一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。針對“一模”中的問題根據(jù)實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
熱點(diǎn)專題 4-3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
模塊一
總覽
熱點(diǎn)題型解讀（目錄）
TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc179486859" 【題型1】求單調(diào)區(qū)間
\l "_Tc179486860" 類型一：利用恒等變形和輔助角公式合并2個(gè)式子
\l "_Tc179486861" 類型二：有負(fù)號的情況
\l "_Tc179486862" 類型三：復(fù)合函數(shù)型
\l "_Tc179486863" 類型四：利用單調(diào)性和誘導(dǎo)公式比大小
\l "_Tc179486864" 類型五：結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間
\l "_Tc179486865" 類型六：由單調(diào)性求參數(shù)范圍
\l "_Tc179486866" 【題型2】三角函數(shù)的對稱軸，對稱中心和周期
\l "_Tc179486867" 類型一：求對稱軸（中心），周期
\l "_Tc179486868" 類型二：對稱性的應(yīng)用
\l "_Tc179486869" 【題型3】三角函數(shù)的值域問題
\l "_Tc179486870" 類型一：二次函數(shù)型
\l "_Tc179486871" 類型二：通過輔助角公式，誘導(dǎo)公式合并
\l "_Tc179486872" 類型三：已知值域求參數(shù)范圍
\l "_Tc179486873" 類型四：換元或結(jié)合導(dǎo)數(shù)
\l "_Tc179486874" 【題型4】三角函數(shù)圖像的平移與伸縮變換
\l "_Tc179486875" 類型一：不改變函數(shù)名
\l "_Tc179486876" 類型二：改變函數(shù)名（結(jié)合誘導(dǎo)公式變形）
\l "_Tc179486877" 類型三：求最短距離或參數(shù)范圍
\l "_Tc179486878" 【題型5】三角函數(shù)相關(guān)圖像的識別
\l "_Tc179486879" 【題型6】求三角函數(shù)解析式
\l "_Tc179486880" 類型一：由基本性質(zhì)求解析式或基本量
\l "_Tc179486881" 類型二：由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式
\l "_Tc179486882" 【題型7】解三角函數(shù)不等式
\l "_Tc179486883" 【題型8】三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc179486884" 【題型9】帶絕對值或帶根號的三角函數(shù)問題
\l "_Tc179486885" 【題型10】由三角函數(shù)性質(zhì)求“ω”范圍
\l "_Tc179486886" 【題型11】三角函數(shù)新定義問題
模塊二
核心題型·舉一反三
【題型1】求單調(diào)區(qū)間
三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．
如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，
如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；
由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．
若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．
對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．
類型一：利用恒等變形和輔助角公式合并2個(gè)式子
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：，
令，，，則，，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，．
【鞏固練習(xí)1】（2024·高三·山東青島·期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ．
【答案】；
【解析】因?yàn)椋?br>則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:，
解得：.
故答案為：.
【鞏固練習(xí)2】函數(shù)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為 ________．
【答案】，
【解答】解：，
令，，，則，，，
因?yàn)椋?，所以，?br>類型二：有負(fù)號的情況
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解答】解：的單調(diào)增區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
令，求得，，
故函數(shù)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
【鞏固練習(xí)1】（2024·全國·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【答案】
【解析】由題意知，，
由，得，
令，得，令，則，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【鞏固練習(xí)2】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則在為 函數(shù)．（填“增”或“減”）
【答案】減
【解析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)，
則，則單調(diào)遞減區(qū)間為：
，解得，
所以，在為減函數(shù)
類型三：復(fù)合函數(shù)型
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題首先可求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì)以及的單調(diào)性即可得出結(jié)果.
【詳解】令，則，
因?yàn)?，所以?br>即，解得，
函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，
因?yàn)槭菧p函數(shù)，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì)易知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)
類型四：利用單調(diào)性和誘導(dǎo)公式比大小
（襄陽市一中2023期末）（多選）下列各式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得到答案．
【詳解】對于A，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，而，
所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，而，
所以，故B錯(cuò)誤；
對于C，由誘導(dǎo)公式得，，因?yàn)?br>在單調(diào)遞增，而，所以，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?，而，所以?br>故D正確.
應(yīng)用：函數(shù)值比大小
（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點(diǎn)，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
類型五：結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間
函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【答案】
【解析】由題意知，.
