
（2）①利用互斥事件的概率公式及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式列式化簡得證；②利用條件概率及全概率公式求出與的關(guān)系，再建立不等式求解.
【詳解】（1）依題意，列聯(lián)表如下：
，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，
當(dāng)時(shí)，，賽制對甲勝場數(shù)有影響；
當(dāng)時(shí)，，賽制對甲勝場數(shù)沒有影響.
（2）①，
，
所以.
②設(shè)甲贏得比賽的概率為，設(shè)“進(jìn)行局比賽甲最終獲勝”，“第一局甲贏”，“第二局甲贏”，
則有，
而發(fā)生及發(fā)生意味著前2局比賽甲恰好贏一局，則甲在局比賽最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)
甲在后續(xù)的局比賽中贏的局?jǐn)?shù)要大于，因此，
在發(fā)生的條件下，甲已經(jīng)贏了前2局，
則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的局比賽中贏的局?jǐn)?shù)要大于或等于，
則；
在發(fā)生的條件下，甲輸?shù)羟?局，則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的局
比賽中贏的局?jǐn)?shù)要大于，而這個(gè)事件可視為“甲在后續(xù)的局比賽中贏的局?jǐn)?shù)大于”
與事件“甲在后續(xù)的局比賽中恰好贏局”的差事件，
故，
因此
令，得，則當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，最大
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.
19．(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式及其最大值求出即可.
（2）①求出翻折前點(diǎn)坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出翻折后坐標(biāo)，利用線線角的向量求法求出異面直線夾角；②作出二面角的平面角，利用余弦定理建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)求出最值.
【詳解】（1）由消去得，，
，設(shè)，，
，
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，因此，
所以橢圓的方程為.
（2）①由（1）知，翻折前點(diǎn)，
翻折后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，
點(diǎn)，，
設(shè)直線與所成的角為，則，
所以翻折后異面直線與所成角的正弦值.
②由，得點(diǎn)的軌跡是雙曲線含焦點(diǎn)的一支，
在平面中，作軸于，由，平面，
則平面，又平面，于是，是二面角的平面角，
設(shè)，則，在中，
，
又，令，則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以銳二面角的余弦值的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題由平面解析幾何轉(zhuǎn)變成立體幾何，需要自己建立新的坐標(biāo)系，并能通過平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)坐標(biāo)得到對應(yīng)在空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)，然后利用立體幾何的知識來解得答案.
5局3勝
7局4勝
合計(jì)
甲勝
乙勝
合計(jì)

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