重慶市第八中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng):
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）
1. 設(shè)是非零向量，則“”是“共線”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由，得，整理得，
而向量均為非零向量，則反向共線且，有；
反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，
所以“”是“共線”的充分而不必要條件.
故選：A
2. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意先求，進(jìn)而用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.
【詳解】由得，
則.
故選：C.
3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為f′x，函數(shù)的圖象如圖，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的增區(qū)間是
B. 函數(shù)的減區(qū)間是
C. 是函數(shù)的極大值點(diǎn)
D. 是函數(shù)的極大值點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
【詳解】根據(jù)的圖象可得：
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值.
故選：C.
4. 已知，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式，化簡求的值，再根據(jù)二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解.
【詳解】由條件可知，，
即，得，
所以.
故選：D
5. 設(shè)等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，已知，則（）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，?br>所以，所以，解得.
故選：B.
6. 已知函數(shù).將函數(shù)向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位后得函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象平移求出，分析的單調(diào)性和值域，畫出的圖象數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】由函數(shù)?x向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位后得函數(shù)，
所以，
當(dāng)時(shí)，?x即單調(diào)遞增，又，則，
又時(shí)，單調(diào)遞增，又，則，
作出的圖象如圖，
由，，
則，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
7. 如果數(shù)列對(duì)任意的，則稱為“速增數(shù)列”，若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，則正整數(shù)的最大值為（）
A. 62B. 63C. 64D. 65
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“速增數(shù)列”的定義，結(jié)合累加法建立不等式并求解即得.
【詳解】由數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，且.
得對(duì)，，，
則，，，，
相加得，，
于是，即，
而，，數(shù)列單調(diào)遞增，
所以的最大值為64.
故選：C
8. 已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)，并由兩個(gè)函數(shù)有相同零點(diǎn)結(jié)合韋達(dá)定理，經(jīng)變形構(gòu)造出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式化為恒成立，
令，，求導(dǎo)得，
由得，；由得，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，記為，
顯然當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
要使恒成立，則也是的兩個(gè)零點(diǎn)，
于是，由，得，即，因此，
令，求導(dǎo)得，由，得，由得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
所以的最小值為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上有相同的零點(diǎn)是求解的關(guān)鍵.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.若，的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（）
A. 平均數(shù)為B. 中位數(shù)為
C. 方差為D. 極差為
【答案】AD
【解析】
分析】首先由條件確定，，再結(jié)合平均數(shù)，中位數(shù)，方差，極差公式，即可求解.
【詳解】由條件可知，，，，
A.由題意可知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；
B.設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列，中位數(shù)為，則數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；
C.由，且數(shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的方差為，故C錯(cuò)誤；
D.由B可知，數(shù)據(jù)的極差為，故D正確.
故選：AD
10. 若是平面內(nèi)兩條相交成角的數(shù)軸，和是軸、軸正方向上的單位向量，若向量，則規(guī)定有序數(shù)對(duì)為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，設(shè)，則（）
A. B.
C. 若，則D. 若構(gòu)成銳角三角形，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量坐標(biāo)的定義逐項(xiàng)運(yùn)算求解可判斷其正誤.
【詳解】由，得，
所以，故A錯(cuò)誤；
由，所以，，
所以，
所以，故B正確；
由，可得，，
所以，又，，
所以，所以，
由平面向量基本定理可得，解得，故C正確；
由題意可得，，，
因?yàn)闃?gòu)成銳角三角形，則為銳角，
則可得，解得，
所以與顯然不共線，
若為銳角，則，
解得，若與共線，則可得，所以且，
若為銳角，則，
解得或，可得與不共線，則可得，所以或，
綜上所述：構(gòu)成銳角三角形，則，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)的圖象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 的取值范圍是
B. 若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則在上單調(diào)遞增
C. 在上的最小值不可能為
D. 若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)是常數(shù)，有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意可得，求得即可判斷A；利用三角函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合求出，即可判斷B；由和，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C，由題意可得，函數(shù)與的圖象在共9個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算可判斷D.
.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榈膱D象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，
即，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?br>所以，所以在上的最小值小于，故C正確．
對(duì)于D：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，
即，又，所以，所以，
令函數(shù)的根即為函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作出圖象如圖所示，因?yàn)?，?
要使有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則，
由，得，
函數(shù)與的圖象在共9個(gè)交點(diǎn)，
所以，
所以，故D正確
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解正弦函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和值域的問題時(shí)，常利用整體代換法和驗(yàn)證法將問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的正弦函數(shù)上，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答，數(shù)形結(jié)合一種常用方法.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知雙曲線的虛軸長為2，則雙曲線的漸近線方程是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再求雙曲線的漸近線方程.
【詳解】由條件可知，，所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案：
13. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.令，若也是等比數(shù)列，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再求，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，求得的值，再驗(yàn)證等比數(shù)列的定義，即可求解.
【詳解】若，則，，則是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，所以，
則，所以，且，
，，
，
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，
即，，
當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列是等比數(shù)列.
