TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9065" 一、典型題型 PAGEREF _Tc9065 \h 1
\l "_Tc29341" 題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 PAGEREF _Tc29341 \h 1
\l "_Tc811" 題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 PAGEREF _Tc811 \h 4
\l "_Tc30514" 題型三：插入新數(shù)混合 PAGEREF _Tc30514 \h 5
\l "_Tc2426" 二、專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc2426 \h 7
一、典型題型
題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差
1．（23-24高二下·陜西漢中·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
(3)若對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求．
3．（2024·湖南·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使，成等差數(shù)列.
（i）求；
（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
5．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在，與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比
1．（2024·湖北武漢·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請(qǐng)說明理由.
3．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
4．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
題型三：插入新數(shù)混合
1．（23-24高二下·四川綿陽·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足（，）.
①試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．
2．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有 ，且 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
4．（23-24高二上·廣東·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新數(shù)列:與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
二、專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)保持?jǐn)?shù)列中的各項(xiàng)順序不變，在每兩項(xiàng)與之間插入一項(xiàng)（其中）組成新的數(shù)列記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)，構(gòu)成如下的新數(shù)列；，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
4．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．
7．（23-24高二上·黑龍江大慶·期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列滿足是方程的兩根．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為，規(guī)律是在和中間插入k項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)的和．
9．（21-22高三上·貴州黔東南·期末）已知等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列，記．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，.
(1)若，求正整數(shù)的值；
(2)若，在與之間插入中從開始的連續(xù)項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，即為，求的前30項(xiàng)的和.
專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）
(典型題型歸類訓(xùn)練)
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9065" 一、典型題型 PAGEREF _Tc9065 \h 1
\l "_Tc29341" 題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 PAGEREF _Tc29341 \h 1
\l "_Tc811" 題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 PAGEREF _Tc811 \h 8
\l "_Tc30514" 題型三：插入新數(shù)混合 PAGEREF _Tc30514 \h 11
\l "_Tc2426" 二、專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc2426 \h 15
一、典型題型
題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差
1．（23-24高二下·陜西漢中·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
(3)若對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，即可得證，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；
（2）依題意可得則，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；
（3）依題意可得（）恒成立，令，利用作差法判斷的單調(diào)性，即可求出的最小值，即可得解．
【詳解】（1）因?yàn)棰伲?br>當(dāng)時(shí)，，所以．
當(dāng)時(shí)，②，
由①－②得，即，
所以，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，故．
（2）因?yàn)?，所以?br>解得，所以．
所以，
，
兩式相減得
，
所以．
（3）由于對(duì)于任意，恒成立，即恒成立，
等價(jià)于的最小值大于．
令，則，
所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故數(shù)列中的最大值為，
所以的最小值為，所以當(dāng)對(duì)于任意恒成立時(shí)，．
2．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式即可得解；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，整理得，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;
（2）因?yàn)椋?br>由題意得：，即，
所以.
3．（2024·湖南·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使，成等差數(shù)列.
（i）求；
（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系式可得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)可分別對(duì)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得；
（2）（i）利用定義可求得新插入的數(shù)列公差，求得并利用錯(cuò)位相減法即可求出；
（ii）求得，易知對(duì)于任意正整數(shù)均有，而，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)；又，分別對(duì)其取值為時(shí)解方程可求得.
【詳解】（1）由①，當(dāng)時(shí)，②，
得，
當(dāng)時(shí)，，
是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列：
所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.
得.
綜上可得；
（2）（i）在和之間新插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，
設(shè)公差為，則，
則.
⑤
則⑥
⑤-⑥得：，
所以可得
（ii）由（1），又，
由已知，
假設(shè)是數(shù)列或中的一項(xiàng)，
不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以，而?br>所以不可能是數(shù)列中的項(xiàng).
假設(shè)是中的項(xiàng)，則.
當(dāng)時(shí)，有，即，
令，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由知無解.
當(dāng)時(shí)，有，即.
所以存在使得是數(shù)列中的第3項(xiàng)；
又對(duì)于任意正整數(shù)均有，所以時(shí)，方程均無解；
綜上可知，存在正整數(shù)使得是數(shù)列中的第3項(xiàng).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵是限定出，再對(duì)數(shù)列的取值范圍進(jìn)行限定可得不是數(shù)列中的項(xiàng)，再由只能取得正整數(shù)可知只需討論或有無解即可求得結(jié)論.
