第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)=（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線的傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，，若，，三向量共面，則＝（ ）
A．9B．－9C．－3D．3
4.如圖，在直三棱柱中，底面三角形為直角三角形，P為的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．已知點(diǎn)到直線的距離不大于3，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．過(guò)點(diǎn)的直線與連接，的線段總有公共點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！痹?shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．4B．5C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．對(duì)于直線，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．直線l過(guò)點(diǎn)B．直線l與直線垂直
C．直線l的一個(gè)方向向量為D．原點(diǎn)到直線的距離為1
10．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，且，則
B．和的夾角的余弦值
C．若與互相垂直，則的值為2
D．若與軸垂直，則，應(yīng)滿足
11．將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．四面體的表面積為
C．四面體的外接球的體積為
D．過(guò)且與平行的平面截四面體
所得截面的面積為
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．直線的傾斜角為_(kāi)_________.
13．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是_______．
14．空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則平面的法向量為_(kāi)__________；直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.
四、解答題：本題共6小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知點(diǎn)，，．
（1）若BC中點(diǎn)為D，求過(guò)點(diǎn)A與D的直線方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)B且在x軸和y軸上截距相等的直線方程。
16.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面平面，，，．且．
（1）求證：AB∥平面；
（2）求證：AB⊥平面；
（3）求二面角的余弦值。
17.（本小題滿分15分）
已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．
（1）求A；
（2）若，則的面積為，求的周長(zhǎng)。
18.（本小題滿分17分）
已知直線．
（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程。
19.（本小題滿分17分）
如圖1，在中，，A，D分別為邊MB，MC的中點(diǎn)，且，將沿AD折起到的位置，使，如圖2，連接PB，PC.
（1）求證：PA⊥平面；
（2）若為PC的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段PC上一動(dòng)點(diǎn)G滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二第一次月考答案
數(shù)學(xué)
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．13．14．
四、解答題：本題共6小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟。
15．解：（1）由題意，的中點(diǎn)，即
由兩點(diǎn)式直線方程得直線AD的方程為：，
即
（2）當(dāng)過(guò)B點(diǎn)，且在x，y軸上的截距為0時(shí)，直線方程為，
即
設(shè)當(dāng)在x，y上截距m不等于0時(shí)直線方程為，
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得，即
綜上，（1）AD直線方程為，（2）過(guò)B點(diǎn)并且在，軸上截距相等的直線方程為或
16.（1）證明：∵，，
∴AB∥平面PCD
（2）證明：∵，，∴
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且
∴AB⊥平面PAD
（3）
解：∵DP、DA、DC兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP
為x、y、z軸正方向建系
如圖所示：
∴
∴，，
設(shè)平面PAB的法向量
則，即
令，則法向量
同理，設(shè)平面PBC的法向量
則，∴
令，∴
∴二面角的余弦值為，即
17．解：（1）由正弦定理得，
其中，
故，
因?yàn)?，所以，故?
即，所以，
因?yàn)?，所以?
故，解得；
（2）由三角形面積公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得
故，周長(zhǎng)為6.
18.（1）證明：直線l的方程可化為，
令，解得。
所以無(wú)論k取何值，直線l總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
（2）解：由方程知，當(dāng)時(shí)直線在x軸上的截距為，
在y軸上的截距為，
要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有
解得；
當(dāng)k＝0時(shí)，直線為，
符合題意，綜上，故k的取值范圍是．
（3）解：由題意可知，再由l的方程，得，
依題意得，解得.
由
＝
，
“＝”成立的條件是且，即
19.（1）證明：因?yàn)锳，D分別為邊MB，MC的中點(diǎn)，所以
因?yàn)?，所以，所?br>又，，，
所以PA⊥平面ABCD
（2）
解：因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥AD，，
所以AP，AB，AD兩兩垂直.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線
分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
依題意有，，，
，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量，
則有
令，得，，
所以是平面的一個(gè)法向量
因?yàn)椋?br>所以直線與平面所成角的正弦值為
（3）解：假設(shè)存在，使二面角的正弦值為，
即使二面角的余弦值為.
由（2）得，，
所以，，
易得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量，
，
解得，令，得，
則是平面的一個(gè)法向量.
由圖形可以看出二面角的夾角為銳角，且正弦值為，
故二面角的余弦值為，
則有，
即，解得，
又因?yàn)椋?
故存在，使二面角的正弦值為
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
D
B
C
C
題號(hào)
9
10
11
答案
AB
BD
BCD

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