即，，因?yàn)?，所以?br>所以在中，，
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：
類型六：由單調(diào)性求參數(shù)范圍
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】令，
所以，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
則是，的一個(gè)子區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，即，
若是的子集，
則
【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】，
【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，
恒成立，
設(shè)，即恒成立．
時(shí)，不等式顯然成立，
當(dāng)時(shí)，，
由在，遞減，得時(shí)，取最小值1，故，
當(dāng)時(shí)，，
由 在，遞減，得時(shí)，取最大值，故，
綜上：的取值范圍是，
【題型2】三角函數(shù)的對稱軸，對稱中心和周期
二、對稱性與周期
1.一般情況下，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于中心對稱，則函數(shù)值互為相反數(shù)。
2.對稱中心之間的距離是半個(gè)周期的整數(shù)倍。
3.周期與軸之間的距離，是四分之一周期的整數(shù)倍。
4正余弦與水平線交點(diǎn)的中點(diǎn)，是函數(shù)的對稱軸。
5.一般情況下，的最大值或者最小值，必在對稱軸處。
6.對稱軸之間的距離，是半個(gè)周期的整數(shù)倍。
7、求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
8、求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即
類型一：求對稱軸（中心），周期
（武漢市部分省示范高中期末聯(lián)考）（多選）對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為B．其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．對稱軸方程為D．單調(diào)增區(qū)間
【答案】AC
【分析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的對稱性可判斷BC選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對；
對于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，由，可得，
即函數(shù)的對稱軸方程為，C對；
對于D選項(xiàng)，由，解得，
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，D錯(cuò).
（陜西漢中市期末）已知函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
①函數(shù)最小正周期為；
②定義域?yàn)?br>③圖象的所有對稱中心為；
④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，代入周期、定義域、對稱中心和單調(diào)遞增期間的公式即可求解.
【詳解】對①，函數(shù)，可得的最小正周期為，所以①正確；
對②，令，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，所以②錯(cuò)誤；
對③，令，解得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以③正確；
對④，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以④正確；
故①③④正確
【鞏固練習(xí)1】（多選）已知函數(shù)，則
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】CD
【解答】解：函數(shù)，
故它的最小正周期為，故錯(cuò)誤；
令，求得，不是最值，故的圖象不關(guān)于直線對稱，故錯(cuò)誤；
令，可得，
故函數(shù)的增區(qū)間為，，，故正確；
令，求得，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．若，則的最小值為
D．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象
【答案】
【解答】解：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
，，．
當(dāng)，，，函數(shù)沒有單調(diào)性，故錯(cuò)誤；
函數(shù)為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；
若，則的最小值，故正確；
函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，故錯(cuò)誤
【鞏固練習(xí)3】（多選）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．的值域?yàn)镈．的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】ACD
【分析】逆用兩角和差的正弦公式化簡，利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)確定周期、對稱軸、對稱中心、值域即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以最小正周期為，故A正確；
由，得，所以對稱中心為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)對稱中心為，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故C正確；
由，得，即函數(shù)的對稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.
【鞏固練習(xí)4】（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線軸對稱
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C．的所有零點(diǎn)為
D．是以為周期的函數(shù)
【答案】AC
【分析】對于A：根據(jù)對稱軸的定義分析證明；對于B：舉例說明即可；對于C：根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；對于D：舉例說明即可.
【詳解】對于A：因?yàn)椋?br>所以的圖象關(guān)于直線軸對稱，故A正確；
對于B：因?yàn)椋?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B錯(cuò)誤.
對于C：因?yàn)椋?br>注意到，
令，得，即，
故的所有零點(diǎn)為，故C正確；
對于D：因?yàn)椋圆皇堑闹芷?，故D錯(cuò)誤
類型二：對稱性的應(yīng)用
已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為 ．
【答案】4
【詳解】解：因?yàn)椋?br>令，
則，，
所以為奇函數(shù)，
因此，因此
【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)的最大值為3，最小值為1，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】，
【解答】解：，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
解得，，
即，
則，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)等價(jià)為，對稱軸為，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大為，即函數(shù)的值域?yàn)椋?br>【鞏固練習(xí)2】已知的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡后結(jié)合三角函數(shù)的對稱軸即可求解.
【詳解】，
又圖象關(guān)于對稱，，可以求得，
故，
對稱軸為，時(shí)即A項(xiàng)．
【鞏固練習(xí)3】（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的周期為4B．
C．在上為單調(diào)遞減函數(shù)D．方程有且僅有四個(gè)不同的解
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意可知函數(shù)關(guān)于對稱且關(guān)于對稱，結(jié)合周期函數(shù)的定義即可判斷A，根據(jù)函數(shù)的對稱性結(jié)合函數(shù)的解析式即可判斷B，判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的對稱性即可判斷D，作出函數(shù)與函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可判斷D.
【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，即，
則函數(shù)關(guān)于對稱，
又為偶函數(shù)，所以，
即，即函數(shù)關(guān)于對稱，
則，
則有，則，
所以是以為周期的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B，，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞增，
又且函數(shù)關(guān)于對稱，
所以函數(shù)函數(shù)在上遞增，
又因函數(shù)關(guān)于對稱，
所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故C正確；
對于D，方程根的個(gè)數(shù)，
即為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
如圖，作出兩函數(shù)的圖象，
由圖可知，兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
即方程有且僅有四個(gè)不同的解，故D正確.