所以.
故答案為：
14. 曲率在數(shù)學(xué)上是表明曲線在某一點(diǎn)的彎曲程度的數(shù)值.對(duì)于半徑為的圓，定義其曲率，同樣的，對(duì)于一般曲線在某點(diǎn)處的曲率，我們可通過該點(diǎn)處的密切圓半徑計(jì)算.其中對(duì)于曲線在點(diǎn)處的密切圓半徑計(jì)算公式為，其中表示的導(dǎo)數(shù)，表示的導(dǎo)數(shù).已知曲線，則曲線在點(diǎn)處的曲率為_____；C上任一點(diǎn)處曲率的最大值為_____.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】首先求處的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可求解曲率的最大值.
【詳解】，，，，
,所以曲線在點(diǎn)處的曲率為；
上任一點(diǎn)處的，，
，
得（舍）或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)曲率取得最大值，最大值為.
故答案為：；
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為、已知.
（1）求角；
（2）若平分交于點(diǎn)，求的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式及特殊角的函數(shù)值，即可求解；
（2）根據(jù)余弦定理求，面積公式表示，即可求解.
【小問1詳解】
由正弦定理可知，，
即，則，
，
，且，
所以，，所以；
【小問2詳解】
由余弦定理可知，，
即，解得：或（舍），
由，
可知，，
所以.
16. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為、且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明:.
【答案】（1）（2）證明見解析
【解析】
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，又，解得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
兩式相減可得，
所以，又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，
所以，所以奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
所以，
由，可得偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以；
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以
.
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的比是
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E；
（2）若軌跡E與x軸的交點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線分別與軌跡相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，求四邊形AMBN面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)軌跡法，結(jié)合條件，即可求解；
（2）根據(jù)坐標(biāo)寫出直線和的直線方程，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示四邊形的面積，并根據(jù)換元法和基本不等式求面積的最大值.
【小問1詳解】
由題意可知，，
整理為，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
【小問2詳解】
如圖，設(shè)A?2,0，，，
則直線，，
聯(lián)立，得，
則，得，
聯(lián)立，得，
則，得，，
所以四邊形的面積
,
設(shè)，
則，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)面積取得最大值，最大值為.
所以四邊形面積的最大值為.
18. 某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表:
為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件.將其質(zhì)量指標(biāo)值的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如圖的頻率分布直方圖:
（1）若樣本數(shù)據(jù)中質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)和平均值分別為87.5和87，求的值;
（2）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（單位:萬元）的關(guān)系如下表:
以頻率作為概率，期望作為決策依據(jù)，若，對(duì)任意的，生產(chǎn)該產(chǎn)品一定能盈利，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用中位數(shù)、平均數(shù)的意義列式求解.
（2）以頻率作為概率，求出利潤的期望，由“，恒成立”構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍.
【小問1詳解】
由中位數(shù)為87.5，得，則，
由平均值為87，得，
則，聯(lián)立解得，
所以.
【小問2詳解】
以頻率作為概率，每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（單位:萬元）及對(duì)應(yīng)概率關(guān)系為：
依題意，，即，
每件產(chǎn)品的利潤，，
由對(duì)任意的，生產(chǎn)該產(chǎn)品一定能盈利，得，恒成立，
此時(shí)，令，，
求導(dǎo)得，令，，
求導(dǎo)得，而，，
當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則存在，使得，
由在上單調(diào)遞增，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意，
由，及，得，因此，
所以的取值范圍是.
19. 已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).
（1）求的取值范圍;
（2）求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為與在1,+∞上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可作出的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果；
（2）由可求得的范圍，根據(jù)極值點(diǎn)偏移的基本思想，構(gòu)造函數(shù)、，通過導(dǎo)數(shù)可證得，，進(jìn)而證得結(jié)論.
【小問1詳解】
，令得：，
令，
在1,+∞有兩個(gè)極值點(diǎn)，與在1,+∞上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
，令，則在1,+∞上恒成立，
在1,+∞上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，當(dāng)時(shí)，，
大致圖象如下圖所示，
結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，與在1,+∞上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
，即的取值范圍為.
【小問2詳解】
令，解得：或，；
①先證：；
要證，只需證，
，，又，在上單調(diào)遞增，
只需證，又，即證，
令，則，
令，
則，
令，則，
上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
，，
在上單調(diào)遞減，，，
在上單調(diào)遞增，，
又，，即，則得證；
②再證：
若，則由知：；
若，只需證，
又，在上單調(diào)遞增，只需證，
，只需證，
令，則，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
，，
，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
當(dāng)時(shí)，，，
即，則得證；
綜上所述：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍、極值點(diǎn)偏移的問題；處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于（）的問題的基本步驟如下：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得Fx恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
質(zhì)量指標(biāo)值
質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)
廢品
合格
廢品
質(zhì)量指標(biāo)值
利潤（萬元）
質(zhì)量指標(biāo)值
利潤（萬元）
0.05
0.1
5a
5b
0.3

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