求數(shù)列前項(xiàng)和的常見方法如下：
（1）公式法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，直接利用前項(xiàng)和公式.
（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.
（3）分組求和法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式.常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，并滿足不同的規(guī)律.
（4）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng).
（5）倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式，它的前項(xiàng)和，則（ ）
A．9B．10C．99D．100
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在公差大于0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前21項(xiàng)和為（ ）
A．12B．21C．11D．31
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（ ）
A．3B．2C．1D．0
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.
例5．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（1）求，；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：.
例8．（2021·福建·永安市第三中學(xué)高中校高三期中）已知數(shù)列是前項(xiàng)和為
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的方法，可求得（ ）.
A．25B．26C．13D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A．100B．105C．110D．115
3．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為
A．4033B．-4033
C．8066D．-8066
4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=7，S6=63，則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，則該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量為（ ）
A．421B．451C．439D．935
二、填空題
7．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為______．
8．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，，其前項(xiàng)和為，則______．
9．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列有，則_______.
三、解答題
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=5，nSn+1-（n+1）Sn=n2+n.
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）令bn=2nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
11．（2022·河北·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，_______.請(qǐng)?jiān)冖?；②；成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上而題干中，并解答下面問題.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a2a4=64，S3=14.設(shè)bn=lg2an（n∈N*）.
（1）求a1，a2的值，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（3）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②；③成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.問題：數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，且___.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若（），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，滿足，，，，成等差數(shù)列．
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，其滿足，，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若_______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
在①，②，③這三個(gè)條件中任一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中；并對(duì)其求解.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足公差，前n項(xiàng)的和為，，，，成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）設(shè)，證明：.
25．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè){an}是等差數(shù)列，(n∈N*)；是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*).已知，，b5=a3+a5，b7=a4+2a6.
（1）求Sn與an；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
26．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記在區(qū)間上，的項(xiàng)數(shù)為，求數(shù)列的前m項(xiàng)和.
27．（2021·海南二中高三階段練習(xí)）遞增等差數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列前項(xiàng)和.
28．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知，，，中的個(gè)數(shù)為等差數(shù)列的前項(xiàng)，且不在數(shù)列中，在數(shù)列中.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
29．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求.
30．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列中，，．
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前5項(xiàng)的和.

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