【題型3】三角函數(shù)的值域問題
求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．
（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．
（6）導(dǎo)數(shù)法
類型一：二次函數(shù)型
（2017·全國·高考真題）函數(shù)（）的最大值是 ．
【答案】1
【詳解】化簡三角函數(shù)的解析式，可得
，由，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1．
【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方關(guān)系將函數(shù)寫成關(guān)于的一元二次函數(shù)形式，再利用換元法求二次函數(shù)的值域即可.
【詳解】由可得
令，則，
易知，二次函數(shù)關(guān)于對稱，且開口向上，
所以函數(shù)在為單調(diào)遞增，
所以，
所以，其值域?yàn)?
【鞏固練習(xí)2】函數(shù)的值域?yàn)? .
【答案】
【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，故值域?yàn)?
類型二：通過輔助角公式，誘導(dǎo)公式合并
函數(shù)f(x)=sin(x+)+cs(x?)的最大值為
A．B．1C．D．
【答案】A
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，
則,
函數(shù)的最大值為.
【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的最小正周期及對稱軸方程；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值、最小值，并分別求出使該函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)的自變量的值．
【解答】解：（Ⅰ），
則最小正周期，
由，得，即，
即函數(shù)的對稱軸為，．
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，，，，
則當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，
此時(shí)取得最小值，最小值，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，
此時(shí)取得最大值，最大值．
類型三：已知值域求參數(shù)范圍
已知函數(shù)，的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再利用復(fù)合函數(shù)的值域，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，設(shè)，，函數(shù)的對稱軸為
且，，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，所以在區(qū)間上能取得，但是不能小于0，所以.
【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，則的取值范圍為 ．
【答案】，
【解答】解：
，值域?yàn)?，?br>，，
所以，，
故，，，
，
所以最大值為；
令，得，
令，得，
所以的最小值為，
所以的取值范圍是，．
類型四：換元或結(jié)合導(dǎo)數(shù)
已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為__________．
【答案】
【解析】由題意，函數(shù)，
令且，則，
從而， 令，解得或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，，所以的最大值?
【鞏固練習(xí)1】函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和是 .
【答案】
【解析】由函數(shù)，
令，則，即，
所以，
又因?yàn)椋?，可得?br>則，
又由在是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以.
【鞏固練習(xí)2】函數(shù)的值域?yàn)開____________．
【答案】
【解析】令，，
則，即，
所以，
又因?yàn)椋裕?br>即函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：.
【題型4】三角函數(shù)圖像的平移與伸縮變換
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；
方法一：．先平移后伸縮．
方法二：．先伸縮后平移．
注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．
注：函數(shù)名稱不一致的平移：誘導(dǎo)公式化同名
【易錯(cuò)分析】： 函數(shù)中，參數(shù)的變化引起圖象的變換：的變化引起圖象中振幅的變換；的變化引起橫向伸縮變換；的變化引起左右平移變換；的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．
類型一：不改變函數(shù)名
將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)圖像變換規(guī)則解題即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
將的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象對應(yīng)的解析式為.
【鞏固練習(xí)1】要得到函數(shù)，的圖象，只需將函數(shù)，的圖象（ ）
A．橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
B．橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
C．橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
D．橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
【答案】C
【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變，
得的圖象.
【鞏固練習(xí)2】把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則的值為
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解答】解：把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，
可以得到函數(shù)的圖象，
若是偶函數(shù)，則，，
分別令、，可得，或
【鞏固練習(xí)3】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律、伸縮變化可得的圖象，再由圖象關(guān)于軸對稱得到，，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證是否為整數(shù)可得答案.
【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，
縱坐標(biāo)不變得到的圖象，
將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，
該圖象關(guān)于軸對稱，所以，，，，
若，解得，若，解得，
若，解得，若，解得
【鞏固練習(xí)4】（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，下面四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
B．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱
C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心
D．函數(shù)在上的最大值為1
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象變換得到，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)圖象變換得到，然后根據(jù)奇偶性判斷；C選項(xiàng)，利用代入檢驗(yàn)法判斷；D選項(xiàng)，利用換元法求最值.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得的圖象；再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，此函數(shù)是偶函數(shù)，滿足圖象關(guān)于軸對稱，故B正確；
將代入函數(shù)的解析式中，得到，故點(diǎn)不是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)，，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為1，故D正確．
類型二：改變函數(shù)名（結(jié)合誘導(dǎo)公式變形）
將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度，再把得到的曲線圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)圖像平移結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】將圖象上所有的點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度，
得到曲線，
再把得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，
縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.
【鞏固練習(xí)1】已知曲線，，若想要由得到，下列說法正確的是（ ）
A．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位
B．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
C．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位
D．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
【答案】D
【解析】曲線化為，將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），
可得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象上每點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，即曲線.
