一、選擇題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的）
1．復(fù)數(shù) （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，若 ，則 （ ）
A． B． C． D．
3． 的展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．48 B．100 C．433 D．432
4．已知 ，則 （ ）
A． B． C． D．
5．函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，則 （ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-4
6．米斗是我國古代稱量糧食的量器，是官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具，其外
形近似一個正四棱臺.米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文
化的味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品.已知一個斗型工藝品上下底面邊長分別
為 和 ，側(cè)棱長為 . 則其外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
7．文昌中學(xué)舉行志愿者愛心活動，某社區(qū)設(shè)三個服務(wù)站，高三年級 5 名同學(xué)到 A、B、
C 三個服務(wù)點做志愿者，每名同學(xué)只去 1 個服務(wù)點，每個服務(wù)點至少 1 人，其中同學(xué)
甲不去 A 號服務(wù)點，則不同的安排方法共有（ ）
A．68 種 B．98 種 C．100 種 D．120 種
8．若定義在 上的奇函數(shù) 滿足 ，且當 時， 恒成立，
則函數(shù) 的零點的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多選題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項
符合題目要求。全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分）
高三數(shù)學(xué) 第 1頁 （共 4 頁）
9．下列命題中，正確的有（ ）
A．若 ，則 B．若 ， 則
C．若 ，則 D． 則
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 ， ，則下列判
斷中正確的是（ ）
A．若 ，則該三角形有一解 B．若 ，則該三角形有一解
C．△ABC 周長有最大值 12 D．△ABC 面積有最大值
11．如圖，棱長為4 的正方體 中， 為棱 的中點， 為正方形
內(nèi)的一個動點（包括邊界），且 ∥平面 ，則下列說法正確的有（ ）
A．點 F 的軌跡長度為
B． 的最小值為
C．三棱錐 體積的最小值為
D．當 與 垂直時，直線 與平面
所成的角為
三、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12．曲線 y＝xln x 在點（e，e）處的切線與直線 垂直，則實數(shù) 的值為 ．
13．設(shè) 為雙曲線 的左、右焦點，過 且傾斜角為 的直
線與 在第一象限的部分交于點 ，若△ 為等腰三角形，則 的離心率為 .
14．在△ABC 中， 為 上一點，且 ，P 為
BE 上一點，且滿足 ，
則 最小值為 .
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分 13 分）
已知數(shù)列 為等比數(shù)列，且 ，
高三數(shù)學(xué) 第 2頁 （共 4 頁）
（1）求數(shù)列 的通項公式 與前 項和公式 ；
（2）若 , 數(shù)列 的前 項和為 ，求使得 成立時 的取值
集合.
16.（本小題滿分 15 分）
某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的 240 位居民的得分（滿
分 100 分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.
（1）若此次知識問答的得分X 服從 ，其中
近似為參與本次活動的 240 位居民的平均得分
（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），
求 的值；
參考數(shù)據(jù)： ，
， .
（2）本次活動，制定了如下獎勵方案：以上面頻率分布直方圖中的頻率作為概率，
參與本次活動得分低于 80 分的居民獲得一次抽獎機會，參與本次活動得分不低
于 80 分的居民獲得兩次抽獎機會，每位居民每次有 的機會抽中一張 10 元的
話費充值卡，有 的機會抽中一張20元的話費充值卡，假設(shè)每次抽獎相互獨立，
假設(shè)該小區(qū)居民王先生參與本次活動，求：王先生獲得的話費充值卡的總金額
Y 的概率分布列，并估計本次活動需要準備的話費充值卡的總金額.
17.（本小題滿分 15 分）
已知橢圓 C 上的動點 總滿足關(guān)系式
且橢圓 C 與拋物線 ： 有共同的焦點 F，P 是橢圓 C 與拋物線 的
一個公共點，
（1）求拋物線 的標準方程和橢圓 C 的標準方程；
（2）過點 F 的直線 l 交拋物線 于 M, N 兩點，交橢圓 C 于 A, B 兩點，若
，求直線 l 的方程.
18.（本小題滿分 17 分）
如圖1，在半徑為2 的扇形OPQ 中， ，C 是弧PQ 上的動點（不含P，Q），
過點 C 作 CD∥OQ，交 OP 于點 D.
高三數(shù)學(xué) 第 3頁 （共 4 頁）
（1）當 時，求此時 OD 的長；
（2）當△OCD 的面積取得最大值時，將扇形 OCQ 沿著 OC 折起到 OCE，使得平面
OCE⊥平面 OPC（如圖 2 所示）.求此時直線 CD 與平面 OPE 所成角的正弦值；
（3）在第（2）問的條件下，探究在圖 2 中的線段 上是否存在點 ，使得四面體
內(nèi)切球的半徑為 ？并說明理由.
19.（本小題滿分 17 分）
已知函數(shù) 的定義域為 ，若 在 上單調(diào)遞增，則稱 為“強
增函數(shù)”。
（1）若 為“強增函數(shù)”，求 的取值范圍；
（2）若 為“強增函數(shù)”，且 . 當 時，比較 與 的
大小，并說明理由；
（3）已知
證明： （參考結(jié)論：當 x→0 時，x2lnx→0）
高三數(shù)學(xué) 第 4頁 （共 4 頁）

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