4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，從而可得公比，故可求首項(xiàng)從而得到通項(xiàng)公式；
（2）先求出的通項(xiàng)，再利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得矛盾，從而得到數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
【詳解】（1）因?yàn)?，故，故?br>而為等比數(shù)列，故其公比為，
又，故，故，
故.
（2）由題設(shè)可得，
若數(shù)列中存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則，因?yàn)榈炔顢?shù)列，
故即，故，
故即，這樣不同矛盾，
故數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
5．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在，與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，
所以，即，
所以，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，則，
所以
.
題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比
1．（2024·湖北武漢·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)不存在，理由見解析.
【分析】（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將，代入構(gòu)造方程組解得，，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在，，成等比數(shù)列，由，，成等差數(shù)列可得，且，解得，與已知矛盾，因此不存在這樣的3項(xiàng).
【詳解】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，①
當(dāng)時(shí)，②
聯(lián)立①②，解得，；
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
所以，即；
又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
所以，化簡得，即；
又，所以與已知矛盾；
所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析，
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義出，假設(shè)存在滿足條件的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列），由已知可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出，化簡得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，
則當(dāng)時(shí)，，且，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以，，故.
（2）解：在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，
則，
假設(shè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則，即，即，
由已知可得，所以，，
事實(shí)上，
，
即，矛盾，假設(shè)不成立，
故不存在這樣的三項(xiàng)、、成等比數(shù)列.
3．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）由，得，兩式相減化簡可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項(xiàng)公式，
（2）由題意可得，假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，結(jié)合已知化簡可得結(jié)論.
【詳解】（1）由①
得時(shí)②
①-②得，①中令得，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
（2）
假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，
為遞增數(shù)列，不妨設(shè)，
則
則，
成等差數(shù)列，
，，
由，得，所以，與題設(shè)矛盾
不存在這樣的三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
4．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；
（2）先確定數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，再利用分組求和的方法即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
由得時(shí)，，
兩式相減得，
因?yàn)?，所以?br>所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，
所以；
（2）由于，
因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，
所求和為.
題型三：插入新數(shù)混合
1．（23-24高二下·四川綿陽·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足（，）.
①試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)題意，推得，再求得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；
（2）①根據(jù)題意，求得的值，結(jié)合，求得，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，求得，結(jié)合，得出，進(jìn)而求得的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)樵跀?shù)列中，，
當(dāng)時(shí),，
兩式相減得，可得，
又因?yàn)闀r(shí),，可得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故.
（2）①當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí),得，
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，可得，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
又由，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；
②由題意知，
則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，所以成立；
當(dāng)時(shí)，若，則，理由如下，
從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，
則
，
又因?yàn)?，所以?br>即，所以，
因?yàn)闉槠鏀?shù)，而為偶數(shù)，所以上式無解，
即當(dāng)時(shí)，，不合題意,舍去；
綜上所述,滿足題意的正整數(shù)僅有.
2．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有 ，且 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出數(shù)列的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通項(xiàng)；
（2）考慮到，，從而確定的前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自，其他4項(xiàng)由組成，由此分組求和．
【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，
整理得：，即時(shí)，，
所以時(shí)， ，
又時(shí)，，得，也滿足上式.
故.
（2）由，所以，
又，所以前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自.
所以故
.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用條件計(jì)算等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算求和即可；
（3）利用裂項(xiàng)相消法及分組法計(jì)算求和即可.
【詳解】（1）由已知，得，解得，
；
（2）記，
所以，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得，
則，
所以
.
4．（23-24高二上·廣東·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新數(shù)列:與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推公式求出，從而求出，再驗(yàn)證從而可求解.
（2）分析數(shù)列前項(xiàng)中，各有多少項(xiàng)，然后再利用分組求和即可求解.
【詳解】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，且，當(dāng)時(shí)，也滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由題知，由（1）知，在數(shù)列中（含）前面共有：
項(xiàng)，
由，，解得，
所以數(shù)列前項(xiàng)中含有數(shù)列的前項(xiàng)，含有數(shù)列的前項(xiàng)，
所以
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）問中的關(guān)鍵是計(jì)算出在數(shù)列中前100項(xiàng)中包含數(shù)列，的項(xiàng)數(shù)，利用分組求和法從而可求解.
二、專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)保持?jǐn)?shù)列中的各項(xiàng)順序不變，在每兩項(xiàng)與之間插入一項(xiàng)（其中）組成新的數(shù)列記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列求和公式化簡得出公比即可求出通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題意可以先分組求和，再并項(xiàng)后利用錯(cuò)位相減法求，分析可知，只需比較與大小即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得?br>所以.