【鞏固練習(xí)2】要得到的圖像，只要將的圖像（ ）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【答案】D
【詳解】對于選項(xiàng)A：將的圖像向左平移個(gè)單位長度，
得到，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：將的圖像向右平移個(gè)單位長度，
得到，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：將的圖像向左平移個(gè)單位長度，
得到，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：將的圖像向右平移個(gè)單位長度，
得到，故D正確
【鞏固練習(xí)3】要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長度
B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長度
C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長度
D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長度
【答案】C
【分析】，利用伸縮變換與平移變換由的圖象得到的圖象.
【詳解】因?yàn)椋瑢⒌膱D象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到，
再向左平移個(gè)單位長度得，即得到函數(shù)的圖象.
【鞏固練習(xí)5】為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個(gè)長度單位B．向右平移個(gè)長度單位
C．向左平移個(gè)長度單位D．向右平移個(gè)長度單位
【答案】A
【分析】設(shè)出向左平移個(gè)長度，利用誘導(dǎo)公式將余弦函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)，列出方程，求出答案.
【詳解】，
將函數(shù)向左平移個(gè)長度單位，得到，
故，解得，即向左平移個(gè)長度單位.
【鞏固練習(xí)5】為了得到的圖象，只要把的圖象向左平移（ ）個(gè)單位長度
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換結(jié)合誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：若把的圖象向左平移個(gè)單位長度，
可得，
不合題意，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：若把的圖象向左平移個(gè)單位長度，
可得，
符合題意，故B正確；
對于選項(xiàng)C：若把的圖象向左平移個(gè)單位長度，
可得，
不合題意，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：若把的圖象向左平移個(gè)單位長度，
可得，
不合題意，故D錯(cuò)誤
類型三：求最短距離或參數(shù)范圍
函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若，當(dāng)最小時(shí)，φ的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題知，且為偶函數(shù)，進(jìn)而得，再討論最小值即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，
所以，
因?yàn)?，即函?shù)為偶函數(shù)，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí).
【鞏固練習(xí)1】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象變換，求得，再由為奇函數(shù)，求得，進(jìn)而得到取得最小值.
【詳解】由函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，
得到函數(shù)，
又由為奇函數(shù)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
【鞏固練習(xí)2】將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于直線對稱（向左移動(dòng)，向右移動(dòng)），當(dāng)最小時(shí)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像的平移公式先求出平移后的解析式，再根據(jù)平移后的圖像關(guān)于直線對稱，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得答案.
【詳解】將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個(gè)單位后得到
即
由題意的圖像關(guān)于直線對稱.
所以，即
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小
【鞏固練習(xí)3】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)的周期為，
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，
可得，
由可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，
不妨設(shè)，則，即在時(shí)取得最小值，
由于，此時(shí)，不合題意；，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，滿足題意.
【鞏固練習(xí)4】將函數(shù)向右平移（）個(gè)單位長度后得到一個(gè)關(guān)于對稱的函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用兩角和的正弦公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求出的取值，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>將函數(shù)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，
由函數(shù)關(guān)于對稱，
所以，所以，
又，．
【題型5】三角函數(shù)相關(guān)圖像的識別
先看奇偶性，再看正負(fù)，最后看單調(diào)性
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也可用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如通過函數(shù)的解析式可判斷其在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的符號及函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷出選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得或，
且時(shí)，；時(shí)，，故排除選項(xiàng)B.
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)C；
因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)無意義，故排除選項(xiàng)D
函數(shù)圖象的大致形狀是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析函數(shù)的奇偶性，并排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由時(shí)值的正負(fù)判斷作答.
【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)A，C不滿足；
當(dāng)時(shí)，，即有，選項(xiàng)D不滿足，B符合題意.
（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上的圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再取特值即可判斷作答.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?br>而，且，
即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對稱，排除選項(xiàng)CD；
而當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)B符合要求.
（湖南常德·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用時(shí)，值為正即可判斷作答.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，A，B不滿足；
當(dāng)時(shí)，即，則，而，因此，D不滿足，C滿足.
【題型6】求三角函數(shù)解析式
一、根據(jù)函數(shù)必關(guān)于軸對稱，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點(diǎn)或單調(diào)性來求解．
二、由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式的解決思路
由函數(shù)圖像求解析式
確定的步驟和方法:
(1)求 ：確定函數(shù)的最大值和最小值，則 ，；
(2)求：確定函數(shù)的周期，則；
(3)求：常用的方法有代入法和五點(diǎn)法．
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)已知)或代入圖象與直線的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)是在增區(qū)間還是在減區(qū)間)．
②五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．
類型一：由基本性質(zhì)求解析式或基本量
（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則
（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
【鞏固練習(xí)1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
當(dāng)時(shí)，，即，；
當(dāng)時(shí)，，即，；
綜上：；
因?yàn)橥粓D象對應(yīng)的解析式是一樣的，所以此時(shí)不妨設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>則，解得，
所以，
．
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，直線和為函數(shù)的圖象的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題求出，得到，然后根據(jù)最值得出，求出的解析式，得出答案.
