（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）
2024年12月
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂：答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫無(wú)效；保持答卷清潔、完整．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求解.
【詳解】，
所以的共軛復(fù)數(shù)為.
故選：A.
2. 已知全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合的交集，補(bǔ)集運(yùn)算求解.
【詳解】由，解得或，
所以集合，
又集合，
，則.
故選：B.
3. 已知體積為的圓柱存在內(nèi)切球．則該內(nèi)切球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】假設(shè)內(nèi)切球的半徑為，依題意可求出，進(jìn)而利用球的表面積公式求解即可.
【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，依題意可知圓柱的高和底面直徑均為，
圓柱的體積，解得，
故圓柱內(nèi)切球的表面積為,
故選：C.
4. 2024年12月7日西南大學(xué)附屬中學(xué)校迎來(lái)了辦學(xué)110周年慶典，為此某班設(shè)計(jì)了富含寓意的11個(gè)文創(chuàng)作品，已知甲同學(xué)喜歡作品、，乙同學(xué)喜歡作品、、，丙同學(xué)除了不喜歡作品，其他作品都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選取一個(gè)作為禮物收藏，若這三位同學(xué)都選到了自己喜歡的文創(chuàng)作品，則不同的選法有（ ）
A. 50種B. 48種C. 45種D. 40種
【答案】D
【解析】
【分析】分甲選和甲選兩種情況討論，按照分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.
【詳解】若甲選，則乙有種選法，丙有種選法，故共有種選法；
若甲選，則乙有種選法，丙有種選法，故共有種選法；
綜上可得一共有種不同的選法.
故選：D
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】切化弦，結(jié)合正弦和角公式得到方程組，求出，，故，由余弦二倍角公式計(jì)算出答案.
【詳解】，
，
故，，所以，
，
則.
故選：C
6. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若在中存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，可得，解得，根據(jù)存在兩項(xiàng)使得，可得，求得即可求解．
【詳解】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
滿足：，
即，又，
所以，
解得，
存在兩項(xiàng)使得，
，又
所以
，
，的取值分別為，，，，，
當(dāng)，的取值為則；
當(dāng)，的取值為則；
當(dāng)，的取值為則；
當(dāng)，的取值為則；
當(dāng)，的取值為則；
所以的最小值為；
故選：B
7. 已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè),表示出,繼而得,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)到的距離的最大值問(wèn)題,可得答案.
【詳解】設(shè),則,
,
則,
故,
而的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到的距離,
其最大值為,
的最大值為,
故選：A
8. 已知實(shí)數(shù)滿足，若一定存在，使得成立，則的最小值為（）
A. 501B. 1012C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)式子進(jìn)行變形得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合圖象可求得知的最大值.
【詳解】已知.即.
令,則，當(dāng)時(shí)，遞增;時(shí),遞減.
又.結(jié)合圖象知的最大值為.
即中的最大元素為2，故.
故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)5，7，9，11，13，14，15，22的平均數(shù)為12
B. 一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7
C. 若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則
D. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)的定義，給合二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】A：這個(gè)數(shù)的平均數(shù)為：，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
B：由可知：這個(gè)數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
C：因?yàn)椋?所以由，
因此，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
D：因?yàn)椋?br>所以，
因此，所以本選項(xiàng)說(shuō)說(shuō)不正確，
故選：AC
10. 已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)作直線，若與交于兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4B.
C. 或D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)直線過(guò)焦點(diǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出A，聯(lián)立直線方程以及拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得B，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得到C，根據(jù)向量的運(yùn)算求得D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)2,0，該直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，
所以，則，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，故A正確；
對(duì)于C，由A可得，所以，
設(shè)，
聯(lián)立，得，
所以，
又，，
所以，
解得或，
所以或，所以或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)C可知，
則，故B正確；
對(duì)于D，由以上可得，
，
因?yàn)?，故D正確；
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 在上單調(diào)遞增
C. 在內(nèi)共有3個(gè)極值點(diǎn)
D. 設(shè)，則在上共有12個(gè)零點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法即可判斷;對(duì)于B，求得，結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以判斷的單調(diào)性；對(duì)于C，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在0,π的單調(diào)性,結(jié)合偶函數(shù)可知其極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，根據(jù)的周期及單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的判定方法即可求解.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，故函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；
對(duì)于B，由函數(shù)，
可得，
令，
則h′t=et+2>0,ht在單調(diào)遞增，
又，
所以存使得，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，ht>0,f′x0,ht在單調(diào)遞增，又，
所以存在使得，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，ht>0,f′x0,gπ2=?1e0，當(dāng)時(shí)f′x0，即k2≠14k2+1>0∴k≠±12..
