第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．復(fù)數(shù)z=(其中i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)=（ ）
A．B． C．D．
2．已知直線的傾斜角為，且過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，若三向量共面，則λ＝（ ）
A．9 B．－9 C．－3 D．3
4. 如圖，在直三棱柱中，底面三角形ABC為直角三角形，P為的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是（ ）
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
6．過點(diǎn)的直線與連接的線段總有公共點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．4 B．5C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．對于直線，下列說法正確的有（ ）
A．直線l過點(diǎn)B．直線l與直線垂直
C．直線l的一個(gè)方向向量為D．原點(diǎn)到直線的距離為1
10．已知空間三點(diǎn)，設(shè). 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，且，則
B．和的夾角的余弦值
C．若與互相垂直，則的值為2
D．若與軸垂直，則, 應(yīng)滿足
11．將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC, AD的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．四面體的表面積為
C．四面體的外接球的體積為
D．過且與平行的平面截四面體
所得截面的面積為
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．直線的傾斜角為__________.
13．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是_______．
14．空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則平面的法向量為___________；直線與平面所成角的正弦值為___________.
四、解答題：本題共6小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知點(diǎn)，，．
（1）若BC中點(diǎn)為D，求過點(diǎn)A與D的直線方程；
（2）求過點(diǎn)B且在x軸和y軸上截距相等的直線方程。
16.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面平面，AD⊥DP，AB∥CD，．且．
（1）求證：AB∥平面；
（2）求證：AB⊥平面；
（3）求二面角的余弦值。
17.（本小題滿分15分）
已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且．
（1）求A；
（2）若，則△ABC的面積為，求△ABC的周長。
18.（本小題滿分17分）
已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．
（1）證明：直線l過定點(diǎn)；
（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程。
19.（本小題滿分17分）
如圖1，在中，BM⊥BC，A, D分別為邊MB, MC的中點(diǎn)，且，將沿AD折起到的位置，使PA⊥AB，如圖2，連接PB，PC.
（1）求證：PA⊥平面；
（2）若為PC的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段PC上一動點(diǎn)G滿足，判斷是否存在，使二面角G-AD-P的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二第一次月考答案
數(shù) 學(xué)
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分。
12． 13． 14．（1, -1, 1）
四、解答題：本題共6小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟。
15．解：（1）由題意， 的中點(diǎn) ，即 …………3分
由兩點(diǎn)式直線方程得直線AD的方程為： ，
即 …………6分
（2）當(dāng)過B點(diǎn)，且在x，y軸上的截距為0時(shí)，直線方程為 ，
即 …………8分
設(shè)當(dāng)在x，y上截距m不等于0時(shí)直線方程為，…………10分
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得 ，即 …………12分
綜上，（1）AD直線方程為 ，（2）過B點(diǎn)并且在x， y軸上截距相等的直線方程為 或 …………13分
16.（1）證明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD
∴AB∥平面PCD …………3分
（2）證明：∵∠ADC=90°，AB∥CD，∴AB⊥AD…………5分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面PAD …………7分
（3）解：∵DP、DA、DC兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP
為x、y、z軸正方向建系 ……8分
如圖所示：
∴A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)
……9分
∴，，
……10分
設(shè)平面PAB的法向量
則 ，即 …………11分
令 ，則法向量 …………12分
同理，設(shè)平面PBC的法向量
則 ，∴ …………13分
令 ，∴ …………14分
∴二面角A-PB-C的余弦值為，即 …………15分
17．解：（1）由正弦定理得， ……2分
其中， …………3分
故，
因?yàn)?，所以，故?…………4分
即，所以， …………5分
因?yàn)椋裕? …………6分
故，解得； …………7分
（2）由三角形面積公式得， ………9分
故， …………10分
由余弦定理得， …………12分
解得， …………13分
故，解得 …………14分
故，周長為6. …………15分
18.（1）證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0， …………1分
令eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.)) …………3分
所以無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)． …………4分
（2）解：由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－eq \f(1＋2k,k)，
在y軸上的截距為1＋2k， …………5分
要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，)) …………7分
解得k＞0； …………8分
當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，
符合題意，綜上，故k的取值范圍是[0，＋∞)． …………9分
（3）解：由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．…10分
依題意得eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0. …………12分
由S＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)|eq \f(1＋2k,k)|·|1＋2k| …………13分
＝eq \f(1,2)·eq \f(?1＋2k?2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4)) …………14分
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4， …………15分
“＝”成立的條件是k>0且4k＝，即k＝ …………17分
19.（1）證明：因?yàn)锳, D分別為邊MB, MC的中點(diǎn)，所以…………1分
因?yàn)锽M⊥BC，所以，所以PA⊥AD …………2分
又PA⊥AB，，平面，…………3分
所以PA⊥平面ABCD…………4分
（2）解：因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥AD，，
所以AP，AB，AD兩兩垂直.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線
分別為軸，…………5分
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
依題意有A(0,0,0)，，，
D(0,1,0)，，，…6分
則，，，……7分
設(shè)平面的法向量，
則有 …………9分
令，得，，
所以是平面的一個(gè)法向量 …………10分
因?yàn)椋?br>所以直線與平面所成角的正弦值為 …………11分
（3）解：假設(shè)存在，使二面角G-AD-P的正弦值為，
即使二面角G-AD-P的余弦值為.
由（2）得，，
所以，， …………12分
易得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量，
，
解得，令，得，
則是平面的一個(gè)法向量. …………14分
由圖形可以看出二面角G-AD-P的夾角為銳角，且正弦值為，
故二面角G-AD-P的余弦值為，
則有， …………15分
即，解得， …………16分
又因?yàn)椋?
故存在，使二面角G-AD-P的正弦值為 …………17分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
D
B
C
C
題號
9
10
11
答案
AB
BD
BCD

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