【詳解】因?yàn)橹本€和為函數(shù)的圖象的兩條相鄰對稱軸，
所以，且，則，
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，
則，不妨取，則，則
【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則 .
【答案】或
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、最值求得正確答案.
【詳解】因?yàn)?，且在區(qū)間上有最小值無最大值，
則，則，
可得，解得，
且，解得，可知：或1，或.
【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且直線與為相鄰的兩條對稱軸，
所以，即，且，，
又時(shí)取得最小值，即，所以，
解得，
.
【鞏固練習(xí)5】已知函數(shù)，設(shè)方程最小的兩個(gè)正根為，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)可得出兩正根的表達(dá)式取值，再根據(jù)最小正根之間的關(guān)系式即可求得.
【詳解】令，由題意知，
當(dāng)時(shí)，可得，
所以可得，解得，
又，所以，
解得．
【鞏固練習(xí)6】已知函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為為其圖象的一條對稱軸．且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知，利用，可求得的值，再根據(jù)可求得的值，求出的解析式后，即可求值.
【詳解】由題意可知，則，
故，所以，
又為其圖象的一條對稱軸，
且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以,
故，可取，
則，所以
【鞏固練習(xí)7】已知函數(shù)滿足恒成立，，且在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】由可知，由此可求得的值；根據(jù)函數(shù)在區(qū)間零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知的取值范圍；由可知函數(shù)的對稱軸，得出,再結(jié)合的取值范圍即可得出的值.
【詳解】由題意，
所以，得，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，
所以，
解得；
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，得，所以.
【鞏固練習(xí)8】函數(shù)滿足，且恒成立，若在區(qū)間上有最小值而無最大值，則 .
【答案】
【分析】由題意可得為函數(shù)的對稱中心，為函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合在區(qū)間上有最小值而無最大值，可得，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以為函?shù)的對稱中心，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>所以為函數(shù)的對稱軸，
又因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值而無最大值，
所以，解得
類型二：由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式
（2020·新高考1卷真題）下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得正確結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,
不妨令,
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
即函數(shù)的解析式為：
.
而
2023·新高考Ⅱ卷T16
已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則 ．

【答案】
【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．
【詳解】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因?yàn)?，所以，即，?br>所以，
所以或，
又因?yàn)椋?，?br>【鞏固練習(xí)1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象如圖所示.將的圖象向右平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由題意可知的周期滿足，得，
即，得，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是圖象的一個(gè)點(diǎn)，
所以，，
則，又，所以，
所以，
將的圖象向右平移2個(gè)單位長度，
得到函數(shù).
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為 ．
【答案】
【詳解】觀察圖象，得，函數(shù)的周期，，
由，得，而，則，
所以.
故答案為：
【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依題意，由圖象中最值可知，
周期滿足，又，則，故，
所以，又點(diǎn)在的圖象上，
所以，即，
所以，即，
而，所以，
所以.
【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖：
易知：，，即.
由，，
時(shí)，.
所以：.
【鞏固練習(xí)5】（多選）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，其中的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（ ）

A．的最小正周期為πB．，
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【詳解】對AB，由圖，知，∴，∴，
因?yàn)?，，則，∴，
∵，∴，故AB正確；
對C，因?yàn)?，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C錯(cuò)誤，
對D，當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合余弦函數(shù)y=csx的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，D正確.
【鞏固練習(xí)7】已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則 .
【答案】
【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.
【詳解】由題意可得：，
當(dāng)時(shí)，，
令可得：，
據(jù)此有：.
【鞏固練習(xí)8】（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．函數(shù)為偶函數(shù)D．
【答案】AD
【解析】先利用圖象得到，，求得，再結(jié)合時(shí)取得最大值求得，得到解析式，再利用解析式，結(jié)合奇偶性、對稱性對選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】由圖象可知，，，即,，
由時(shí)，，得，
即，而，故，故，A正確；
，故B錯(cuò)誤；
由知，不是恒成立，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
由時(shí)，，故是的對稱中心，故，故D正確.
【鞏固練習(xí)9】已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則的解析式為
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：由函數(shù)的圖象可得函數(shù)的周期，可得，
，，點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，
，可得，，由于，可得，
又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得，可得，的解析式為．
【鞏固練習(xí)10】已知函數(shù)（其中）的部分圖像如右圖所示，則在上的值域?yàn)? ．

【答案】
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖像可求得函數(shù)的解析式，再由正弦型函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由圖像可知，；從而，
又由，因?yàn)?，所以，從而，?dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋?，故，即，從而，即在上的值域?yàn)椋?br>【鞏固練習(xí)11】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為 .