，
，
解得，
【小問(wèn)3詳解】
假設(shè)直線與雙曲線相切于點(diǎn)，下面證明該直線方程為.
設(shè)所求的切線方程為,
代入雙曲線方程得,
即①,
因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以方程①有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
因此，
化簡(jiǎn)得②，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以，
方程②的判別式.
故方程②有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其根為:.
則切線方程為，即.
設(shè)直線與雙曲線右支相切于點(diǎn)，
則，令得
∴以為直徑的圓的圓的方程為，
令得，
即，
所以，
的上述方程成立，
故以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知直線與雙曲線相切于點(diǎn)，則該直線方程為：.
19. 對(duì)于數(shù)列，如果中存在四項(xiàng)，使得（互不相同），則稱數(shù)列為繽紛數(shù)列．
（1）年月日，西南大學(xué)附屬中學(xué)迎來(lái)了辦學(xué)周年慶典，若數(shù)列：為繽紛數(shù)列，且，求的所有可能值；
（2）數(shù)列是等比數(shù)列，公比且，是繽紛數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的最小值，并求此時(shí)公比的個(gè)數(shù)；
（3）項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列為等差數(shù)列，公差不為，從中任意取出個(gè)元素組成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列為繽紛數(shù)列的概率超過(guò)，求的最大值．
【參考公式：】
【答案】（1），，
（2）項(xiàng)數(shù)的最小值為，此時(shí)公比的個(gè)數(shù)為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)繽紛數(shù)列定義構(gòu)造方程直接求解即可；
（2）當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí)，驗(yàn)證可知不符合繽紛數(shù)列定義；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為為時(shí)，根據(jù)繽紛數(shù)列定義依次構(gòu)造等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可確定的范圍，由此可得的取值，進(jìn)而得到結(jié)論；
（3）令，取出的個(gè)數(shù)從小到大依次為，分析可知繽紛數(shù)列個(gè)數(shù)；分別在為奇數(shù)和偶數(shù)的情況下，討論得到；根據(jù)為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況，可求得個(gè)數(shù)構(gòu)成繽紛數(shù)列個(gè)數(shù)，由此可構(gòu)造不等式求得的取值，進(jìn)而得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
顯然四項(xiàng)不滿足繽紛數(shù)列定義，
若，則；若，則；
若，則；若，則（舍）；
的所有可能值為：，，.
【小問(wèn)2詳解】
若項(xiàng)數(shù)為，不妨令為：，
此時(shí)，即，
且，，解得：（舍），項(xiàng)數(shù)不為；
若項(xiàng)數(shù)為，不妨令為：，則數(shù)列為遞增或遞減數(shù)列，
①若，則，，；
令，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，，使得，
即存在唯一的，使得；
②若，則，，解得：（舍）；
③若，則，，解得：（舍）；
④若，則，，；
令，，
在上單調(diào)遞增，又，，
，使得，
即存在唯一的，使得；
⑤若，則，，解得：（舍）；
當(dāng)時(shí)，可以是繽紛數(shù)列，
即項(xiàng)數(shù)的最小值為，此時(shí)公比的個(gè)數(shù)為.
【小問(wèn)3詳解】
不妨令，取出的個(gè)數(shù)從小到大依次為，
當(dāng)時(shí)，繽紛數(shù)列共有個(gè)；
若，從到共有個(gè)數(shù)，
相應(yīng)的的取法有種，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則共有種；若，則回到為偶數(shù)情況，共有種；
此時(shí)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，從中取出個(gè)數(shù)為繽紛數(shù)列的個(gè)數(shù)為：；
由得：，
，又為偶數(shù)，此時(shí)最大為；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，從中取出個(gè)數(shù)為繽紛數(shù)列的個(gè)數(shù)為：；
由得：，
，又為奇數(shù)，此時(shí)最大為；
綜上所述：的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解繽紛數(shù)列的定義，通過(guò)對(duì)于為偶數(shù)和為奇數(shù)的討論，結(jié)合數(shù)列求和公式和組合數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)確定中取出個(gè)數(shù)為繽紛數(shù)列的個(gè)數(shù).
X
0
1
2
P

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