（2）因?yàn)?br>所以，
，
所以，
兩式相減得：
，
所以，
易知隨著增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
而
綜上，的最小值為.
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運(yùn)用求解即可.
（2）依題意可知，插入數(shù)列后，與所構(gòu)成的數(shù)列為，，，，，，，，，，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，
當(dāng)時(shí)，符合，
所以；
（2）依題意，，
，
，
?
．
所以，
即，①
則，②
由①②可得，，
所以．
3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)，構(gòu)成如下的新數(shù)列；，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)
(2)5528
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由題意列出方程組，求出的值，即可求得答案；
（2）確定新數(shù)列中，項(xiàng)（含）之前共有項(xiàng)，解可確定新數(shù)列的前70項(xiàng)中，含有中的前11項(xiàng)，含有中的前59項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
由，，，得，
解得，故；
（2）由題意可知新數(shù)列中，項(xiàng)（含）之前共有項(xiàng)，
令，由于，則，此時(shí)時(shí)，，
即新數(shù)列的前70項(xiàng)中，含有中的前11項(xiàng)，含有中的前59項(xiàng)，
故
.
4．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．
【答案】(1)，
(2)11522
【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)；
（2）分析中前50項(xiàng)中與各有多少項(xiàng)，分別求和即可．
【詳解】（1）
由
得：
∵
則是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，∴，
又當(dāng)時(shí)，得，
當(dāng)，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；
（2）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項(xiàng)．
由，（）得：，
∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項(xiàng)：，，……，，含有數(shù)列的前41項(xiàng)：，，，……，；
∴．
5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等比數(shù)列前四項(xiàng)和為30，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列．
①若，求；
②若，求．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由等比數(shù)列性質(zhì)列方程求得公比首項(xiàng)即可得解.
（2）①首先得，進(jìn)一步，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得；②直接由等比數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，則：，
則，所以．
（2）①在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，
使、、、、、成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
此數(shù)列首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，
則，，
則，
②，
則，
，
則，
故：．
6．（23-24高二上·廣東江門·期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一，由已知條件得，求得公比，代回求得得解；解法二，由與的關(guān)系將條件式轉(zhuǎn)化得，求得公比，得解；
（2）由（1）將代入運(yùn)算得，代入得，利用錯(cuò)位相減法求解.
【詳解】（1）解法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，
時(shí)，，時(shí)，.
，，
，，
.
解法二：，
，
兩式相減得：，
即，
為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，
，
時(shí)，，即，
，
，
.
（2）由（1）得，由題得，
，
，
，
兩式相減得
，
所以.
7．（23-24高二上·黑龍江大慶·期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)列方程組，解方程，求出，即可得出答案；
（2）由（1）求出，再由錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1）由題意，，，
，
又在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，
故.
（2）因?yàn)椋裕?br>令，其前項(xiàng)和為
，
，
所以
，
所以，所以.
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列滿足是方程的兩根．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為，規(guī)律是在和中間插入k項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)的和．
由于，解得，所以，則.
（2）由（1）得，則，
所以，
所以
.
10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，.
(1)若，求正整數(shù)的值；
(2)若，在與之間插入中從開始的連續(xù)項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，即為，求的前30項(xiàng)的和.
【答案】(1)364
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合的關(guān)系可推得.結(jié)合已知即可得出，然后根據(jù)已知，結(jié)合換底公式可得出，代入求解即可得出答案；
（2）根據(jù)已知分析數(shù)列的構(gòu)成，前30項(xiàng)中取自數(shù)列數(shù)列中有7項(xiàng)，數(shù)列中有23項(xiàng)，進(jìn)而即可分組，求解計(jì)算，即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，當(dāng)時(shí)，
有.
又因?yàn)椋?br>所以有.
又時(shí)，也滿足.
所以，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以，.
又，所以.
又
，
所以，，
所以，，
即，即，
解得，.
（2）由已知可得，數(shù)列中，項(xiàng)及以前共有項(xiàng)，
其中數(shù)列中有項(xiàng)，數(shù)列中有項(xiàng).
且，，
即數(shù)列中，項(xiàng)及以前共有28項(xiàng)，其中數(shù)列中有7項(xiàng)，數(shù)列中有21項(xiàng).
所以，，.
所以，的前30項(xiàng)的和
.

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