【答案】/0.5
【分析】根據(jù)過點(diǎn)，，求得，，再結(jié)合，求得，即可解.
【詳解】由，得，
由，又，得，
觀察圖象知，，即，
解得，則，
因此，，所以.
【鞏固練習(xí)12】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 .

【答案】
【分析】由函數(shù)的最值可得，代入點(diǎn)，可得，，又，可得，或或，分別代入驗(yàn)證可得，即可得函數(shù)解析式，進(jìn)而求得函數(shù)值.
【詳解】由題圖可知，
因?yàn)?，所以?br>由圖像可知，，解得，，
又，即且，
所以，所以或或；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
又，，所以不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
且令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
又，，所以符合題意，所以
【鞏固練習(xí)13】（2024屆廣東省韶關(guān)市高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象
C．，都有
D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)
【答案】AD
【分析】根據(jù)圖象依次求得的值，再結(jié)合三角函數(shù)圖象變換、以及性質(zhì)，易得到答案.
【詳解】由函數(shù)的部分圖象，
可得，.
再根據(jù)五點(diǎn)法可得，得，故.
，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
取時(shí)，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；
令，由，可得，
要使方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
只需函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
即，故D正確.
故選：AD.
【鞏固練習(xí)14】（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的解析式為
B．函數(shù)的解析式為
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線
【答案】ABC
【分析】對于A，由圖像可得，，從而可求出得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)中可求出的值，從而可求出函數(shù)解析式，對于B，由三角函數(shù)圖像變換規(guī)律求出的解析式，對于C，由求出的增區(qū)間進(jìn)行判斷即可，對于D，將代入中驗(yàn)證是否能取得最值.
【詳解】由圖可知，，，所以，解得，故．
因?yàn)閳D像過點(diǎn)，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)位于單調(diào)增區(qū)間上，且，所以，
故．故A項(xiàng)正確；
若其縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，所得到的函數(shù)解析式為，
再向右平移個(gè)單位長度，所得到的函數(shù)解析式．故B項(xiàng)正確；
令，
得，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，
不取最值，故不是函數(shù)的一條對稱軸,所以D項(xiàng)不正確．
【鞏固練習(xí)15】（2024·遼寧·二模）A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若，則（ ）
A．B．-1C．D．2
【答案】A
【解析】由，可得，
因?yàn)椋尹c(diǎn)A在圖像的下降部分，所以，
故，
因?yàn)?，所以是直線與的圖像的三個(gè)連續(xù)的交點(diǎn)；
由點(diǎn)橫坐標(biāo)，即，解得，，
解得，，所以．
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>則．
故選：A．
【題型7】解三角函數(shù)不等式
數(shù)形結(jié)合，注意隱藏的定義域限制
函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】由對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)定義域，可確定正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性即可求得其定義域.
【詳解】由題意可知，要使函數(shù)各部分有意義，
則須滿足即
由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性得；
即得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式即可得出答案.
【詳解】由題意得：，所以，所以
【鞏固練習(xí)2】已知是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則滿足的一個(gè)值的區(qū)間可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性化簡題目所給不等式，結(jié)合三角恒等變換以及三角不等式等知識確定正確答案.
【詳解】由于是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，且，
所以，則，
所以，，
時(shí)，，所以符合題意的區(qū)間為，D選項(xiàng)正確，
其它選項(xiàng)不符合題意.
【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，
所以和均不是的極值點(diǎn)，其極值應(yīng)該在處取得，
又，所以也不是的極值點(diǎn)，
又時(shí)，取得最大值，所以為另一個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，
故函數(shù)的最小正周期，所以，
又時(shí)，取得最大值，所以，即，
因?yàn)?，所以，，可得?br>由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
【題型8】三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
（1）研究的性質(zhì)時(shí)可將視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．
（2）方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（3）三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
已知某摩天輪的半徑為，其中心到地面的距離為，摩天輪啟動(dòng)后按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．已知當(dāng)游客距離地面超過時(shí)進(jìn)入最佳觀景時(shí)間段，則游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中最佳觀景時(shí)長約有（ ）
A．分鐘B．分鐘C．分鐘D．分鐘
【答案】B
【分析】求出游客到地面的距離為關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，然后解不等式，可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)游客到地面的距離為，設(shè)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為，
則，，可得，
函數(shù)的最小正周期為，則，
當(dāng)時(shí)，游客位于最低點(diǎn)，可取，
所以，，
由，即，可得，
所以，，解得，
因此，游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中最佳觀景時(shí)長約有分鐘.
【鞏固練習(xí)1】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近位置進(jìn)倉，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（ ）
A．92.5mB．87.5mC．82.5mD．
【答案】A
【解析】設(shè)座艙距離地面的最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)函數(shù)表示游客離底面的高度，
因?yàn)槟μ燧喌淖罡唿c(diǎn)距離地面為，直徑為，且轉(zhuǎn)一周大約需要，
周期，，所以，
即，
當(dāng)時(shí)，游客在點(diǎn)，其中以為終邊的角為，
所以，
當(dāng)時(shí)，可得
所以，摩天輪的座艙后距離地面高度約為.
故選：A.
【鞏固練習(xí)2】阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移y(m)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過程中連續(xù)四次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，且，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的距離大于0.5m的總時(shí)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)的周期為，，
根據(jù)，
可知，
所以，，所以，
令，則，
所以，可得，
所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的距離大于0.5m的總時(shí)間為.
【鞏固練習(xí)3】已知大屏幕下端B離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位觀眾眼睛離地面1.5米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠(yuǎn)，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值） 米．
【答案】
【解析】如圖所示：
由題意知：，，設(shè)，
則，，
所以，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，可以獲得觀看的最佳視野.
【鞏固練習(xí)4】（2023·重慶南開中學(xué)）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含“吉祥團(tuán)圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點(diǎn)離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（ ）
A．B．76cmC．94cmD．
【答案】D
【分析】由題意只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，求出，，設(shè)，則，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.
【詳解】由題意可得為銳角，故要使最大，只需最大，
設(shè)小南眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，如圖，
則依題意可得（cm），（cm），，
設(shè)，則，且，
，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為cm
【題型9】帶絕對值或帶根號的三角函數(shù)問題
函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
所以的最小正周期．
【鞏固練習(xí)1】（多選）關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sin x|的敘述正確的是（ ）
A．f(x)是偶函數(shù)`B．f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增
C．f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn)D．f(x)的最大值為2
【答案】AD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最值對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，故A正確；
B.當(dāng)時(shí)，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
C.當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上為偶函數(shù)，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根為－π，0，π，有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，當(dāng)或時(shí)兩等號同時(shí)成立，
∴f(x)的最大值為2，故D正確．
【鞏固練習(xí)2】（襄陽四中2023期末）（多選）關(guān)于函數(shù)，有下述四個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間單調(diào)遞增；
③在有4個(gè)零點(diǎn)；
④的最大值為2．
其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AD
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可判斷是偶函數(shù)；在區(qū)間上，可判斷單調(diào)性；根據(jù)圖象即可判斷③；當(dāng)且時(shí)，取得最大值2，可判斷④．
【詳解】，且的定義域?yàn)镽，則函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；
當(dāng)時(shí)，，，
則當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間為減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
畫出函數(shù)的圖象，
當(dāng)時(shí)，，
由，得，即或，
由是偶函數(shù)，得在上還有一個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)且時(shí)，取得最大值2，故④正確，
故正確的是①④
【鞏固練習(xí)3】（多選）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．的最大值為2
D．在有4047個(gè)零點(diǎn)
【答案】AC
【詳解】由題意得，
所以是偶函數(shù)，故A正確，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，
因?yàn)椋?，所以，且?br>所以的最大值為2，故C正確，
當(dāng)時(shí)，，所以此區(qū)間上有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，
故在不可能只有4047個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
【鞏固練習(xí)4】（浙江省金華十校2023期末）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．圖象關(guān)于對稱B．最小正周期為
C．最小值為1D．最大值為
【答案】ACD
【分析】對于A項(xiàng)，檢驗(yàn)是否成立；對于B項(xiàng)，是否成立；對于C項(xiàng)、D項(xiàng)，將化簡成即可求得其最大值、最小值.
【詳解】對于A項(xiàng)：由于，從而，
即關(guān)于對稱，正確；
對于B項(xiàng)：由于，錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)：，正確；
對于D項(xiàng)：，正確．
【鞏固練習(xí)5】（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是周期函數(shù)
B．函數(shù)的最小值為
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．在上有兩解
【答案】AD
【分析】計(jì)算，根據(jù)周期函數(shù)定義可判斷A；化簡，求得其最小值判斷B；化簡，確定，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷C；求出在的解，可判斷D.
【詳解】對于A，，
故是以為周期的函數(shù)，故A正確.
對于B，時(shí)，函數(shù)的最小值為，故B錯(cuò)誤
對于C，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤
對于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
則；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
則；故在上有兩解，故D正確
【題型10】由三角函數(shù)性質(zhì)求“ω”范圍
設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
2023·新高考Ⅰ卷T15
已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>令，則有3個(gè)根，
令，則有3個(gè)根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
2022·全國乙卷數(shù)學(xué)（理）T15
記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因?yàn)?，（，?br>所以最小正周期，因?yàn)椋?br>又，所以，即，
又為的零點(diǎn)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；
【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是____________.
【答案】
解：
由于在區(qū)間上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則有
，所以,w的取值范圍是
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)（，），其圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，相鄰兩條對稱軸的距離為，且對任意，都有，則在下列區(qū)間中，為單調(diào)遞減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用相鄰兩條對稱軸的距離等于個(gè)周期可確定;又由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱并結(jié)合確定,從而確定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可確定答案.
【詳解】函數(shù)（，）相鄰兩條對稱軸的距離為,
其周期,解得；
又其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
，
，或，
當(dāng)時(shí)，，，符合對任意，都有；
當(dāng)，，，不符合對任意，都有；
，
令
得
令得到的單調(diào)遞減區(qū)間為，觀察四個(gè)選項(xiàng)只有，故選項(xiàng)C符合題意
【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)其中，，的部分圖象如下圖所示，若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．

【答案】
【分析】由圖像可求出函數(shù)，然后根據(jù)求解函數(shù)的零點(diǎn)存在的值并結(jié)合區(qū)間上只有兩個(gè)零點(diǎn)，從而求解.
【詳解】由圖象對稱性可知，函數(shù)的圖象與軸正半軸第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
由圖可知為其對稱軸，則，解出，
由于，故，，則，，因?yàn)?，所以?br>于是，由于，故，因此，
易知，因?yàn)樵冢嫌星覂H有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.
【鞏固練習(xí)4】已知（其中），其函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為 ．
【答案】
【分析】由三角函數(shù)的對稱性求出，再由的范圍求出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
【詳解】函數(shù)關(guān)于直線對稱，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)，則，
要使函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，所以，
所以的范圍為：.
【鞏固練習(xí)5】將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)y=g(x)在 上為增函數(shù)，則ω的取值范圍是 .
【答案】(0,2]
【詳解】依題意，得，
因?yàn)?，所以，且?br>而函數(shù)在上為增函數(shù)，
得，得，而，得，
【鞏固練習(xí)6】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由得到，結(jié)合正弦函數(shù)圖象得到不等式組，求出，，利用，求出，從而得到，得到答案.
【詳解】，則，
因?yàn)?，所以要想在上單調(diào)遞增，
需要滿足且，，
解得：，，
所以，解得：，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>的最大值是.
2024屆·重慶市高三上學(xué)期入學(xué)調(diào)研
【鞏固練習(xí)7】已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】三角函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可知在區(qū)間內(nèi)不含對稱軸，構(gòu)建不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，可得對稱軸方程，
函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，
,且，，
即，
函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，
所以，即，
又，
可得或
【鞏固練習(xí)8】已知方程有解，則的范圍是 .
【答案】
【解析】由題意得出，計(jì)算出函數(shù)的值域，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，可得，
令，，，
，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【題型11】三角函數(shù)新定義問題
計(jì)算器是如何計(jì)算、、、、等函數(shù)值的?計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，如，，其中，英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685-1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得超多、計(jì)算得出的和的值也就越精確，運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取代入公式中，直接計(jì)算取近似值即可．
【詳解】.
【鞏固練習(xí)1】定義:正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（ ）
A．1B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】利用已知條件先化簡，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化恒成立求最值問題
【詳解】由已知可得，
即.
因?yàn)?，所以?br>則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,故
【鞏固練習(xí)2】人臉識別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）根據(jù)公式直接計(jì)算即可.
（2）根據(jù)公式得到，，計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），
，故余弦距離等于；
（2）；
故，，則.
【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，稱向量為的特征向量，為的特征函數(shù).
(1)設(shè)，求的特征向量；
(2)設(shè)向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；
(3)設(shè)向量的特征函數(shù)為，記，若在區(qū)間上至少有40個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)函數(shù)的特征向量的定義即可得解；
（2）根據(jù)向量的特征函數(shù)求出函數(shù)解析式，化簡可得，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解；
（3）根據(jù)三角恒等變換求出函數(shù)的解析式，不妨設(shè)為其中的一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的特征向量；
（2）解：因?yàn)橄蛄康奶卣骱瘮?shù)為，
所以，
由，得，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以；
（3）解：因?yàn)橄蛄康奶卣骱瘮?shù)為，
所以，
則，
令，則，
則或，
則或，
由在區(qū)間上至少有40個(gè)零點(diǎn)，
不妨設(shè)，
則，
則，
所以的最小值為.
近5年考情（2020-2024）
考題統(tǒng)計(jì)
考點(diǎn)分析
考點(diǎn)要求
2024年天津卷第7題，5分
以三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等重點(diǎn)內(nèi)容展開，并結(jié)合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內(nèi)容綜合考查，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應(yīng)用意識．
（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像性質(zhì)
（2）三角函數(shù)圖像的平移與變換
（3）三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題
（4）輔助角公式
2024年北京卷第6題，5分
2024年II卷第9題，6分
2024年I卷第7題，5分
2023年甲卷第12題，5分
2023年I卷第15題，5分
2023·新高考Ⅱ卷T16
2023·全國甲卷（理）T11
2022·全國乙卷數(shù)學(xué)（理）T15
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象

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